分段函数在高职高专高等数学课中的应用

郑晓珍

（襄阳职业技术学院， 湖北 襄阳 441050）

在自变量的取值范围内，分别用几个不同的数学式子表示的函数称为分段函数。分段函数是高等数学中经常出现的一种函数，[1]在求函数的左极限、函数的右极限、函数的极限、函数的连续、函数的定积分运算中，能很好地体现函数的左极限、函数的右极限、函数的极限、函数的连续性等定义以及函数定积分的积分区间的可加性性质。因此,在学习函数的左极限、函数的右极限、函数的极限、函数的连续性等定义以及函数的定积分的计算时,分段函数是必须要应用到的一种函数。

一、分段函数在求函数极限运算中的应用

解 函数的图形如下：

观察函数的图形可得：

由自变量趋向于有限值时函数极限存在的充要条件是当x→x0时，函数f（x）的左、右极限都存在且相等，即，可知以及不存在。

而当自变量趋向于有限值时函数的左极限、右极限、极限的定义分别为：

定义1：设函数f（x）在x0左侧有定义，如果当x从小于x0的方向趋向于x0时，函数f（x）无限趋近于一个确定的常数A，则称A为函数f（x）当x→x0时的左极限，记为

定义2：设函数f（x）在x0右侧有定义，如果当x从大于x0的方向趋向于x0时，函数f（x）无限趋近于一个确定的常数A，则称A为函数f（x）当x→x0时的右极限，记为

定义3：设函数f（x）在x0附近（x0可除外）有定义，如果x当无限趋向于x0时，函数f（x）无限趋近于一个确定的常数A，则称A为函数f（x）当x→x0时的极限，记为

二、分段函数在判断函数连续性中的应用

定义4：函数的连续性定义为：设函数f（x）在点x0附近有定义，若，则称函数（x）在点x0连续，x0称为函数y=f（x）的连续点。

三、分段函数在函数的定积分运算中的应用

解 已知函数为分段函数，

函数定积分的积分区间的可加性性质为：若把积分区间［a，b］分成［a，c］、［c，b］两部分，则有

所以在以上求分段函数的定积分的运算中，体现了函数定积分的积分区间的可加性性质的应用。

可见，分段函数能很好地体现函数的左极限、函数的右极限、函数的极限、函数的连续性等定义以及函数的定积分的积分区间的可加性性质。

［1］同济大学函授数学教研室.高等数学（第3版）[M].上海：同济大学出版社，2002.