中美经典微积分教材比较研究

胡静波

(合肥通用职业技术学院，安徽 合肥 230031)

中美经典微积分教材比较研究

胡静波

(合肥通用职业技术学院，安徽 合肥 230031)

文章通过阐述美国最具代表性的两本微积分教材具有的特点，与国内教材进行比较分析，指出美国教材中值得我们学习和借鉴的地方，给我国高等数学教材改革提供一些启示。

微积分；教材；比较分析

一、研究背景

高等数学(微积分)作为我国理工类、财经类学生的一门基础课程，其教学改革在许多大学开展的如火如荼。在教学改革中，教材改革是重要的一环。教材直接面向学生，又是教师教学的基本依据，其成功与否自然引人关注。我国现有的大学高等数学教材大多沿袭原苏联的高等数学体系，内容严谨，编排紧凑，逻辑清晰，叙述简练。虽然国内微积分教材种类众多，但理论体系大体相同，例题、习题也重复甚多。其中尽管不乏同济大学数学教研室编的高等数学[1]精品教材,但大多数教材严肃有余，活泼不足，缺乏知识的实际应用，缺少时代气息。

James Stewart所著的Calculus[2]和Thomas、Weir等人所著的Thomas’Calculus[3]这两本教材在美国高校中捶打多年、备受推崇。Calculus教材[2]目前更新到第7版，在美国占到了65%的微积分教材市场[4]。Thomas’Calculus教材自1951年诞生以来已经是第13版。以这两本教材为代表的美国经典微积分教材,采用直观易懂的方式，由浅入深的介绍微积分的知识，通过丰富有趣的实例提高学生的学习积极性；通过让学生运用所学知识和方法解决实际问题，培养学生分析和解决问题的能力；通过在内容中渗透现代数学思想、数学方法，培养学生的科学和创新精神；通过不断更新富含时代气息的题目以达到教材的应用性和现代化。随着2014年6月教育部等六部门《现代职业教育体系建设规划(2014-2020年)》的下发,应用技术类型本科高校及高等职业院校的发展进入新的阶段。 在这样的背景下，放眼世界，借鉴更优秀的微积分教材进行教材改革不仅必要，也是大有裨益的。

二、国外教材特色

(一)入门容易

国外教材在正式的章节内容前面会安排预备知识以及难度不大的例题、习题进行铺垫，让初学者觉得很容易入手。如Calculus在序言后面设置了常用数学公式、微积分概述以及诊断测试的内容，帮助初学者了解自己的现有数学水平。

而国内教材大多从函数与极限开始微积分的学习，缺乏与初等数学的衔接与过渡。如教材第1章一开始就采用ε语言介绍函数与极限。虽然叙述简练，逻辑性强，但对于数学基础不好的学生来说，理解起来较为困难。

(二)阅读性强

国外教材在介绍定义、定理的时候，往往先铺垫一些有实际数据支撑的相关实例，引导学生在一定的情境中对该定义、定理产生初步的印象，再给出严谨叙述。如运用微元法求所围图形的面积，国内教材一般是铺垫两个简单例子后直接给出求解方法。

再比如微积分学概述部分，Calculus教材用浅显的语言告诉读者微积分不仅可以用于解决较为复杂的面积、切线、速度问题以及理解芝诺悖论，还可以回答一些有趣问题，比如为什么彩虹的最高点角度总是向上42度，这样可以帮助读者建立微积分“实用”、“有趣”的良好印象。

(三)结合实际应用

国内微积分教材大多停留在纯数学理论知识的讲授上，实际应用较为缺乏。虽然能很好的培养学生知识的系统性，但题目和解题过程都过于枯燥、刻板，最终给学生造成微积分抽象难学，没有实用价值的印象。

国外教材大量选取紧密结合最新实际的应用题，赋予现实背景，用问题驱动学生的学习。大量真实数据的引入和插图的使用，有助于学生识记和巩固知识点，有助于学生直观形象的理解问题的产生和演变，推导出一般性结果，最终理解和深化定义、定理的本质。

