MATLAB在大学数学教学中的应用

王扉　龙飞　周双双

【摘要】本文以MATLAB在微分方程教学中应用为例，从计算机辅助教学、数学实验和数学实践三个方面谈了MATLAB在大学数学教学中的应用，讨论了MATLAB在工科数学教学中的作用和注意事项.

【关键词】计算机辅助教学；数学实验；数学实践

【基金资助】受湖南省教学改革研究项目“土建类专业数学课程教学研究和改革实践”，湖南城市学院教学改革研究项目“数学建模与创新能力培养的研究与实践”和“数学类专业实践教学考核模式的探索与研究”支持资助.

从工科数学的角度来看，学生创新精神及能力的培养主要是通过应用数学来体现.工科学生主要是通过学数学，了解数学，更重要的是掌握数学的思想，从而应用数学.很多学生在学习的过程中，往往表现出对计算机比数学更大的学习兴趣，注意到这点，适时的在数学教学中引入数学软件不仅能让学生产生对数学的兴趣，也能让学生掌握一种较好的学习方式，即自主探索的学习.

目前，数学软件在大学数学的教学中的应用已经广泛开展，主要有三种途径：一是在传统教学中渗透数学软件知识，如文[1]中各章节增加了MATLAB和Maple在微分方程的应用；二是开设专门的“数学实验”或“数学建模”选修课，如文[2]中既系统介绍了MATLAB软件，又按不同的数学方法分章节组织学生实验，并从实际案例分析中引导学生学会数学的应用；三是举办专题讲座和数学建模竞赛等课外活动，普及数学软件知识，激发学生学习兴趣.后两种形式只让少数学生受益，只有第一种形式才能让广大理工科学生花较少的时间掌握一两种数学软件，从而启迪他们课外进行自主性研究学习.

现在大学数学公共课课时有限，教学任务繁重，大多数教师仍不得不采取传统教学方式，内容上重理论轻实践，推理上重演绎轻归纳，教学上重讲授轻学习，然而这些已经不适应现代化人才培养的需要.如何有效地在传统教学中渗透数学软件知识？采取什么形式？渗透多少？这些问题对于一线教师还处在摸索阶段.笔者就个人教学经验，以MATLAB在微分方程教学中应用为例浅谈几点体会.

一、MATLAB简介

MATLAB是“MATrix LABoratory”的缩写（矩阵实验室）.它是由美国MathWorks公司推出的一种面向科学与工程的计算软件，是一种用于数值计算、可视化及编程的高级语言和交互式环境.

MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的数学表达式与运算规则符合通常的习惯，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，支持C，FORTRAN，C++，JAVA等软件接合，使MATLAB成为一个强大的数学软件.

二、MATLAB在常微分方程求解的应用

MATLAB能从三个不同方面实现常微分方程的求解：一是利用其强大的符号运算功能，二是利用其简便高效的数值计算功能，三是利用数字仿真系统Simulink.

（一）MATLAB中常微分方程的符号求解

符号计算是指计算数学表达式、求解方程不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式.数学定理，通过推理和演绎，力求获得解析结果.MATLAB中主要用函数dsolve求常微分方程的符号解析解.

（二）MATLAB中常微分方程的数值求解

所谓微分方程的数值解就是该方程的解析解在若干点处的近似值.建立数值解法，首先要将微分方程离散化，往往采取用差商近似导数、用数值积分法计算积分或用Taylor多项式近似解函数等方法.MATLAB中求解常微分方程的数值解的函数有五个：ode45、ode23 ode113、ode15s、ode23s.

（三）MATLAB中常微分方程系统的Simulink仿真

Simulink是挂接在MATLAB环境上，以直观的模块框图进行建模与仿真的工作平台.它采用模块组合的方法使用户能够快速、准确地创建动态系统的计算机模型，同时又可借助示波器等虚拟设备直观地显示出系统模型的仿真结果.一个典型的Simulink模块包括输入模块（信号源模块）、状态模块和输出模块（信号显示模块）三个部分.Simulink工具箱中提供了丰富的用于建模的模块库，每个模块库中又包含了功能不同的多个模块.一个Simulink模块的创建和仿真过程大致可分为三个阶段：模型分析、模型搭建和模型仿真.实验者可以根据不同的需要来创建不同的实验模型，并通过信号波形仿真来验证实验模型的正确性.

