举例子能证明几何定理吗

【编者的话】书读得多而不去思考，你会觉得你知道的很多，书读得多又思考，你会觉得你不知道的很多.

——伏尔泰

各位亲爱的同学，假期里你总可以挤出一些属于自己的阅读时间，你是否相信自己可以从课外阅读中获取自己想要的知识与灵感呢？课外阅读的范围相当广，我们可以依据自己的兴趣进行选择性地阅读，身心必将受到一次大的洗礼，在增长见识的同时又娱乐身心，何乐而不为？

本期的两篇文章都是节选，请你读一读，要是在读过后能写些读后感就更好了！

归纳和演绎，是人类认识世界活动中广泛应用的两套思维方法.

它反映了人们认识事物的两条思维途径，前者是从个别到一般的思维运动，后者是从一般到个别的思维运动.

哲学认为：归纳和演绎非常重要，但各自也都存在一定的局限性，需要相互补充、相互转化.

在数学家的眼中，归纳和演绎用处也各有不同.

拉普拉斯说：在数学这门科学里，我们发现真理的主要工具是归纳和类比.

高斯说：数学中的一些美丽定理具有这样的特性，它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏得极深.

陈省身说：数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过逻辑的推理，获得结论.

归纳用于发现，演绎用于推理.这是相当普遍的看法.

例证法——用演绎支持归纳

那么，在数学中举例真的不能证明一般的命题吗？

中学里学了恒等式.下面的等式

（χ-1）2=χ2-2χ+1

（※）

就是一个恒等式.

用χ=l代人，两边都得O；χ=2，两边都得1；χ=3，两边都得4.

这样举了三个例子之后，能不能肯定（※）是恒等式呢？

恒等式，恒等式，要求χ取所有数值时两边都相等.才验证了三个χ的值，怎么能断定它一定恒等呢？

其实，这三个实例已经证明了（※）是恒等式.道理是：如果它不是恒等式，它一定是二次或一次方程，这种方程不可能有三个根.现在1，2，3都是“根”，说明它不是方程而是恒等式，

在这个具体问题上，演绎推理支持了归纳推理.我们用数学上承认的演绎法证明了归纳法的有效性，

一般说来，代数恒等式的检验都可以用举例子的方法.不过，高次的和多元的等式，要用更多的例子罢了.

这些事实表明：在数学王国的某些角落里，归纳法可以有效地证明一般性的命题，甚至可以用一个特例证明一般的命题.归纳法的这种力量，是由演绎推理证明的.

数学的新成果表明：归纳与演绎是对立的统一.认为归纳推理毫无根据是不充分的，因为在初等几何范围内已证明了归纳的有效性；认为演绎推理不能使我们增加新知识也是不确切的，因为演绎推理揭示出事物的内在联系，使我们看到现象背后的本质，增加了我们的新知识.

归纳与演绎，是人类认识世界的两个基本方法，它们相互支持，相互补充，使我们越来越接近真理.

但是，代数恒等式在数学史上，远不如初等几何证明题那样受人青睐，那样丰富多彩，那样魅力无穷.正是在初等几何领域，演绎推理树立起了自己的威望，成为人所共知的绝对统治者.归纳法的效力，能不能在这里发挥作用呢？传统的看法是否定的.但是，20世纪80年代以来，中国数学家的工作在这里揭开了新的一页.

几何定理也能用例子证明

用举例的方法证明几何定理的研究，属于几何定理机器证明这个在近几十年开始活跃起来的数学领域.

用机器证明数学定理，是历史上一些杰出的数学家与哲学家梦寐以求的事.

数学问题大体上有两类，一类是求解，一类是求证.我们熟悉的求解问题很多：解方程，解应用题，几何作图，求最大公因数与最小公倍数，我们熟悉的求证问题，大多是初等几何证明题，还有证明恒等式，证明不等式.

中国古代数学研究的中心问题是求解，把问题分为若干类，分别给出解题的方法.这方法是一系列确定的步骤，谁都可以学会.会一个方法，便能解一类问题.《九章算术》就是这么做的.

用一个固定的程序解决一类问题，这就是数学机械化的基本思想.追求数学的机械化方法，是中国古代数学的优秀传统之一.

在西方，以希腊几何学研究为代表的古代数学，所研究的中心问题不是求解而是求证，是从公理出发用演绎推理方式证明一个一个的定理.而证明定理的方法，则是一题一证，各具巧思，无一确定的法则可循.证明的成功有赖于技巧与灵感.

能不能找到一种方法，像解方程那样，按固定法则证明一批一批的几何定理呢？

17世纪法国的唯理论哲学家，发明了解析几何的数学家笛卡儿，曾有过一个大胆的设想：“一切问题化为数学问题.一切数学问题化为代数问题.一切代数问题化为代数方程求解问题.”

于是，笛卡儿用坐标方法——解析几何的方法，把初等几何问题化成了代数问题.

比笛卡儿稍晚一些的德国唯理论哲学家、与牛顿同时创立微积分的数学家莱布尼茨，曾有过“推理机器”的设想，希望用一台机器代替人的推理活动，他曾设计过计算机，他的努力促进了数理逻辑的研究.

20世纪的数学大师希尔伯特，在他的名著《几何基础》一书中，也曾提出过一小类几何命题的机械判定方法.

第二次世界大战以后，电子计算机的出现大大促进了定理机器证明的研究.经过许多出色数学家的辛勤耕耘，这个领域有了蓬勃发展，但是都不能在计算机上真的用来证明非平凡的几何定理.一直到杰出的中国数学家吴文俊院士在1977年发表他的初等几何机器证明新方法之后，在电子计算机上证明初等几何定理才成为现实.

吴氏方法的基本思想是：先把几何问题化为代数问题，再把代数问题化为代数恒等式的检验问题，代数恒等式的检验是机械的，问题的转化过程也是机械的，整个问题也就机械化了.

既然几何证明问题可以化为代数恒等式的检验问题，而在前面义刚刚提到过可以用举例的方法检验代数恒等式，那是不是意味着有可能用举例的方法来证明几何定理呢？

吴氏方法鼓舞了这个方向的研究.在吴氏方法的基础上，洪加威于1986年发表了一项引起广泛兴趣的研究成果：对于相当广泛的一类几何命题，只要检验一个实例便能确定这条命题是不是成立.

特例的检验，能代替演绎推理的证明！

但是，洪加威要的那一个例子，不是随手拈来的例子，它要满足一定的条件，才具有一般的代表性，对于非平凡的几何命题，这例子往往涉及大得惊人的数值计算.为了使洪氏方法在计算机上实现，尚待进一步的努力.

在吴氏方法的基础上，张景中、杨路提出了另一种举例证明几何定理的方法.按照这种方法，为了判定一个（等式型）初等几何命题的真假，只须检验若干普通的实例.例子的数目与分布方式可以根据命题的复杂程度用机械的方法确定.

顺便提一句，举一些例子证明几何定理，举的例子不仅要够一定的数目，而且要有一定的分布方式，这正是归纳法的倡导者培根所要求的：要广泛搜集材料，搜集不同类型的材料.它的有效范围是它从中引申、归纳m的那些事例的范围，张杨法所要求的这一组例子的分布形式，足以保证概括了命题的论域，代表了广泛的一般情形.——节选自张景中、彭翕成所著的《数学哲学》