满足公共(E.A)性质的三对自映象的一个新的公共不动点定理

郑慧慧,沈云娟,谷　峰

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州310036)

满足公共(E.A)性质的三对自映象的一个新的公共不动点定理

郑慧慧,沈云娟,谷峰

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州310036)

摘要：在G -度量空间中，利用自映象对的公共(E.A)性质和弱相容性条件，在不要求空间的完备性和映象的连续性的条件下，证明了3对自映象的一个新的公共不动点定理，并且提供了一个支持该新结果的实际例子. 文章结果不同于已有文献的相关结果.

关键词：广义度量空间；弱相容映象；公共(E.A)性质；公共不动点

1引言和预备知识

2006年，文献[1]首次提出了G-度量空间的概念。此后，G-度量空间中的不动点理论得到了很大的发展，人们证明了不同压缩条件下的一些不动点和公共不动点定理[2-13]. 最近，谷峰等[14]首次在G-度量空间中引入了映象对满足公共(E.A)性质的概念，并证明了几个公共不动点定理. 本文在上述文献的基础上，在G-度量空间的框架下，讨论了3对映象的公共不动点问题，在只要求2对映象满足公共(E.A)性质的条件下，证明了3对映象公共不动点的存在性和唯一性。我们的新结果不同于当前的已知结果.

定义5[15]设f,g是集合X上的自映象，若w=fx=gx,x∈X,则称x为f,g的一个叠合点，并称w为f,g的一个重合点.

定义6[15]称集合X上的自映象对(f,g)是弱相容的，如果它们在重合点处是可交换的.

2主要结果

(1)

(2)

(3)

在上述不等式中令n→∞，并利用式(2)和t=Ap可得

因t=fp∈fX⊂BX, 故∃u∈X使得t=Bu. 我们断言gu=t，否则，使用式(1)得

在上述不等式中令n→∞, 并利用式(2)和t=Bu可得

又由于t=gu∈gX⊆CX, 故∃v∈X使得t=Cv. 我们断言hv=t，否则使用条件(1)有

在上述不等式中利用fp=Ap=t,gu=Bu=t和t=Cv可得

综上，我们得到fp=Ap=gu=Bu=hv=Cv=t，即t是f,g,h,A,B和C的公共重合点.

下面证明ft=t. 事实上，若ft≠t, 则由条件(1)可知

上式与0≤a+b<1矛盾，故ft=t，进而ft=At=t.

同理可证gt=Bt=t,ht=Ct=t. 于是有ft=gt=ht=At=Bt=Ct=t,即t是f,g,h,A,B和C的公共不动点.

下面证明f,g,h,A,B和C的公共不动点是唯一的.

事实上，设w∈X且w≠t也是f,g,h,A,B和C的一个公共不动点，则由条件(1)可得

上式与0≤a+b<1矛盾，故w=t,即映象f,g,h,A,B和C在X中有唯一公共不动点.

最后，如果条件(ii)或(iii)被满足，证明过程与上述步骤相似，可得到同样的结论.

下面的例子表明定理1的有效性.

注1在定理1中如果取a=0或b=0，我们可以得到2个新结果，在此略去.

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A New Common Fixed Point Theorem for Three Pairs of Self-maps

Satisfying Common (E.A) Property

ZHENG Huihui, SHEN Yunjuan, GU Feng

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Abstract:By using the concept of common (E.A) property and weakly compatibility condition of self-maps pairs in generalized metric space, without the conditions for the completeness of space and the continuity of mappings, this paper proves a new common fixed point theorem for three pairs of self-maps. An example is provided to support the new result. The result obtained in this paper differs from the recent relative results in the existing literatures.

Key words:generalized metric space; weakly compatible mappings; common (E.A) property; common fixed point

第14卷第1期2015年1月杭州师范大学学报(自然科学版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.14No.1Jan.2015

文章编号:1674-232X(2015)01-0077-05

中图分类号:O177.91MSC2010: 47H10；54H25

文献标志码:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.01.014

通信作者：谷峰(1960—)，男，教授，主要从事泛函分析及其应用研究. E-mail：gufeng99@sohu.com

基金项目:国家自然科学基金项目(11071169)； 浙江省自然科学基金项目(Y6110287).

收稿日期：2014-06-07