基于椭球膨胀法限制长度变形的认识和实践

段志强，刘 平，邢光成

（1.湖北省测绘成果档案馆，湖北 武汉 430074）

基于椭球膨胀法限制长度变形的认识和实践

段志强1，刘 平1，邢光成1

（1.湖北省测绘成果档案馆，湖北 武汉 430074）

根据长度变形及用椭球膨胀法建立独立坐标系限制变形的基本理论，简要说明了引起长度变形的因素，推导了椭球膨胀法的计算公式，并编写程序实现了椭球膨胀法模型算法。

长度变形；椭球膨胀法；投影面；中央子午线

由原始测量数据经处理到最终获得平面上点的坐标，这一过程实际上要经过由自然地球表面获得的测量原始数据归化到参考椭球面上，然后再经过某种投影转化到平面上。由地球表面到参考椭球面的计算称为高程归化，将经过高程归化的测量元素依据一定的投影方式投影到平面上，称为投影转化。这2个过程都会使原测量元素变形。

1 引起长度变形的主要因素及限制办法

引起变形的因素主要有长度边高出椭球面的大地高和偏离中央子午线这2项。在一般城市测量或工程测量中，要求地面水平边长在经过高程归化和高斯投影改化2项计算后，每km长度变形不超过2.5 cm （精密工程测量要求更严格），也就是要求控制点成果间按坐标反算的长度与实地直接测量得到的长度差值尽可能小。在使用这些控制点的数据时可以不进行任何化算，就可满足城市或其他工程的大比例尺测图和施工放样要求。

限制投影变形的方法有：采用改变投影面的方法（抵偿投影面的高斯正形投影）、移动中央子午线方法（任意带高斯正形投影）以及这2种方法同时使用，即具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影。当城市或工程东西跨度过大，上述方法都不能达到目的时，就要考虑将城市或工程分为2个或2个以上投影带建立多个独立坐标系来解决投影变形问题。

1.1 从自然地球表面到参考椭球面产生的长度变形

地面点测量的基准面是大地水准面，其基准线是对应点的垂线。而参考椭球面是地面点计算的基准面，其对应点的法线是计算的基准线。这是因为大地水准面与参考椭球面之间存在大地水准面差距Δ N，各地面点的垂线与其法线存在垂线偏差u。由于垂线偏差的存在，使得垂线和法线不重合，经过某线段的平均水准面也就不平行于椭球面。从理论上讲，在长度归算过程中应首先消除这种影响。

以下讨论都假定已经消除了垂线偏差对长度归算的影响或者说忽略这种影响，而仅仅考虑地面高程对长度归算的影响。与垂线偏差对长度归算的影响相比，地面高程对长度归算的影响是显著的。

地面一段水平长度为S的边，归算至国家规定的椭球面上要加如下改正（取一次项）：

归算边的相对变形为：

1.2 从椭球面采用高斯投影到平面的长度变形

将经过高程归化后的椭球面上的长度量，采用高斯投影转换到平面上，其长度变形为：

其相对变形为：

式中， S0=S+Δ S1，即S0为实测边长S归算到参考椭球体面上的边长；ym为归算边两端点横坐标“自然值”的平均值为参考椭球面平均曲率半径,即经过曲面任意一点所有可能方向上的法截线曲率半径RA的算术平均值（M为子午圈曲率半径，N为卯酉圈曲率半径）。由式（3）可以看出，Δ S2的值总为正，即椭球面上长度投影至高斯平面上总是增大的。Δ S2值与成正比，说明离中央子午线愈远变形愈大。

2 椭球膨胀法的实现

通过采用改变投影面、移动中央子午线以及同时使用它们可以达到限制长度变形的目的。在工程实践中是通过一定的测量计算方法，建立区域相对独立坐标系的过程来具体实现的。例如，如果仅移动中央子午线的方法能达到限制变形到规定值，就简单进行高斯投影换带计算即可。

2.1 采用抬高投影面的方法建立独立坐标系

高程归化改正长度变形的基本原理是，通过抬高投影面(膨胀、平移、变形)使得点位的大地高减小，从而达到减小变形的目的。

所谓“抬高投影面”实际上是改变椭球参数，然后在新的椭球参数下重新进行有关投影计算。这一方法统称为“椭球变换法”。 实现抬高投影面一般有2种选择：椭球变换法和比例缩放法。一般情况下，比例缩放法只适合很小的区域，且理论上不够严谨，但计算模型简单容易实现；椭球变换法可适合较大区域，理论上较严谨，但计算模型相对复杂，实现相对繁琐。椭球变换法又分为椭球膨胀法、椭球平移法和椭球变形法3种。

2.2 椭球膨胀法实现独立坐标系的建立

在椭球变换法中，椭球膨胀法是理论较为严谨且相对容易实现的一种方法，因而被普遍应用到独立坐标系的建立。

如图1所示，设原椭球为E0，对应的长半轴为a，短半轴为b，扁率为f。

图1 椭球膨胀法示意图

沿地面上一点P0的法线方向将原椭球面E0抬高到由dh所定义的投影面高度，即得到E1椭球，按椭球膨胀法定义有，膨胀后椭球中心位置不变（dXo=dYo=dZo=0），坐标轴指向不变（εx=εy=εz=0），尺度不变（dk=0），扁率不变（df=0），第一偏心率不变（de=0），仅长半轴发生了改变（da≠0）。当然，在长半轴发生改变的情况下，要使得扁率不变，短半轴一定发生改变（db≠0），并且改变后还满足条件：