一个典型的例子：在介绍导数的定义时，教材先是分别从物理、化学、生物、经济等方面举了8个图文并茂的例子进行描述，再从地质学家、工程师、城市地理学家、气象学家的角度描写了他们心目中的导数，最后从心理学、社会学的角度进行切入举例说明。看完后让人大呼过瘾，直道导数原来有这么广泛的用途。反观国内教材，大多只有两个经典的例题：变速直线运动的瞬时速度、平面曲线的切线斜率，少数教材再加上边际成本模型、化学反应速度模型。

(四)内容模块化

许多经典的美国微积分教材将内容划分为若干个独立的模块，如基础模块、应用模块、提高模块、专题模块。另外教材根据专业的不同设置若干专业选修模块，如金融模块、工业工程模块等。这些模块由少则一章多则几章的内容组成，模块间的联系不像国内教材那样紧密，其更加强调能力的培养。应用模块及专业选修模块中的微积分内容十分强调理论与实践相结合，提供许多与专业相结合的例题与习题，为学生学习专业知识和可持续发展打下坚实的数学基础。教师可以根据各专业对数学的不同要求进行模块的灵活组合，从而在培养学生扎实的数学基础之上，有针对性的培养学生专业课程及职业岗位学习能力。

(五)题目丰富而精巧

1.题目数量、质量兼具，难度分层

国外优秀微积分教材普遍题量大、内容丰富、覆盖面广。以练习题为例，国内教材的练习题量一般在1000-2000题之间。而国外教材的题量普遍高于5000题。但这也随之带来内容过多的问题。第7版有1381页，第11版有1564页，Thomas’Calculus如此多的内容让人容易产生畏难情绪。

国外教材的题目来源广泛，经济、金融、几何、建筑、物理、生物、军事、社会等方面都有所涉及。题目难度渐进，一般包括初级的概念题、常规计算题，中等难度的证明题、应用题，还有难度较大的CAS题、探索求解题、数学建模题。这样的题目分层既有深度也有广度，考虑了学生的各个层次，便于教师教学活动的开展和因材施教。此外为了便于使用，教材在每一个应用题前面标示题目的名称。如：粒子的运动、一艘帆船的位移、温度和钟摆的周期。

国内教材近几年也意识到题量较少，缺乏典型应用和探索性习题。现在将题量增大的同时把例题、习题层次化，采用一题多问、一题多变、跨章节追问等方式，增添了来源于生活和科技的题目，增加了循序渐进的题目，增强了内容具有伸缩性的题目。

2.融入数学建模思想，重在能力培养

凡是需要运用数学解决的问题，总是离不开数学建模。国外教材提供了许多设计新颖、风格各异的实际应用题。通过对这些题目进行建模和求解，鼓励学生对实际事物进行数学简化，理性的思考解决方法；通过题目的具体解析，将问题函数化、数值化，潜移默化的影响学生的思维方式，形成数学建模精神。各种类型和风格的题目，旨在帮助学生建立微积分作为理解现实世界，解决现实问题的工具的理念，也可以满足不同能力培养的需要。

3.内容不断更新

20世纪后半叶到本世纪初，科技和社会日新月异的发展为数学提供前所未有的广阔应用前景。数学的应用已经影响和渗透到绝大多数的领域。虽然微积分的框架早已搭建完毕，但相关的应用却是越来越广泛。国外教材在保留经典微积分知识的同时不断更新教材的内容，增添新鲜有趣的例题、习题，指导学生使用新的数学软件解决实际问题或绘制赏心悦目的图形。如Calculus在改版中加入了1998年艾奥瓦州的气压水平曲线，悉尼地区的温度、阿根廷近五十年农村地区人口百分比等素材，Thomas’Calculus在改版的电子书中加入了动态的图形和相关视频。

