(G′/G,1/G)-展开法在求解非线性演化方程中的应用

李保安，李灵晓

(1.河南科技大学 数学与统计学院，河南 洛阳 471023；2.上海师范大学 数理学院，上海 200234)



(G′/G,1/G)-展开法在求解非线性演化方程中的应用

李保安1,2，李灵晓1

(1.河南科技大学 数学与统计学院，河南 洛阳 471023；2.上海师范大学 数理学院，上海 200234)

(G′/G,1/G)-展开法是求解数学物理问题中非线性演化方程新行波解的一种直接而有效的方法，可以看作是(G′/G)-展开法的扩展方法。利用该方法，KdV方程和Burgers方程的含任意参数的新行波解被成功求解。当参数赋以特殊值时，从行波解中可以获得著名的孤立波解。

(G′/G,1/G)-展开法；行波解；孤立波解；KdV方程；Burgers方程

0 引言

近年来,寻求复杂的物理现象中非线性演化方程(NLEEs)行波解的研究发挥着重要作用。很多有效的方法，如Tanh-展开法[1-2]、Jacobi椭圆函数展开法[3-4]、齐次平衡法[5-6]、F-展开法[7-8]、辅助常微分方程方法[9-10]、指数函数展开法[11-12]和(G′/G)-展开法[13-14]等，可以成功地获取NLEEs的孤立波解、冲击波解、周期波解等类型的精确行波解，但这些解的形式大部分较为单一，并不能有效地反映某些复杂的物理现象，从而某种程度上限制了它的一些应用。

本文应用(G′/G,1/G)-展开法[15]，求解了著名的KdV方程和Burgers方程的更为丰富形式的行波解，该方法是(G′/G)-展开法的扩展。

1 (G′/G，1/G)-展开法的基础公式

作为(G′/G,1/G)-展开法的预备工作，考虑二阶线性常微分方程(LODE)[16]

G″(ξ)+λG(ξ)=μ,

(1)

并设

φ=G′/G,ψ=1/G,

(2)

由式(1)和式(2)得到：

φ′=-φ2+μψ-λ,ψ′=-φψ。

(3)

方程(1)的一般解有3种情形:

情形1 当λ<0时，方程(1)的一般解为：

(4)

由式(2)和式(4)得到关系式：

(5)

情形2 当λ>0时，方程(1)的一般解为：

(6)

由式(2)和式(6)得到关系式：

(7)

情形3 当λ=0时,方程(1)有一般解：

(8)

并且有关系式

(9)

2 KdV方程

考虑以下形式著名的KdV方程[17]：

ut+uux+δuxxx=0,

(10)

该方程在浅水波、等离子体磁流波、非谐振晶格振动和离子声波中广泛应用。由行波变换

u(x,t)=u(ξ),ξ=x-Vt。

(11)

方程(11)化为关于u=u(ξ)的常微分方程：

-Vu′+uu′+δu‴=0,

(12)

将该方程积分一次，得到：

(13)

其中，C是待定的积分常数。

考虑方程(13)中u″和u2的齐次平衡，设方程(13)的解具有形式：

u=a2φ2+a1φ+a0+b2φψ+b1ψ，a2≠0。

(14)

其中，φ和ψ满足式(1)和式(2)。

情形1 当λ<0时，将式(14)代入式(13)，并利用式(3)和式(5)，方程(13)的左边化为关于φ和ψ的多项式，令同次幂系数为零，得到关于参数a2、a1、a0、b2、b1、V,λ(λ<0)、μ和σ的代数方程组，求解得：

根据以上结果，并利用式(4)，得到方程(10)的双曲函数行波解为：

(15)

其中：ξ=x-Vt；A1、A2、λ(λ<0)和V是任意常数。

情形2 当λ>0时，类似情形1，由(G′/G,1/G)-展开法的基础公式，求解相应的代数方程组得到：

根据以上结果，并利用式(6)，得到方程(10)的三角函数形式的行波解为：

其中：ξ=x-Vt；A1、A2、λ(λ<0)和V是任意常数。

情形3 当λ=0时，根据类似的计算，得到：

由上述结果，利用式(8)，得到方程(10)的有理函数形式的行波解为：

其中：ξ=x-Vt；A1、A2和V是任意常数。

3 Burgers方程

考虑以下形式著名的Burgers方程[18]：

ut+uux-νuxx=0,

(16)

行波约化得到

u(x,t)=u(ξ),ξ=x-Vt。

(17)

将式(16)代入方程(15)，则方程(15)化为关于u(ξ)的常微分方程，关于ξ积分得到含积分常数C的方程：

(18)

考虑u2和u′齐次平衡，设方程(17)的解具有形式:

u=a1φ+a0+b1ψ,a1≠0。

(19)

情形1 当λ<0时,将式(18)代入式(17)，并利用式(3)和式(5)，方程(17)的左边化为关于φ和ψ的多项式，令同次幂系数为零，得到关于参数a1、a0、b1、V、λ(λ<0)、μ和σ的代数方程组，求解得到：

由上述结果，得到方程(15)的双曲函数行波解为：

(20)

其中：ξ=x-Vt；A1、A2、λ(λ<0)和V是任意常数。

情形2 当λ>0时,类似情形1，利用(G′/G,1/G)-展开法基础公式，求解相应的代数方程组得到：

由这些结果，得到方程(15)的三角函数形式的行波解为：

其中：ξ=x-Vt；A1、A2、λ(λ>0)和V是任意常数。

情形3 当λ=0时,根据类似的计算，得到：

由上述结果，得到方程(15)的有理函数形式的行波解为：

其中：ξ=x-Vt；A1、A2和V是任意常数。

4 结果比较

在式(15)和式(20)中取特定参数，如A1=0，A2≠0和A2=0，A1≠0时，KdV方程的解u1分别为：

其中：ξ=x-Vt；λ(λ<0)和V为任意常数。

而Burgers方程的解u1分别为：

其中：ξ=x-Vt；λ(λ<0)和V为任意常数，上述结果与其他文献中得到的结果相同。

当方程(1)中μ=0，展开式(14)和式(18)中bi=0时，(G′/G,1/G)-展开法就成为(G′/G)-展开法。容易验证上述KdV方程的解u1、u4和u7，Burgers方程的解u1、u4和u7与利用(G′/G)-展开法求解的结果相同，所以该方法看作是(G′/G)-展开法的一种扩展。但本文也得到了其他文献中没有出现过的新形式行波解：图1a和图1b分别是KdV方程的双曲函数行波解u1和u2取特定参数值时的图形；图2a和图2b分别是Burgers方程的双曲函数行波解u1和u2取特定参数值时的图形。

图1 KdV方程的双曲函数行波解

图2 Burgers方程的双曲函数行波解

5 结束语

利用(G′/G,1/G)-展开法求得了KdV和Burgers方程多种类型的含有任意参数的精确行波解，适当选取参数A1和A2时，可以得到方程著名的孤立波解，并与以往文献作了比较，出现的新形式行波解将对复杂的物理想象的解释起到一定的借鉴作用。

致谢：本文得到王明亮教授的悉心指导与帮助，作者表示衷心感谢!

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国家自然科学基金项目(11271110);河南省教育厅自然科学研究计划基金项目(2011B110013)

李保安(1972-),男,河南洛阳人,副教授,硕士,研究方向为非线性偏微分方程.

2014-12-08

1672-6871(2015)03-0090-06

O175.2

A