LNQD序列半参数回归模型小波估计的强相合性

丁立旺,范雅静,粟光旺

(1.广西财经学院金融与保险学院，广西 南宁 530003；2.广西财经学院信息与统计学院, 广西 南宁 530003)

LNQD序列半参数回归模型小波估计的强相合性

丁立旺1,范雅静2,粟光旺2

(1.广西财经学院金融与保险学院，广西 南宁 530003；2.广西财经学院信息与统计学院, 广西 南宁 530003)

摘要：对于半参数回归模型yspan=xspanβ+g(tspan)+espan(1≤i≤n),误差{espan,1≤i≤n}为平稳LNQD序列,研究了未知参数β和未知函数g(t)小波估计的强相合性,在一定的条件下,得到了合理的结果,把非参数回归模型的相应结果推广到半参数回归模型.

关键词：LNQD序列;半参数回归模型;小波估计;强相合性

1引言及定义

对于固定设计半参数回归模型

yi=xiβ+g(ti)+ei,1≤i≤n,

(1)

其中(xi,ti) 为R×[0,1] 上固定的非随机设计点列,β 为未知待估回归参数,g(t) 是定义在闭区间I=[0,1] 上的未知函数,{ei,1≤i≤n} 是均值为零的随机误差.

半参数回归模型这一统计分支是近年来兴起的,我们知道参数分量用于对确定性影响因素进行分析,而非参数分量部分用于对随机干扰部分的刻画,而半参数回归模型结合线性回归模型和非参数回归模型,它吸收了二者之间的优点,更好地描述了现实问题,从而研究了许多有意义的问题:一、在基本模型下,主要的研究集中在统计大样本性质上,如运用各种不同的估计方法或在误差的不同设定下,探讨相关估计量的强相合性、弱相合性、r阶矩相合性及其收敛速度,以及渐近正态性和逼近正态速度等;二、主要的研究是把模型推广,探讨存在数据污染、存在数据截断或数据删失时,模型的估计及相关估计量的性质;三、主要是实证与应用研究.

令Em(t,s)=2mE0(2mt,2ms)=2m∑k∈Zφ(2mt-k)φ(2ms-k).记Ai=[si-1,si] 为[0,1] 上的分割si=(1/2)(ti+ti+1), 且ti∈Ai,1≤i≤n. 由于式(1)可写为

yi-xiβ=g(ti)+ei,i=1,…,n,

(2)

由 Eei=0, 有E(yi-xiβ)=g(ti)(i=1,…,n). 当β 已知时, 可定义g(·) 的估计为

(3)

(4)

从而可得g(·) 的最终估计为

(5)

由于小波估计的优良特性, 比如它对待估函数要求较低, 具有误差小、收敛速度快等许多优点, 因此近年来许多学者对之进行了一定的研究。小波估计方法主要广泛用于非参数回归模型和半参数回归模型及参数模型的各种统计推断中, 对随机误差为独立、各种混合和相依样本情形, 都进行了深入的讨论, 并且得到了比较完美的结果, 这里就不再一一列出.

定义1称随机变量X和Y是NQD的, 若对任意x,y∈R,有

P(X

定义2称随机变量序列Xn是LNQD的,若对任意两个非空不交的有限子集A,B⊂{1,2,…}和任意正实数列ri,都有∑i∈AriXi和∑j∈BrjXj是NQD的.

LNQD的概念是由Newman[1]于1984年首先引入的一类包含独立情形的相依随机变量,LNQD随机变量在多元统计分析、渗透理论、可靠性理论海洋、生物、经济等领域中均有许多广泛的应用.因此,引起了国内外概率统计学者的关注和兴趣.并且得到了很多有意义的结果.例如：Newman[1]建立了强平稳LNQD过程的中心极限定理；Wang等[2]给出了LNQD序列中心极限定理的一致收敛速度；Ko等[3-4]建立了LNQD序列的Hoeffdillg型不等式，又研究了LNQD序列加权和的强收敛性质；李永明等[5]得到了LNQD序列的一些不等式,并用权函数估计方法讨论了渐近正态性,并把强混合误差的情形推广到LNQD序列情形；崔永君等[6]在LNQD样本下用最近邻密度估计的方法,讨论了密度函数相关估计量的相合性,给出弱相合性、强相合性、一致强相合性以及它们的收敛速度的充分条件,同时研究了失效率函数估计的一致强相合性；杨洋等[7]讨论了强平稳LPQD随机变量序列更新过程的渐近正态性问题.

