一类快速收敛于欧拉常数的序列

高　猛，郑德印

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

一类快速收敛于欧拉常数的序列

高猛，郑德印

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

摘要：确定了一个收敛于欧拉常数γ且含p+1个参数的序列，给出了这些参数间的递推关系，也给出了p=7时的逼近序列和阶.

关键词：欧拉常数；Bell多项式；逼近

0引言

(1)

它的收敛速度是 n-5，误差 wn-γ 满足不等式

(2)

最近，Yang[3]使用指数型部分Bell多项式和 γn的完全渐近展开式， 解决了这一问题。但是逼近 γ 的序列和误差界没有找到. 本文使用普通型部分Bell多项式，得到了 p 个系数 ai(i=0,1,…,p) 的一个递推关系，对 p=7 给出了逼近 γ 的序列和误差界，其收敛速度是 n-9.

为了表达本文结果，首先介绍一些记号和结论.

(3)

或者，等价地使用如下的单变量无穷级数展开式：

(4)

(5)

定义2普通型对数多项式Ln(x1,x2,…,xn) 由下面的展开式确定：

(6)

因为

所以，L1(x1)=x1，且当n≥2 时，

(7)

(8)

定义3[4]48Bernoulli数Bn由下面的展开式给出：

(9)

容易算出，B0=1,B1=-1/2,B2=1/6,B4=-1/30,B6=1/42,B8=-1/30, …；B2k+1=0,k=1,2,….

众所周知，Weierstrass公式[5]联系着伽马函数Γ(z) 和欧拉常数γ：

(10)

因为B1=-1/2，B2k+1=0 (k=1,2,…)， 所以又有

(11)

对于Digamma函数的导数，有

引理1([7，Theorem 9])设n为非负整数，x是任意正实数，则对Digamma函数的导数有不等式：

(12)

1快速逼近欧拉常数

再由式(6)和(11)，有

(13)

明显地，A1=-a0-B1. 令A1=0，则a0=-B1=1/2. 在式 (13) 中，让Am=0(m=2,3,…)，则得序列 {ai}i≥0的递推关系为:

(14)

令m=2,3,…,8，则有

由a0=1/2，从第一个等式开始，可以依次算出a1,a2,…,a7的值.因此，有如下定理.

(15)

收敛于欧拉常数γ， 且收敛速度是n-9.

定理 1 中的 {zn}n≥1比式 (1) 中的 {wn}n≥1更好， 精度对比见表 1.

2误差zn-γ的界

下面考虑误差zn-γ的更高阶的估计.

定理2设 {zn}n≥1是由式 (15) 定义的序列，则当n≥5 时，有

(16)

证明首先证明式(16) 的左半不等式，为此，对x>0，作辅助函数

求F(x) 的导数，并使用不等式(12)，则当x≥5 时，有

最后一个不等式小于零，可由下面的Mathematica程序验证.

fd[x_]:=pu[x]-D[la[x]+dd[x],x]

fd[x]/.x→y+5//ExpandNumerator//Factor;

Refine[%<0,Assumptions→y>=0].

程序运行结果是“True”. 因此，当n≥5 时，序列

类似地，对式 (16) 的右半不等式的证明，作辅助函数

求G(x) 的导数，并用式 (12)，则当x≥3 时，有

最后的不等式大于零，可由下面的Mathematica程序验证.

fu[x_]:=pd[x]-D[la[x]+up[x],x]

fu[x]/.x→y+3//ExpandNumerator//Factor;

Refine[%>0,Assumptions→y>=0].

所以，(zn-γ) 与它的上界的差为

这意味着常数 3129858701/7235260956 是这类上界中最好的数字. 这完成了定理的证明.

□

参考文献:

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[3]YangSJ.OnanopenproblemofChenandMorticiconcerningtheEuler-Mascheroniconstant[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2012,396(2):689-693.

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[7]AlzerH.Onsomeinequalitiesforthegammaandpsifunctions[J].MathematicsofComputation,1997,66(217):373-390.

A Class of Sequence Fastly Converged in the Euler Constant

GAO Meng, ZHENG Deyin

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Abstract:This paper determined a sequence with p+1 parameters which was converged in the Euler constant γ, obtained the recursive relation between the parameters, and gave the approximation sequence order when p=7.

Key words:Euler constant; Bell polynomial; approximation

第14卷第1期2015年1月杭州师范大学学报(自然科学版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.14No.1Jan.2015

文章编号:1674-232X(2015)01-0092-05

中图分类号:O157.1MSC2010: 41A60；41A25；57Q55

文献标志码:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.01.017

通信作者：郑德印(1964—)，男，副教授，主要从事组合数学、超几何级数、特殊函数研究.E-mail：deyinzheng@hznu.edu.cn

收稿日期：2014-04-16