一道数学课本习题的教学回顾

章志生

苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2第40页，习题1.4的研究与拓展第7题为：酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8厘米，上口宽6厘米，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深4cm时，求水面升高的瞬时变化率.

在习题课上，教者先让学生反复品读思考题意，弄明白题目要求我们完成的任务是什么？所给的条件是什么？怎样把已知和所求联系起来？

学生思考后得出如下结论：从所求问题的字面上来看，要我们求高度（长度）关于时间的变化率，从导数的物理意义来看，是要求学生求出水面高度上升的瞬时速度.于是，我们可以构造水面高度h关于时间t的函数关系式，再求导，高度h关于时间t的函数的一阶导数h′（t）就是瞬时速度.具体解答如下：

解 设水面上升的高度为h，注水时间t，水面半径r，由

rh=38，r=38h，则注水量为20t.而杯中水的体积为：13π（3h4）2h，两者相等，解之得：h=（1280t3π）13，即h′（t）=13（1280t3π）-23.而h=4时，t=3π20，代入h′（3π20）=13（12803π·3π20）-23×12803π=

8090π，故当水深4cm时，水面升高的瞬时变化率为

8090πcm/s.本解法是从常规思路来考虑的，整个解题过程中规中矩，很有条理.但是，运算量大，容易出错.那么，有没有简便快捷一些的方法呢？教者抛出问题请同学们思考，并展开讨论.经过激烈的讨论之后，有同学提出：解题过程可以优化一下，

将h=（1280t3π）13的右边整理一下，写成h=（12803π）13t13，求导的时候就不必当成复合函数来做了，h′（t）=13（12803π）13·t-23，运算上就简化了.另外又得到了两种“书写量”很少的解法，教者请相关小组各派一位同学上黑板展示他们的解题过程：姑且先称之为方法二：h3=1280t3π，t=

3π1280h3，得t′=9π1280h2，h=4时，t′=

9π80，由t′=th，ht=809π

，故水面上升的瞬时变化率为809πcm/s.方法二令人耳目一新，将h看作自变量，求导过程简化很多，h=4可以直接代入，运算确实简化很多，不过其中的部分步骤还有些令人费解，于是请板演者再上黑板为大家讲解：从函数角度看，t′表示切线斜率，而

t/h也表示斜率，但是它的倒数恰好表示高度变化的速度.

精彩！但是立马有同学提出来，h/t只能表示平均速度，而非即时速度，有问题！教者立即将此问题再抛给全班同学，各小组展开激烈讨论，讨论后大家发现：t′=th若改写成t′=ΔtΔh则更合理，那么它的倒数就是瞬时速度.

方法三更加简洁快捷：设水面上升的速度为v，由

38=r4

，得r=32，由πr2v=20，得v=809π.

神了！全班同学为之震惊！再请这个方法的发现者给大家作介绍：“我认为，设h=4时的瞬时速度为v，在很短的时间（Δt→0）内，水面形成的一个小薄片可以看做一个圆柱体，圆柱体的体积就是πr2h，设此时水面上升的速度为v，而h=v·Δt，此时，注入的水量为20Δt，πr2v·Δt=20Δt，约去Δt即可.” 不仅是同学们为之惊叹，就是教者也感到十分惊喜，这不就是典型的微积分思想吗？将连续的曲线（几何图形）进行分割，在微小的范围内“以直代曲”，就可将曲线（曲面）当做直线（平面）来研究，这对以后学习定积分很有帮助.教者对该同学和所在的学习小组的这一聪明做法给与高度的评价，表扬并鼓励大家在以后的数学学习中继续开动脑筋，大家一定还会有很多有意义的重要发现.同时，教者也指出，方法三虽然简洁，但是不能让人看懂列式的依据，应当将刚才向大家解释的话整理一下，在原有的解题过程中加上必要的文字说明就更完美了.

在完成了这道题的学习之后，教者让同学们趁热打铁，对这道题进行整理.在整理中，有同学又提出了一个疑问：y对x求导与x对y求导的结果是不是恰好互为倒数呢？这一想法灵感来自方法二，那么这一猜想是否正确呢？对这个问题，教者不急于先给结论，就把它作为一个探究性的课题留给同学们课后去研究.

为检验同学们的掌握情况，教者当即给出一道变题：

水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度.

在课堂教学中，我们要养成解题反思的习惯，在现有问题背景下再追问一下是否有其他解法，是否有更好的解法，坚持下去，我们将会有意外的收获.正所谓：“因势相形雕美玉，多思善虑出惊奇.”