从多角度谈数学是什么

梁琼芬

(华中师范大学 数学与统计学学院，湖北 武汉 430070)

1 什么是数学

1.1 数学的定义

关于“数学是什么”这个问题，哲学界、数学界众说纷纭。作为一个数学专业者，回答“数学是什么”是所学数学知识上升到某一高度时对数学的反思。而这种思考，又有助于我们进一步认识数学。从古至今，关于数学本质的讨论不仅仅局限于数学界，哲学家甚至文学家都尝试给数学下一个合理的定义。

公元前4世纪，古希腊学者亚里士多德说“数学是量的科学”。19世纪，恩格斯说“数学是数量的科学，它从数量这个概念出发”。恩格斯还在《反杜林论》中说到:“纯数学的对象是现实世界的空间形式和量的关系，所以是非常现实的材料。”1988年出版的《中国大百科全书·数学》卷首列出:数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。M·克莱因说:“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说;满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想;有时甚至可能以难以察觉到的方式但无可置疑地影响着现代历史的进程。”［1］

从以上对数学定义的阐述可以看出，数学的定义随着数学的发展而发展。数学的每个发展时期成果是不一样的，因而不同时期对数学的定义也是有区别的。

1.2 不同数学哲学学派的数学观

令人遗憾的是，迄今为止，关于“数学是什么”这个问题，还没有一个公认的标准回答。逻辑主义者认为，数学是逻辑，从而试图从逻辑推出所有的数学。直觉主义者认为，数学是创造性的(直觉)精神活动，从而提出数学的可构造性。形式主义者认为，数学是由形式符号构成的形式系统，不同的一套公理可以推出一套完全不同的数学知识体系［2］。由此可见，对“数学是什么”的不同回答，会形成不同的数学哲学学派，同时会产生对整个数学基础的不同看法。

2 从数学的发展历史看数学

数学是从现实生活抽象发展起来，以符号为主要研究对象，并用于解决实际问题的一门科学。解决的问题包括确定性的、随机性的、模糊性的，或连续或离散的实际问题。而这些不同类型的问题又促进不同类型数学的产生及发展。17世纪中叶，法国数学家帕斯卡和费马在讨论如何合理分配赌注的问题上最先抽象出数学模型，从而导致概率论这个分支的最初形成。20世纪70年代，模糊数学这个新兴的数学分支形成高潮。模糊数学基于集合论的基础，集合论研究的是确定的隶属关系，每个集合都必须由明确的元素组成，也即每个元素对集合的隶属关系必须是明确的。集合论使得那些模棱两可的关系有很大的发展空间，于是模糊数学应运而生。模糊数学在一些复杂的系统作用尤其凸显。比如在航天系统、社会系统，它们涉及的变量很多，各种因素互相交错，模糊性也很明显，这就需要一种可以研究各种因素的隶属度的工具。现在模糊数学已经在医学、计算机方面发挥了重要的作用。

数学是一个庞杂的理论系统，数学内在的联系是普遍的，而有些联系是隐蔽的。我们只能一点点地摸索。数学就像是一座大矿山，我们只能慢慢地开发，但是哪一天能开发完，或者哪一天在矿山旁边发现新的矿源，没有人知道。很多看起来没有什么相关性的数学知识却隐藏着密切的联系。高次方程的求根公式问题与新的代数结构理论发生了联系就是一个很有力的例子。数学家们已经可以通过变量代换的方法，把三次方程降次化为二次方程来求得与原方程同根的预解式方程，从而把问题归结为已解决的二次方程求根公式问题。但是，这种方法对于五次及五次以上的一般方程却不适用了。因为五次方程的预解式方程不再是四次，它可以是高于五次的方程。于是有数学家分析这种方程的系数的联系，直接导致了抽象代数的诞生，从而使得数学进入一个全新的时期。这种联系是数学内在的本质的联系，不是人为地把抽象代数与五次方程建立联系，而是它们之间本来就客观存在着联系。当问题的难度还没上升到一定高度时，就难以建立这种复杂的联系。因此，可以说，数学就像是一颗大树，越是向上发展，旁枝就会越来越多。

