任意幂律引力作用下质点的运动轨道问题

王安祥，张晓军，高 宾，李继军

（1.西安工程大学 理学院，陕西 西安710048；2.内蒙古工业大学 理学院，内蒙古 呼和浩特010051）

0 引 言

有心力问题在力学和原子物理学中占有重要位置，在有心力问题中最常见的是平方反比引力作用下质点运动规律的研究，例如，在万有引力作用下质点运动和静电场力作用下点电荷的运动.文献［1－3］研究了质点在平方反比引力和斥力作用下做有心运动的轨迹曲线，文献［4－5］采用其他方法处理平方反比有心力问题，文献［6－7对质点在平方反比引力作用下的运动范围和稳定性做了深入研究.目前已有学者研究与距离成五次方反比引力作用下质点运动的轨道［8］，但是对与距离成任意幂律的有心力下质点的运动，却鲜有文献对其全面深入研究.文中首先采用龙格－库塔法求解与距离成任意幂律的引力作用下物体的运动轨道问题［9］，然后，考虑在实际情形下物体运动的干扰因素，同样采用龙格－库塔法研究受特殊微扰力作用下物体运动的轨道问题.

1 与距离成任意幂律的有心力引力

若作用在质点上的有心力只是r的幂函数，即

为计算方便，采用直角坐标系，设质点质量m＝1，c＝1，则式（1）可写成：

初始条件当t＝0时，x＝x0，y＝y0，˙x＝ν0x，˙y＝ν0y.给定初始条件后，上述二阶微分方程组采用龙格－库塔法求解.图1为与距离成不同幂指数的有心力作用下质点的运动轨迹，其中L为质点的角动量.图1（a）～ （f）初始条件当t＝0时，x＝1m，y＝0，˙x＝0，˙y＝0.5m/s，运行时间t＝30s.图1表明，质点的运动轨道一般是不闭合的，只有图1（b）（n＝1）和图1（f）图（n＝－2）是闭合的椭圆轨道，n＝1是二维简谐振动情形，n＝－2是距离平方反比引力情形，其他轨道都是不闭合的曲线.当n不同时，质点的运动轨道不同，运动图像差异较大，而且可以进一步观察到质点一方面绕力心运动，同时轨道本身还绕力心转动，轨道绕力心转动称为轨道的进动，轨道上离力心最远点或最近点，称为拱点.质点在拱点处只有横向速度，径向速度为零，径向矢量在两相邻拱点之间扫过的角度称为拱心角.n＝－2时，拱心角为Δθ＝π，例如卫星运动的轨道的远地点和近地点都是拱点，这说明轨道是闭合的，运动是重复的.n＝1时，拱心角为Δθ＝π/2，轨道也是闭合的.实际上，拱心角若是π的有理分数，其轨道运动是闭合的，但若拱心角是π的无理数倍，运动不可能重复，轨道不再闭合.

2 微小扰动对轨道运动的影响

以上讨论有心力作用时，都没有涉及其他物体对系统的干扰问题，所讨论的系统是理想的两体系统.实际上，这样的情形是不存在的，例如人造地球卫星围绕地球运行时，卫星受到的力实际上并不是单一的来自地球中心的万有引力，地球周围的大气以及其他星体都对卫星的运动有影响，而且地球本身也不是一个均匀的球体，卫星受到的作用力并不是确切地以地心为力心的有心力，上述各种因素的影响都可以在地心引力上附加一个微小的扰动力.

从计算物理的角度出发，设扰动力与距离的n次幂成正比，质点受到的力为

式中，扰动力的强度｜a｜远小于1.

将式（6）代入比耐公式中，可得

将式（7）变形，可得

图1 与距离成不同幂指数的有心力作用下质点的运动轨迹Fig.1 Motion tracks of particle acted by the central force in which interaction spaces have different power indexes

为简化问题，令k＝1，则上式为

给定初始条件后，上述二阶微分方程组也采用龙格－库塔方法求解.图2为不同微扰条件下质点的运动轨迹，分别对不同的扰动强度｜a｜和幂次n所进行计算的结果.

这里初始条件t＝0时，u＝0.5，d u/dθ＝0.425，运行时间为30s，假定质点的质量m＝1kg，角动量L＝1kg·m2/s.图2表明，扰动使质点有心力轨道发生进动，在幂次n一定的条件下，扰动的强度｜a｜越大，进动速度也就越大.

天文学研究发现，行星在轨道上运行时受到平方反比引力轻微的扰动，将改变原有稳定的轨道而形成新的运行轨道，但是新的轨道与原来的轨道相近，因此行星运行的轨道是稳定的，由于大多数行星偏心率都较小，可近似认为行星是沿着近圆轨道运动的［10－11］，近圆轨道运动的拱心角为

式中，R为近圆轨道的半径.

对于一个给定的行星，由于星系内其他行星所产生的引力扰动可以近似的表达为a/rn，在此情况下行星受到的合引力可改写为

利用式（10）可以得到近圆轨道的拱心角

当n＝2时，拱心角Δθ＝π；当n＞2时，若a＞0，则拱心角Δθ略小于π，这时拱点的位置随时间变化前移，即质点的运动方向与轨道进动的方向相反，若a＜0，则拱心角Δθ略大于π，拱点位置随时间变化后移，即质点的运动方向与轨道进动方向相同，图3（a）和（b）所示；当n＜2时，若a＞0，则拱心角Δθ略大于π，拱点的位置随时间变化后移，即质点的运动方向与轨道进动的方向相同，若a＜0，则拱心角Δθ略小于π，拱点位置随时间变化前移，即质点的运动方向与轨道进动方向相反，图3（c）和（d）所示.结果表明，质点沿近圆轨道运动时拱心角的数值计算值和式（13）所得理论值比较接近.

图2 不同微扰条件下质点的运动轨迹Fig.2 Motion tracks of particle under the condition of different perturbation

图3 不同微扰条件下近圆轨道运动质点的轨迹Fig.3 Motion tracks of particle moving on nearly circular orbit under the condition of different perturbation

3 结束语

质点在与距离成任意幂律的有心力作用下的有心运动属于非线性动力学问题，对其问题求解需要非常复杂的数学理论分析，当幂次n越高时，则求解的难度会更大.文中采用数值计算方法分别求解与距离成任意幂律的引力作用下和受特殊微扰力作用下物体运动的轨道问题，对有心力问题的教学与科研具有一定的理论价值.

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