2-RPS＆PSR并联机构刚度分析

柴保明，韩红雨，陈景礼，张保民

(1.河北工程大学机电工程学院，河北邯郸 056038;2.河北汉光重工有限责任公司设计所，河北邯郸 056038)

0 前言

目前，在并联机构的刚度分析中可知，现有的分析方法包括有限元分析法、模型解析法、矢量法、性能分析法等。而文中则以螺旋理论为基础，求取机构的全雅克比矩阵，进而在此基础上建立刚度模型，运用Matlab软件进行仿真。得出其各种直观曲线，验证该并联机器人实现预期运动的可行性，通过实例验证刚度理论求导的正确性，从而为今后的机构设计打下基础。

1 2-RPS＆PSR并联机构坐标系的建立和机构的实物图

建立机构2-RPS＆PSR的坐标系如图1所示。

图中以A、B分别作为ΔA1A2A3、ΔB1B2B3的中心，在固定平台上，以点A为坐标原点建立起固定坐标系A－xyz，x轴与A1A3平行，y轴与A1A2平行，z轴与ΔA1A2A3所在平面垂直;再以动平台为基础，建立以B为坐标系原点的坐标系B－uvw，假设无论在何种瞬时状态下，建立的动平台坐标系各坐标系均平行于固定平台坐标系A－xyz，各个坐标轴的设置同上。

图1 2-RPS＆PSR并联机构简图

如图2所示为3D绘图软件Crea.2所构建的并联机构2-RPS＆PSR的实物模型图。

图2 2-RPS＆PSR并联机构实物模型

2 基于螺旋理论并联机构2-RPS＆PSR的全雅克比矩阵

基于螺旋理论，运动螺旋为:

式中:$pi表示第i条支链产生的运动螺旋(i=1，2，3)，且

式中:v，w分别为动平台的上参考点B的线速度和角速度。

第一条支链产生的瞬时运动螺旋在坐标系中表示为:

式中:θj1(j=1，2，3，4，5)表示第一条支链的第j个转动副的角速度;q1表示第一条支链主驱动上移动副的线速度。

则第一条支链的各个旋量的表达式如下:

由以上各式以及图1可知，$11、$21、$31的方向分别与球运动副的3个转动轴线方向一致，且两两互相垂直，$31和$41的方向是一致的，二者均为主动副轴线的方向。由图1可知，$21=$51、$31=$41且$21、$51与$31、$41相垂直，b1=BB1。

根据螺旋理论的对偶性以及机构的特性可知，第一条支链具有一个约束反螺旋:

将上式以矩阵的形式表达:

式中:Jc1为第一条支链的约束雅克比矩阵

其中Jc1作为第一条支链对动平台所施加的约束力螺旋，其方向与此支链的转动副的运动轴线是一致的，作用力在球运动副的中心上。

假如锁定第一条支链中的移动副，则可以得到此支链的一个反螺旋量为:

将上式(9)与(1)作互易积，可得:

将上式以矩阵的形式表达:

式中:Jb1为第一条支链的驱动雅克比矩阵

其中Jb1作为第一条支链对动平台所施加的驱动力螺旋与动平台所施加的约束力螺旋相互垂直。

同理可得:

第二条支链产生的瞬时运动螺旋在坐标系中表示为:

第二条支链的约束雅克比矩阵为:

第二条支链的驱动雅克比矩阵为:

第三条支链产生的瞬时运动螺旋在坐标系中表示为:

将上式进行综合计算，得到并联机构2-RPS＆PSR的约束雅克比矩阵Jc:

由以上各式以及并联机构2-RPS＆PSR的性质特征，可得机构中的约束螺旋所构成的矩阵秩为3，即在约束系中三个约束螺旋系是线性不相关的。

将上式进行综合计算，得到并联机构2-RPS＆PSR的约束雅克比矩阵Jb:

综合式(19)和(20)得并联机构2-RPS＆PSR的全雅克比矩阵为J:

3 并联机构2-RPS＆PSR的刚度分析

当外力作用于动平台时，从而使平台产生螺旋变形，则有虚功原理可得:

式中:Δp表示各个支链上的变形;

f表示作用在动平台的力;

Δx表示动平台产生的螺旋变形:

τ表示螺旋变形的矢量。

fai表示作用在第i条支链上的驱动力;

fci表示作用在第i条支链上的约束力;

Δpai表示作用在第i条支链上的驱动力方向上的变形;

图3 并联机构在x，y，z轴方向的刚度分量(f=0)

Δpci表示作用在第i条支链上的约束力方向上的变形。

由胡克定律可得:

而fa=kaΔpafc=kcΔpc

且JΔx=Δp，可得

式中:k表示并联机构的全刚度矩阵。

4 并联机构2-RPS＆PSR的刚度仿真

利用Matlab软件对并联机构2-RPS＆PSR进行刚度的仿真，kx，ky，kz分别为该机构的刚度在x，y，z方向的分量，考虑两种情况受力与不受力。

由图3可知，在不受力作用时，x方向、y方向上的刚度在位形变化时，随着杆长的减小而增大，在机构的工作空间内中心位置是刚度值是最大的，随着向边缘位置的移动，机构的刚度则是逐渐在减小;z方向上的刚度在位形变化时，随着杆长的减小而增大，在机构的工作空间内中心位置是刚度值是最小的，随着向边缘位置的移动，机构的刚度则是逐渐在增大。

由图4可知;在受力f作用时，x方向、y方向上的刚度在位形变化时，随着杆长的减小而增大，在机构的工作空间内中心位置是刚度值是最小的，随着向边缘位置的移动，机构的刚度则是逐渐在增大;z方向上的刚度在位形变化时，随着杆长的减小而增大，在机构的工作空间内中心位置是刚度值是最大的，随着向边缘位置的移动，机构的刚度则是逐渐在减小。

图4 并联机构在x，y，z方向的刚度分量(f=1 000 N)

5 结论

基于螺旋理论为基础，去求得机构的全雅克比矩阵，进而在此基础上建立刚度模型，进而通过Matlab对机构的刚度进行分析，从而为今后的机构设计打下基础。

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