对《课例：对抛物线一类特殊弦性质的探究》的探究

欧阳尚昭 杨西更 李玉霞

读完《中学数学教学参考》2013年第4期（上旬）上的文章《课例：对抛物线一类特殊弦性质的探究》（以下简称《课例》），为毛金海老师的这节课喝彩.虽说是高三第一轮复习课，但能够在有限时间内从解法上的优化到一组问题串的解决，对抛物线一类特殊弦性质作了比较全面的探究，得出了许多有用的结论，的确是一个了不起的进步，让人真切地感受到了“温故而知新”的内涵.读完之后，意犹未尽，至少还可以从以下几个方面再进行一些探究：

1.解法上的探究

《课例》在证明“直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A、B，求证：OA⊥OB”时，着重于设而不求，利用韦达定理，整体代换，这种证法比较贴近学生的实际和认知水平.如果我们顺势将证明方法进行提升：要证OA⊥OB，即证y1x1·y2x2=-1（x1，x2都不为0，否则，单独讨论），能否将y1x1，y2x2看成是某一个一元二次方程的两个根？这就要求我们改变常规的消元模式，“消去常数2”（如果直线方程为y=x-2p，抛物线方程为y2=2px，则消去常数2p）得：y2+xy-x2=0.又x≠0，故（yx）2+yx-1=0，所以y1x1，y2x2是方程（yx）2+yx-1=0的两个根，从而y1x1，y2x2=-1，于是问题获证.

2.变式上的探究

变式1 过抛物线y2=2px上任意一定点P（x0，y0），作相互垂直的抛物线的两弦PA⊥PB，那么直线AB过定点吗？

说明 此变式是将《课例》中直角顶点的位置从坐标原点（即抛物线的顶点）这一特殊位置变到抛物线上的其它定点时，探究直线AB是否过定点的问题.

解析 设直线AB方程为x=my+n，设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立抛物线方程y2=2px及线AB方程x=my+n，消去x得y2-2pmy-2pn=0.

由韦达定理有y1+y2=2pm，y1y2=-2pn.（*）

由PA⊥PBPA·PB=0（x1-x0）（x2-x0）+（y1-y0）（y2-y0）=0，

即

x1x2-x0（x1+x2）+x20+y1y2-y0（y1+y2）+y20=0，

亦即（y1y2）24p2-x0[（y1+y2）+2n]+x20+y1y2-y0（y1+y2）+y20=0.将（*）代入并化简得[n-（x0+p）]2=（y0m+p）2，从而n=x0+2p+y0m或n=x0-y0m（舍）.

所以AB方程为x=my+n=my+0+2p+my0=m（y+y0）+x0+2p.故直线AB恒过定点（x0+2p，-y0）.（反之成立吗？读者完成.）

变式2 若直线l过点P（a，0），与抛物线y2=2px（p>0）相交于点A、B两点，试确定A，B两点对顶点的张角∠AOB分别是钝角、直角和锐角时a所满足的条件.

解析 设直线l的方程为x=my+a，点A（y212p，y1），B（y222p，y2），则OA·OB=y21y224p2+y1y2.①

又由y2=2px，

x=my+ay2-2mpy-2ap=0y1y2=-2ap. ②

将②代入①式得OA·OB=a2-2ap=a（a-2p）.

因为a>0，所以当a-2p>0a>2p时，OA·OB>0，所以∠AOB是锐角;

当a-2p=00=2p时，OA·OB=0，所以∠AOB是直角;

当a-2p<0a<2p时，OA·OB<0，所以∠AOB是钝角.

由以上讨论可以看出：点（2p，0）是∠AOB为钝角、直角、锐角的界点，而且从上述证明可看出，反之亦然.同时还可以得到如下结论：

当0

当a=2p时，∠AOB是直角三角形;

当a>2p时，∠AOB的形状不确定.

3.对《课例》上“课后习题”的探究

《课例》的最后给出了一道课后探讨题：“点P是椭圆C：x24+y2=1的左顶点，直线AB与椭圆C交于A、B两点（异于点P），若PA⊥PB，则直线AB过定点.”

探究1 （条件一般化） 点P是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左顶点，直线AB与椭圆C交于A、B两点（异于点P），若PA⊥PB，则直线AB过定点.

解析 当直线AB的斜率存在时，设方程为y=kx+m，设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立x2a2+y2b2=1，消去y得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0，所以x1+x2=-2kma2b2+a2k2，x1x2=a2m2-a2b2b2+a2k2. （*）

又由PA·PB=0可得

x1x2+a（x1+x2）+a2+y1y2=x1x2+a（x1+x2）+a2+（kx1+m）（kx2+m）=0，

即（1+k2）x1x2+（a+km）（x1+x2）+a2+m2=0.将（*）式代入得m=ka（a2-b2）a2+b2.

所以直线AB的方程为y=k[x+a（a2-b2）a2+b2]，故AB过定点（-a（a2-b2）a2+b2，0）.

当直线AB的斜率不存在时，易知AB也过定点（-a（a2-b2）a2+b2，0）.

探究2 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），过原点O的两条互相垂直的射线分别交椭圆C于A、B两点（异于点P），证明：点O到直线AB的距离为定值.

说明 类似探究1，由OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0.将探究1中的（*）式代入并化简得

m21+k2=a2b2a2+b2.而原点到直线AB的距离为d=

|m|k2+1=m2k2+1=a2b2a2+b2=aba2+b2为定值.

以上的探究，只想说明一个事实：即抓住变化中的不变性进行解题，无论探究的结论怎样，只要我们能够比较充分地挖掘出题目的营养价值，就应该说是一个大的收获.