五自由度并联机器人机构运动性能优化研究

李瑞霞

(长治医学院生物医学工程系，山西长治 046000)

0 前言

并联机构由于其本身具有的诸多优点，如刚度高、承载能力强、动态性能好、速度快和结构简单等，受到了国际学术界和工程界的广泛重视［1－2］。陈修龙等［3］对4-UPS-UPU并联式坐标测量机的灵巧度从7个性能指标进行了研究，齐明［4］对4-UPS/UPU 5自由度并联机构进行了分析，提出给定工作空间使其操作性能最优的尺度综合方法，吴文强等［5］对串联机器人的性能指标进行了优化分析，Tao等［6］对三转动并联机构进行了性能指标优化分析，对于对立的性能指标提出加权因子，李明磊等［7］提出了基于差异演化算法对并联机构进行结构优化。

本文作者以一种可实现5自由度的4-UPS-UPU并联机器人机构为研究对象，建立其运动学模型及雅克比矩阵，考虑机构在运动空间内的运动学性能，引入全域条件指标和全域梯度指标为优化目标，基于多学科设计优化软件Modefrontier对机构进行了多目标优化研究。采用柱坐标极限搜索法求解机构工作空间，通过求解其全域条件指标的近似值，得到优化目标的数学模型;采用实验设计和粒子群优化算法对机构进行了优化求解，求得最优Pareto解，对优化前后的运动性能进行了比较分析，为并联机构多目标优化设计提供参考依据。

1 4-UPS-UPU并联机构模型

1.1 并联机构描述

4-UPS-UPU并联机构的模型及坐标系的建立如图1所示，该机构由动平台、定平台及连接动平台和定平台的4条完全相同的驱动支链UPS以及1条驱动支链UPU组成。4个完全相同的驱动支链由1个虎克铰，1个移动副和1个球铰按照U-P-S的顺序连接而成。另一驱动支链由一个移动副和两个虎克铰按照U-P-U的顺序连接而成［8］。

图1 4-UPS-UPU并联机构简图

以该并联机构的动静平台的几何中心o、O为原点，分别建立机构的相对坐标系o－xyz和参考坐标系O－XYZ，动平台外接圆半径为ra，x轴指向点A1，铰点Ai在动平台圆周上均匀分布，z轴垂直于动平台方向向上，y轴正方向按右手定则给定;静平台外接圆的半径为rb，X轴指向B5，B1与X轴正向夹角为45°，其余4个虎克铰相距90°均匀分布，Z轴垂直于定平台方向向上，Y轴由右手螺旋定则给定。

1.2 自由度的计算

根据传统的自由度求解公式

式中:F为机构的自由度，n为构件数，g为运动副数，fi为第i个运动副的自由度数。d为机构的阶数，当机构为空间机构时，式中的d=6。球副的自由度为3，虎克铰的自由度为2，移动副的自由度为1。该机构中，则F=5。即动平台具有X轴、Y轴、Z轴移动的自由度以及绕X轴、Y轴转动的自由度。

1.3 机构位置分析

动平台铰点Ai在相对坐标系oxyz和参考坐标系OXYZ下的矢量坐标可以表示为(Aix，Aiy，Aiz)T和(AiX，AiY，AiZ)T。

静平台铰点Bi在相对坐标系O－XYZ下的坐标为(BiX，BiY，BiZ)T。

点Ai从坐标系o－xyz转换到坐标系O－XYZ下表示为

式中:P=[x y z]T表示相对坐标系o－xyz原点在定坐标系下的位置矢量，根据RPY变换理论，可得旋转矩阵Q为

式中:sβ=sinβ，cβ=cosβ，其余类似。

驱动杆的长度矢量表达式为

则驱动杆的长度li为

若已知动平台的位姿，即可求出各连杆长度，即运动学逆解。

1.4 雅可比矩阵分析

对于并联机构4-UPS-UPU，雅可比矩阵反映驱动关节速度与动平台速度之间的映射关系。设动平台o点的线速度，动平台的角速度ω=，铰点Ai的速度可表示为

则第i条支链的驱动速度l·

i可表示为

其中si为驱动支链的单位向量

把式(6)代入式(7)中，得

则并联机构的雅可比矩阵为

2 机构运动性能指标的建立

2.1 全域条件指标

Gosseli［9－10］提出了全域条件指标，能够评估机构在整个工作空间上的运动性能，公式定义为其中ν为局部条件数，ν=1/κ(J)，κ(J)为雅可比条件数，κ(J)=‖J‖·‖J-1‖，‖·‖为矩阵的谱范数，W为工作空间。

