构造性思想与方法摭探

史咏梅

数学学习是一种创造性思维活动，《 普通高中新课程标准》加强了重要数学思想方法的渗透与概括，对学生的创新意识、创新能力提出了更高的要求.构造性思想与方法是解决那些见解独到、立意新颖的问题的重要方法之一.常见的构造方法有构造图形，构造模型，构造函数，构造算法，构造反例，构造多项式，构造数列等等，它常成为解题中实现转化的关键步骤.从解题实践经验中，我们体会到：构造性思维一要目的明确，即为什么目的而构造;二要清楚题设条件的特点，以便依据特点，确定方案实现这一构造.本文例举的五种构造方法是用构造法解题中常见的五种类型，构造性思想与方法的各种类型，在解题中往往要综合运用.学习掌握好构造性思想与方法，不但有助于初等数学的学习，而且也为学习高等数学的思想方法打下了一定的基础.

方法一 构造图形

如果问题条件中的数量关系有明显的几何意义或以某种方式可与几何图形建立联系，则可通过几何作图构造图形，将题设条件及其数量关系直接在图形中得到实现，然后在构造的图形中寻求所要的结论.

例1 已知a，b，c，d都是正数.证明：存在这样的三角形，它的三边等于b2+c2、a2+c2+d2+2cd、a2+b2+d2+2ab.并计算这个三角形的面积.

分析 只要注意到b2+c2、a2+c2+d2+2cd、a2+b2+d2+2ab的特点，就会点燃思维的火花，考虑利用勾股定理把这三条线段作出来.

证明 如图1，以a+b，c+d为边画一个矩形ABCD，斜边所示的三角形CEF的三边：EF=

b2+c2，CE=a2+（c+d）2， CF=d2+（a+b）2，满足题设条件的三角

形作出来了，它的存在性也就自明了.

设△CEF的面积为S，显然S=（a+b）（c+d）-

12bc-12d（a+b）-12a（c+d）=12（ac+bc+bd）.

从以上例题可以看出，只要图形构造的合理，所要求证的关系就会在所构造的图形中得到直接或间接的显示.常用的构图方法有：正数a，b可以用两条线段表示;a+b，a-b可以用两条线段的和与差表示;2a，a2+b2可以用直角三角形的斜边表示;a2+b2+c2可以用长方体的对角线表示;a2，ab可以用正方形、矩形的面积表示.

方法二 构造算法

构造算法是指我们能够直接设计、构造出一种可行的计算程序，在有限次内能够实现所构造的对象，这样，通过所构造的计算程序和方法，来证明对象的存在性.我们设计辗转相除法来求两个正整数的最大公约数，就是构造算法的一个例子.

例2 已知十个不同的正数a1，a2，a3，…，a10.证明：至少存在55个彼此不等的形如n1a1+n2a2+n3a3+…+n10a10的正数，其中ni取1或0.

分析 a1，a2，a3，…，a10显然是符合要求的十个不同的正数（如n1=0，n2=n3=…=n10=0，则取a1，以下依此类推）.其余45个彼此不同的数都要由这十个数设法构造出来，但又要彼此不等，要保证这一点，不妨按严格递增的次序构造.

证明 第一组共十个不同的正数a1，a2，a3，…，a10.设a1

a10+a9+a8+a1

有且只有9个取1其余取0的不同的和数1个：a10+a9+a8+…+a3+a2+a1.

总计十组，共10+9+8+7+…+3+2+1=55个彼此不等的形如n1a1+n2a2+n3a3+…+n10a10的正数，其中ni取1或0.

本题可推广到“已知m个不同的正数a1，a2，a3，…，am.证明：至少存在m（m+1）2个彼此不等的形如n1a1+n2a2+n3a3+…+nmam的正数，其中ni取1或0.”可依例2的方法构造并写出m（m+1）2个彼此不等的形如n1a1+n2a2+n3a3+…+nmam的正数的程序和步骤进行证明.

显然构造算法较构造图形是一种更为抽象的构造性思维过程.

方法三 构造函数

由题设条件及所给的数量关系，构想、组合成一种新的函数、方程、多项式等具体关系，使问题在新的关系下实现转化从而获得解决.

例3 解方程组x1+x2+…+xn=n，

x21+x22+…+x2n=n，

…

xn1+xn2+…+xnn=n.

分析 该方程组是n元方程组，形式很对称，可构造函数解决.

解 构造函数f（t）=（t-x1）（t-x2）（t-x3）…（t-xn）=a0+a1t+a2t2+…+antn，则f（1）=a0+a1+a2+…+an，

f（x1）=a0+a1x1+a2x21+…+an，

f（x2）=a0+a1x2+a2x22+…+anxn2，

…，f（xn）=a0+a1xn+a2x2n+…+anxnn.又∵f（x1）=f（x2）=…=f（xn）=0，∴f（x1）+f（x2）+…+f（xn）=na0+a1（x1+x2+…+xn）+a2（x21+x22+…+x2n）+…+an（xn1+xn2+…+xnn）=na0+na1+na2+…+nan=n（a1+a2+…+an）=nf（1）=0.

∴f（1）=0.

这表明x1，x2，…，xn中有一个为1，根据方程的对称性可知，x1=x2=…=xn=1.

构造函数是更加抽象的构造性思维，除对问题条件特点分析之外，还要求对典型的函数及其特性要非常熟悉.

以上所例举的构造方法是用构造法解题中常见类型，但远非构造性思想与方法的全部.学习掌握好构造性思想与方法，不但有助于初等数学的学习，而且也为学习高等数学的思想方法打下一定的基础.