(六)善于运用现代化教学手段

国内的高等数学课堂，许多老师已能够熟练使用Word、Excel、PPT等软件进行辅助教学，使用Matlab、Mathematica、Maple等软件进行计算机作图及运算。国外教材则进入了运用现代化教学手段的2.0版，开始提供立体化、网络化教材支持：通过开辟专门的网站，提供授课视频、教学课件、常用数学网站链接、2D/3D在线绘图软件，让学生自主学习及探索数学实践活动；通过给学生提供网上交互式在线辅导和电话辅导，延伸教学课堂。

三、启示与建议

(一)加强实际应用的内容

随着科学技术的迅速发展，数学的应用正在向一切已知甚至未知的领域进行渗透。微积分教材建设，在内容选择上，要扩大素材的选取范围，通过分析专业课程的教学内容与微积分课程的联系，寻找内容的契合点， 加强教材的适用性、实用性和应用性；要紧密结合生产和生活实际，贴近时代发展步伐；要强调应用能力的培养，服务于专业培养和素质教育培养的需要。在例题的设计上，要尽量避免直接套用公式解题，弱化高难度解题技巧的训练；要将数学知识点用实际问题驱动，定性与定量相结合的介绍知识，引导学生积极思考，将实际问题数值化、图像化，帮助学生直观的理解抽象的数学内容。同时“推动教学方法改革，通过真实案例、真实项目激发学习者的学习兴趣、探究兴趣和职业兴趣”。

(二)开展模块化教学和分层教学

美国高校在模块化教学和分层教学方面开展较早且较为成功。通过学习美国经典微积分教材在模块化分解知识点、教学分层等方面取得的成功经验，高等数学的教学内容可以更加贴近专业需要，调动学生学习的积极性和主动性，有助于课堂教学活动的开展，满足不同层次学生的学习需要和不同专业学生的培养需要。这既有利于增强高等数学的基础课程地位，也有利于教师模块化教学和分层教学等活动的开展。

(三)融入数学建模思想

数学建模作为一种创造性活动，不仅是高等数学的实践延伸，而且是培养创新型人才的有力工具。在教材建设中，要将数学建模的思想适当引入教学内容之中，将知识点的导入和应用设置于一个具体建模环境，指导学生通过数学建模的过程思考问题、分析问题、解决问题，培养学生应用数学的意识和能力，把微积分这一纯理论课逐步变成理论与实践相结合的课程，提高教学质量。

(四)进行教材的立体化、网络化、持久化建设

国内许多高校的高等数学既是精品教材，也是精品课程，同时将配套的电子教材、PPT教案、在线课堂、网络辅导系统等各种教学资源有效地整合并在网上共享。但应看到，这其中有新意、有亮点的不多，真正不断丰富教材内容，坚持更新的不多。因此在教材建设中，我们需要紧密结合当前最新的科学发展的新应用，不断完善更新教材内容，采用网络技术、多媒体技术等现代化教学手段丰富教学内容，持之以恒的进行现代化教材建设。

四、结语

微积分教材作为教师和学生之间的核心纽带，在课程教学中发挥着无可比拟的重要作用。“他山之石，可以攻玉”，随着越来越多的国外优秀微积分原版教材及双语教材[5]逐渐引入国内高校课堂，我们通过国内外经典微积分教材比较研究的交流互补、融合提高，有利于数学教学与国际接轨，有利于学生创造性思维和科学精神的培养，有利于因材施教和素质教育的开展，有利于更好的实现人才培养目标，最终打造属于我们自己的经典微积分教材。

[1]同济大学数学系.高等数学(第六版)[M]．北京：高等教育出版社,2007.

[2]James Stewart．Calculus(Fifth Edition)(影印版)[M]．北京：高等教育出版社,2004．

[3]Finney，Weir，Giordano.Thomas’CALCULUS(Tenth Edition)(影印版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[4]中国教育电视台《大学书苑》栏目.畅销背后的奥秘——访《微积分》教材作者James Stewart[J].中国大学教学,2003,(10):36.

[5]James Stewart．Calculus(6th Edition)(双语版)[M].张乃岳,译.北京：中国人民大学出版社,2009．

2095-4654(2015)06-0013-03

2015-03-20

安徽省质量工程教学研究项目(2013jyxm406)

G634

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