渗透数学思想，提高学生解决问题能力

陈海燕

数学是一门研究数与形的思维形式，高中数学是整个高中教育过程中的重要环节，在很大程度上直接影响着学生整体成绩的优劣.数学教学的目的要全面提高学生的数学思想，使学生在课堂上最大限度地掌握知识.提高数学成绩，需要教师精心设计，不仅在内容上精益求精，在激发学生的学习兴趣和激情等方面都要有很深的研究.教学时应时刻提醒学生注意题目运用到的数学思想，这种解题方法适用的题型等，从而帮助学生掌握科学的学习方法，熟练掌握和应用学过的知识.学生只有掌握了正确的学习方法，才会对数学充满兴趣，进而学好高中数学.

一、问题意识的涵义

问题意识是具有问题的思维，能够体现出思维的深刻与批判特征，是个人思维的创造性和独立性的反映，培养学生的问题意识，根据他们自身所具有的特点，提问相关的问题，让他们进行思考.这同时也可以让他们从多方面进行思考，逐步培养起学生的自我特点.

数学问题意识是在进行数学教学的过程中，通过有意识地营造教学情境，来引导学生发现问题、探索问题，以及解决问题的教学方法.现如今的高中数学教学理论认为数学教学的过程就是数学思维的形成过程，即问题情境、从发现到提出进而解决数学问题和反思评价.数学思维形成过程的每一个阶段都紧密相连.在高中数学教学中，培养学生的问题意识和解决问题的能力都是非常关键的.在实际的教学中，一方面要在学生进行实际数学问题解决的同时强化学生的问题意识，一方面在培养学生问题意识的同时，要使学生发现问题、解决问题.

二、借助隐函数思想

内隐性变量间具有内在的约束关系，分析变量间的变化关系.有时这些内在关系本质即为函数关系，只不过这个

函数不是显函数，而是隐函数.因此对于处理内隐性双变量我们也可以借助高等数学中的隐函数处理方式，通过求解隐函数导数的方法来探究变量间的相互制约关系.

例1 已知函数f（x）=xlnx-x2+ax+2存在两个极值点x1，x2（x1ln2，求实数a的取值范围.

解 由于f ′（x）=lnx+1-2x+a，x>0，f ″（x）=1x-2，则f ′（x）在（0，13）上单调递增，在（12，+∞）上单调递减，且limx→0+f ′（x）=-∞，limx→+∞f ′（x）=-∞，故要使f（x）存在两个极值点，则f ′（12）>0，从而a>ln2，且0

由于x1，x2均为a的函数，设012，由于lnx1+1-2x1+a=0，

lnx2+1-2x2+a=0，从而lnx2x1=2（x2-x1）.由于lns（a）+1-2s（a）+a=0，lnh（a）+1-2h（a）+a=0，则

s′（a）s（a）-2s′（a）+1=0，

h′（a）h（a）-2h′（a）+1=0，故s′（a）=s（a）2s（a）-1<0，h′（a）=h（a）2h（a）-1>0，从而x1关于a单调递减，x2关于a单调递增，从而x2-x1关于a单调递增.

令x2-x1=ln2，即lnx2x1=2（x2-x1）=ln4，从而x2=4x1=43ln2.代入lnx1+1-2x1+a=0，

lnx2+1-2x2+a=0得a=2ln23-ln（ln23）-1.故当x2-x1>ln2时，a的取值范围为a>2ln23-ln（ln23）-1.又a>ln2，从而满足条件的实数a的范围为（2ln23-ln（ln23）-1，+∞）.

点评 问题中x2-x1是关于a的函数g（a），但该函数无法表达成显性表达式，为此我们构建了两个隐函数x1=s（a），x2=h（a），通过隐函数手段分析出g（a）的单调性并最终解决了问题.

三、借助极限思想

数学不仅是从事生产、生活、学习研究的基础，而且还作为一种工具来解决实际问题.

例2 如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足.设AK=t，则t的取值范围是 ______.

解析 此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，t=1，随着F点到C点时，因CB⊥AB，CB⊥DK，所以CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD.对于CD=2，BC=1，所以BD=3.又AD=1，AB=2，因此有AD⊥BD，则有t=

12，因此t的取值范围是（12，1）.

点评 利用极限思想使人们能够从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变成为可能.但是极限思想在实际教学中没有得到普遍的认可和推广，学生对这种思想方法相当陌生.如果将极限思想和方法渗透、融合在解题中，那么会事半功倍.利用运动和变化的观点，着眼于问题的极限状态，摈弃了繁琐的数学运算，使得所研究问题更加直观、明朗.因此，灵活地利用极限思想就成为减少运算量的一条重要途径.本题利用极限思想实现方法与内容的整合.

四、数学思想的微妙体现

有些数学思想在教学大纲中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由一般化向特殊化转化的思想方法.在整个教学过程中，不仅努力使学生能够领悟到数学思想的应用，而且努力激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题.