3 从数学的研究方法看数学

数学是在不断的猜想、修改、完善中发展的一门科学。数学是人的一种思维创造活动，猜想是数学创造活动的源泉之一。而猜想往往会受几何直观的影响。一开始的猜想可能是不正确的，但会有一些合理的成分，这些合理的成分经过多次的修改完善，就会成为定理。如欧拉多面体公式，欧拉从众多多面体的点、棱、面的数量中猜想多面体点、棱、面之间的数量关系。有了猜想就有了研究动力。在欧拉公式得到证明后，很快有人找到了反例。问题就在于多面体的概念过于宽泛。对于某些特殊的多面体，欧拉公式是不成立的，但对于一般的多面体，证明过程确实没有问题。于是修补工作开始，是修改多面体的定义，把“怪物”的特征从多面体的概念中剔除，还是重新审视证明过程是否隐含着对多面体的要求和限制。数学可以借助几何直观帮助我们猜想，但要避免几何直观对思维的束缚。约翰.伯努利在求悬链线时从几何直观中跳出来，猜想悬链线不是简单的代数模型抛物线，于是转到别的思路，才发现了悬链线是一种超越函数，这与抛物线性质相差甚远。

4 从数学的结论性质看数学

数学的结论是一种可缪的、相对的真理。数学被看作是最严密、最严谨的科学。尤其是经典的公理化方法，使得数学在公理的基础上经过严谨的逻辑演绎推理而来。非欧几何向我们一直奉为经典的欧氏几何发起了挑战。我们的生存空间并不是像我们所能看到的那样简单，三角形的内角和就一定只能是180°，而在球面和高山勘察时遇到的三角形内角和就不是180°了，非欧几何更真实地描述了客观世界的情况。两种相悖的几何，由互相矛盾的公设推导而来，并且继续成为我们认识世界、解释世界的理论体系。欧氏几何与非欧几何无所谓孰对孰错。数学真理不是唯一的，不是绝对的，因而也不存在谁对谁错的问题，只要能在自身系统自圆其说，那就是真理。如果要追根到底，尽管是利用公理化的方法，使得数学在最简单的公理基础上建立起来。然而，这种公理也是人脑的一种直觉形式的反映。也只能说，数学最终归结为一种大家比较公认的直觉。如果命题A 不可证明，也不可证否，那么命题A与所在的系统就是互相独立的，也即与A 矛盾的命题B与A所在的系统结合就可能会产生一套完全不同的理论。亚里士多德最先提出了排中律，对于命题P，要么P 成立，要么非P 成立。我们现在常用的反证法就是排中律最明显的运用例子。但是，并不是所有的命题都是符合排中律的，有些命题无法判断其正确与否，更不能证明。例如，“π 有连续9个9”这个命题就是无法证明的，没有说明从哪位开始有连续9个9，而π 是个无理数，即使借助计算机，我们也无法判断。

5 从数学的学科性质看数学

数学不属于自然科学的范畴，而应该是与自然科学平行的学科。我们知道，自然科学研究自然中的客观现象，而人文科学关注的是人与人或人与社会的关系。数学是与自然科学、人文科学性质不同的一门学科。首先，数学的研究对象不是客观现实原原本本的实物，而是研究抽象的符号。这种符号可以反映客观现实，但这种理论首先是基于一定的公理理论基础，而这种理论基础不一定是出自客观现实的，而是人脑建构起来的对客观世界的主观认识。数学看不见摸不着，要根据人的认识去理解数学。如果你认同一套公理，那么这套公理演绎推理出来的理论就是你认可的真理。从这个意义也可以说明数学是一种相对的真理。

数学作为与自然科学平行的学科，它是自然科学的领头羊，是解决自然科学问题的有效工具。在数学的发展史上，自然科学对数学提出的要求是数学发展的源泉之一。例如微积分的创立，就是建立在当时的物理学和天文学对数学方法的要求上。自然科学的问题，给数学的发展提供了外部动力。而数学发展的另外一个动力来自数学本身的内在要求。数学有时候是走在自然科学前面很多步，或者是应用滞后于发展。但是数学毕竟有自己的理论体系，它不可能完全按照自然科学的要求来发展，有些理论可能一段时间还用不上，但随着数学及自然科学的发展，数学理论的应用就会慢慢体现出来。

［1］王青建.数学是什么［J］.自然辩证法研究，2000，16(1):1－6.

［2］孙宏安.对“数学是什么”的哲学思考［J］.大连理工大学学报(社会科学版)，2001，22(3):36－40.