全域条件数越大，说明整个工作空间的灵巧度越佳，因此，应使优化目标GCⅠ处于最大化。

2.2 全域梯度指标

F A LARA-MOLINA［11－12］提出了全域梯度指标，它代表局部条件数的波动情况，定义为

其中局部条件数的梯度可以表示为

GPⅠ近似等于整个工作空间下局部梯度的最大值，若梯度越小，说明整个工作空间的灵巧度波动性越小。于是，希望全域梯度指标取最小。

2.3 工作空间求解

为了求解全域条件指标和全域梯度指标，需要求解该并联机构的工作空间。本文采用柱坐标极限搜索法对4UPS-UPU并联机构定位姿(α=0，β=0)下位置工作空间求解。通过搜索空间中动平台参考点的位置对应的杆长和运动副转角以及奇异性判断是否符合限制条件，判断该位置点是否在工作空间内。搜索工作空间的流程图见图2。

图2 并联机构工作空间搜索流程图

具体的步骤为:

(1)将工作空间用平行于XY平面的的平面簇将Z轴分成n等份，沿Z轴以步长为Δz的子空间从Zmin到Zmax进行搜索;

(2)每一子空间z'内，采用柱坐标确定子空间，动平台参考点o在参考坐标系下的坐标为(ρcosθ，ρsinθ，z)。极角θ从0到2π以步长为Δθ=2π/100搜索，极径从ρ=0以步长Δρ=0.01 m搜索至ρmax=0.5 m。

(3)在搜索过程中，判断动平台参考点是否满足约束条件。如果机构满足约束条件且至少有一个取等号，则该点为工作空间的边界点，从而得到每个截面上的边界线，最终由边界线描绘出工作空间的三维轮廓;

(4)将柱坐标系下的ρ、θ转化到笛卡尔坐标系下，x=ρcosθ，y=ρsinθ。用坐标(x，y，z)表示，Matlab绘制机构工作空间的三维图形。

机构参数初始值见表1。

表1 机构参数表

借助MATLAB软件编写工作空间程序，可求得机构的三维工作空间，如图3所示。

图3 4-UPS-UPU并联机构的工作空间

3 优化模型的建立

选择该并联机构的结构参数lmin=0.4为固定值，ra、rb、lmax作为设计变量;优化目标为机构的全域条件指标GCⅠ和全域梯度指标GGⅠ，则机构的多目标优化模型为

4 优化结果分析

Modefrontier集成MATLAB，采用实验设计、优化算法来求解GCⅠ的最大值和GPⅠ的最小值。实验设计采用最优拉丁超立方设计，粒子群优化算法参数配置如下［13］:粒子种群大小为40，粒子个数设为10，惯性权重为0.9，全局增量为0.9，粒子增量为0.9，决定在当前位置与最好位置之间的区域分辨率的最大速度为0.1，运行失败的罚值为1030，运行失败的目标值为1030。任务组合流程图如图4所示。

图4 Modefrontier多目标优化任务流程图

Modefrontier在进行多目标优化过程中，实验设计会对优化模型进行计算，并剔除不符合约束条件的值，满足约束条件的值会进入优化环节，进行多目标优化求解，多次遗传迭代后可得到全域条件性能指标和全域梯度指标的Pareto解集，如图5所示。

图5 全域性能指标的Pareto解集

设计变量对性能指标的影响如图6、7所示。

图6 ra、rb对全域条件指标的影响图

图7 ra、rb对全域梯度指标的影响图

从图5可以看出，全域条件指标和全域梯度指标是近似正相关，这是两个相互冲突的指标，增大GCⅠ的同时也会增大GPⅠ。从图6和图7可以看出，随着设计变量的增大，性能指数也在增加，因此，需要设计者从Pareto解中选择符合要求的解。

选择P点作为可行解，比较优化前后目标函数变化情况，见表2。

表2 设计变量与性能指标优化前后结果比较

优化前GCⅠ=0.093，GPⅠ=0.9×10－2;优化后GCⅠ=0.122，GGⅠ=0.97×10－2，全域条件指标增大了30%，而全域梯度指标仅仅增大7%。

多目标优化不同于单目标优化，并不是获取一个目标的最优解，由于多目标函数的相互冲突，使得Pareto解未必占优。但如果单纯优化一个目标，就会使得其他性能很差。因此，同时对多个性能指标进行优化设计时，需要决策者权衡满足不同要求的优化结果，合理选取设计参数的值。

5 结论

(1)以一种可实现5自由度的4-UPS-UPU并联机器人机构为研究对象，建立其运动学模型及雅克比矩阵，考虑机构在运动空间内的运动学性能，并引入全域条件指标和全域梯度指标作为运动灵巧度的评价指标;

(2)采用柱坐标边界极限搜索法求解工作空间的方法，求解了全域条件指标的数学模型;在建立优化目标、选择设计变量、确定优化目标的基础上，构建了4-UPS-UPU机构运动灵巧度多目标优化模型;

(3)基于多学科设计优化软件Modefrontier对机构进行了多目标优化研究，采用实验设计和粒子群优化算法对机构进行了优化，求得Pareto解，并从多组解中合理选择了最优解，并合理确定了结构参数和优化参数，通过优化前后结果比较，机构运动性能得到增强，该文为并联机构优化设计提供参考依据。

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