2条件及引理

文中C均表示任意常数,即使在同一式子中也可以不同.

(A1)g(·)∈Hν(阶为ν的Sobolev空间)，ν>1/2,且g(·)满足1阶Lipschitz条件;

(A3)(i)max1≤i≤n(si-si-1)=O(n-1)；(ii)max1≤i≤n(si-si-1-n-1)=o(n-1);

为了得到定理先引入以下引理:

引理1[8]设φ∈Sq,则

3定理及证明

(6)

(7)

(8)

上述定理得到了与文献[6,9]相同的结论,但与文献[6]相比,本文用不同于文献[6]的估计方法,且在回归模型中进行讨论,并把非参数回归模型的相应结果推广到半参数回归模型;与文献[9]相比,本文是在误差为LNQD平稳相依序列下讨论的,文献[9]是在误差为独立同分布下讨论的,这说明与独立情形下的结论是一致的.

证明由式(1)和(3)得

故对任一δ>0,当0<δ<η时,由引理1,可得

(9)

注意到

(10)

又由Markov不等式、引理2及(A4(i)),得

(11)

由式(10)和(11),当n→∞时,有

(12)

又有

所以由式(9)和(12)并结合上式可证得式(7).

(13)

又对∀ε>0,根据Markov不等式、引理2及(A5(i)),得

所以

从而由Borel-Cantelli引理,知

(14)

因此由式(7),(A5(ii))及(14)并结合式(13),可证得式(6).

又由式(3)和(5)及(A4(ii)),有

因此由式(7)和(13)并结合上式,可得到式(8)的证明.定理证毕.

参考文献:

[1] Newman C M. Asymptotic independence and limit theorems for positively and negatively dependent random variables[J]. Lecture Notes-Monograph Series,1984,5:127-140.

[2] Wang J F, Zhang L X. A Berry-Esseen theorem for weakly negatively dependent random variables and its applications[J]. Acta Mathematica Hungarica,2006,110(4):293-308.

[3] Ko M H, Choi Y K, Choi Y S. Exponential probability inequality for linearly negative quadrant dependent random variables[J]. Commun Korean Math So,2007,22:137-143.

[4] Ko M H, Ryu D H, Kim T S. Limiting behaviors of weighted sums for linearly negative quadrant dependent random variables [J]. Taiwanese Journal of Mathe matics,2007,11(2):511-522.

[5] Li Y M, Guo J H, Li N Y. Some inequalities for a LNQD sequence with applications[J]. Journal of Inequalities and Applications,2012,2012(1):1-9.

[6] 崔永君,杨善朝,梁丹.LNQD样本最近邻密度估计的相合性[J].广西师范大学学报：自然科学版,2012,30(2):59-65.

[7] 杨洋,王岳宝.强平稳.LPQD序列更新过程的渐近正态性[J].应用概率统计,2008,24(1):37-42.

[8] Walter G G. Wavelet and other orthogonal systems with applications[M]. Florida:CRC Press, Inc,1994.

[9] 钱伟民,柴根象.半参数回归模型小波估计的强逼近[J].中国科学A辑,1999,29(3):233-240.

Strong Consistency of the Wavelet Estimator for the Semiparametric Regression

Model under Linearly Negative Quadrant Dependent Sequences

DING Liwang1, FAN Yajing2, SU Guangwang2

(1.School of Finance and Insurance, Guangxi University of Finance and Economics, Nanning 530003, China; 2.School of Information

and Statistics, Guangxi University of Finance and Economics, Nanning 530003, China)

Abstract:For semiparametic regression model yspan=xspanβ+g(tspan)+espan(1≤i≤n), where the error {espan,1≤i≤n} is a strictly stationary linearly negative quadrant dependent sequences, the strong consistency of the wavelet estimator for β and g(t) are studied. The reasonable results under some certain conditions are obtained, which generalize and extend the results of nonparametic regression to semiparametic regression.

Key words:linearly negative quadrant dependent sequences; semiparametic regression model; wavelet estimator; strong consistency

第14卷第1期2015年1月杭州师范大学学报(自然科学版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.14No.1Jan.2015

文章编号:1674-232X(2015)01-0097-05

中图分类号:O212.7MSC2010: 60F05

文献标志码:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.01.018

通信作者：丁立旺(1985—),男，助教，硕士，主要从事概率极限理论和统计大样本理论研究.E-mail:2008dingliwang@163.com

收稿日期：2014-07-31