设改变后的椭球长半轴为a1，短半轴为b1，扁率为f1，则椭球膨胀后有a1=a+da。又根据扁率的定义有原椭球E0的扁率原椭球经过膨胀后形成的椭球E1的扁率因扁率不变，即f1=f，则：

因分母（a+da）a不等于0，所以有：

因上式中b·da不等于0，所以有b1不等于b。设（b1-b）=db（短半轴的膨胀量），则得

2.3 椭球膨胀法建立独立坐标系的方法及程序实现

根据椭球膨胀法原理，确定长半轴改变量da是关键，目前主要有以下3种方法确定长半轴改变量。

1）高程直接补偿法。即投影面的大地高变化量dh直接表现为对椭球长半径的变化量的影响。如将原标准参考椭球面大地高视为0 m，抬高dh后新的椭球面平均大地高程用Hm表示。设长半轴变化量为da，则：

2）法线方向增长法。即投影面的平均大地高Hm表现为对卯酉圈曲率半径N 的影响，即dN=dh=Hm（dN为测区卯酉圈曲率半径变化量）。设投影面基准点处的纬度为Bm（因基准点一般设在测区平均纬度某点处，所以Bm实际上是测区平均纬度）。

根据椭球上元素间的关系式有：

3）平均曲率半径法。投影面的大地高Hm表现为对椭球平均曲率半径的影响。即在E0椭球上指定一个位置基准点P0，其纬度为B0，基准点上参考椭球的平均曲率半径的变动量设为Hm，R0为参考椭球E0的基准点处平均曲率半径。设新椭球E1基准点处的平均曲率半径为Rm，则Rm=R0+Hm。再设新椭球E1基准点处的平均纬度为Bm，则可得到：

式（8）推导过程如下，首先列出椭球面上计算的基本公式。

子午圈曲率半径：

卯酉圈曲率半径：

平均曲率半径：

W称为第一辅助纬度函数；V称为第二辅助纬度函数，e'2为第二偏心率。

设E0基准点处曲率半径为R0，依据平均曲率半径基本公式，用确定投影面基准点的纬度B0代替上述B，则有：

对于新椭球E1基准点处有Rm=R0+Hm，于是对于新椭球E1基准点处，再套用上述关于a的表达式得：

式中，

1

依据椭球膨胀法理论定义有dXo=dYo=dZo=0，εx=εy=εz=0，dk=0，df=0，da≠0。据此再根据广义大地坐标微分公式，推导出椭球变化后各点大地坐标的变化量：

式中，

则点在新椭球中的大地坐标表示为：

根据计算得到的各点在新椭球中的大地坐标，再采用新的椭球参数进行高斯投影正算，即可实现国家标准带坐标系到区域相对独立坐标系的转换。

2.4 实例验证

基于VB语言，依据以上数学模型，用椭球膨胀法通过改变投影面和移动中央子午线，实现了将国家标准带坐标转换到区域相对独立坐标系中，并通过多项工程数据证实计算完全正确。图2为程序界面图，表1为4个点的坐标转换算例。计算示例引用文献[1]中的数据，其原参考椭球为IAG75（1980西安坐标系椭球），原中央子午线99°，基准点经度101°16'32"（作为新中央子午线）、纬度26°37'（作为测区平均纬度），正常高1 200 m，高程异常-1.8 m。

图2 程序界面示意图

表1 4个点的坐标转换算例

3 结 语

采用不同的“椭球变换法”计算出的独立坐标值会有一定差异，即使采用同一种“椭球变换法”（如椭球膨胀法）。如果在确定长半轴改变量上采用了不同模型，计算出的独立坐标也会有差异，但它们各自系统内相对关系都是正确的。为避免出现独立坐标计算值不一致的情况，一个城市或一个工程应该采用一种算法。如果某些软件没有要求用户输入测区平均纬度，则一定是用原始点坐标反求出的各点纬度取平均值来作为测区平均纬度，这样会因为给出点的纬度分布不同而计算出不同的平均纬度，对最终转换结果产生一定影响。

[1] 况金著,夏神州.通过椭球变换建立区域坐标系的高斯投影算法[J].地矿测绘，2011(4): 15-18

[2] 孔祥元.大地测量学基础[M].武汉:武汉大学出版社,2006

[3] 成英燕,李夕银.适用于不同椭球的高斯平面坐标正反算的实用算法[J].测绘科学，2004,8(4):26-27

[4] 丁士俊,畅开蛳,高琐义.独立网椭球变换与坐标转换的研究[J].测绘通报,2008(8):4-6

[5] 郭春喜,李东.基于CGCS2000建立城市相对独立坐标系统的方法[J].测绘通报,2012(10):9-11

[6] 李世安,刘经南,施闯.应用GPS建立区域独立坐标系中椭球变换的研究[J].武汉大学学报:信息科学版,2005(10):45-48

[7] 王怀念.最佳抵偿投影面的理论推导[J].测绘通报,2004(10): 18-19

[8] 王继刚,王坚,于先文.具有抵偿面的任意带高斯投影直角坐标系的选取方法[J].测绘通报,2002(11):31-32

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1672-4623（2015）01-0128-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2015.01.042

段志强，高级工程师，主要从事地理信息系统及地图制图等方面的研究。

2014-02-25。