三、MATLAB在常微分方程教学中的应用

在文[4]中，作者认为数学认知结构的发展途径有下列三种方式：数学沿袭、数学实验和数学实践.笔者认为数学软件在教学中的应用也可以结合这三种方式，即计算机辅助教学、数学实验和数学实践.

（一）计算机辅助教学

计算机辅助教学是指在计算机辅助下进行的各种教学活动，以对话方式与学生讨论教学内容、安排教学进程、进行教学训练的方法与技术.利用MATLAB强大的图形处理和符号计算功能可以有效的辅助教学，具体如下：

1.数学知识简单化、形象化、可视化

华罗庚先生指出： “数缺形少直观，形缺数难入微.” MATLAB可以准确地绘出函数或一般曲线或曲面的图像，将其插入电子课件中能给学生具体形象的认识.例如，在微分方程的通解、特解和积分曲线的概念教学中，笔者从微分方程的方向场出发，阐述了这三者的关系.为加强学生的理解，利用MATLAB绘制出微分方程dydx=x-2y的方向场，并绘制了该方程的若干特解.最后在电子课件中采取动画演示，吸引了学生注意，让学生较好地理解了三者的概念.

2.展现数学知识的生成过程

MATLAB具有强大的符号处理功能，能辅助数学表达式的推导、能验证数学猜想、能求出问题的解析解等.这使得教师在教学中能减轻数学推导的工作量，也将学生从枯燥冗繁的计算中解放出来，着重于数学思想和领悟、数学知识的理解和数学技能的掌握，从而激发学生的学习热情，让学生能自主地研究学习数学思想、方法和知识.

数学理论的抽象性，通常都有某种“直观”的想法为背景，通过数学软件可把直观的背景显现出来，直观形象地展示数学问题的背景、过程、结果，为学生创设一种良好的认知情景.例如，在讨论求解线性方程dydx=P（x）y+Q（x）时，传统教学法只介绍用变易系数法求解，而没有介绍为什么变易系数.利用MATLAB的符号计算功能，引导学生先试探求解一阶齐次与非齐次线性方程，然后观察比较两者通解，启发学生发现变易系数的技巧，最后引导学生验证猜想.

（二）数学实验

数学实验教学的中心思想是：借助数学软件，通过学习者自主探索数学知识、数学规律及其实际应用的实践过程，培养创新能力.数学实验能把“讲授——记忆——测验”的传统学习过程，转变为“直觉——探试——出错——思考——猜想——证明”的新型学习模式，将信息的单项传播转变为多项交流，使学生的被动接受变为主动学习.

落实创新能力培养的关键是数学实验教学思想融入数学类主干课程，而数学实验的思想融入到大学数学的教学过程中的关键是数学实验的设计，包括实验内容的选取、实验目标的设置、实验方式的选择和实验结论的处理.

笔者在微分方程章节教学中尝试增开一节实验课.实验内容选取了常见的盐水浓度变化问题；实验目标要求学生会用微元法构建微分方程，会用MATLAB的求出盐水浓度变化规律，特别是能用计算机模拟方法描述盐水浓度变化规律；实验方式采取课前布置、课堂分组实验、课后撰写实验报告的开放形式；实验结论的处理采用课堂点评，引导学生思考更实际的应用问题，如湖水污染程度的分析、醉酒驾驶的判定和城市干道交通流量的变化等.通过启发，让学生认识到这些问题通过类比，均可转化为浓度问题.体会到数学模型的可转移性.

教学过程中发现，学生对于这种计算机仿真实验方法非常感兴趣.学生几乎是在“玩”的过程中理解了微分方程的构建与求解，通过这个仿真实验，使学生还理解了微分方程数值求解的基本思想，掌握了用Euler法求解一阶常微分方程的算法.

（三）数学实践

数学实践是指运用习得的数学知识、技能和能力解决其他学科和实际问题的实践，数学建模是数学实践的主要形式.数学建模是利用数学理论解决实际问题的一种思想方法，是将数学理论与实际问题联系起来的桥梁，即将实际问题用数学语言来描述和解决.笔者在微分方程教学中，结合课本知识，精选了一些学生感兴趣的生产实践问题，如人口预测、名画真伪鉴定和核废料处理等问题，采取课堂讨论分析问题，课后完成模型构建与求解并撰写实践报告，最后师生评议等环节，这整个过程穿插着师生、生生网络互动，充分调动了学生课外学习活动的积极性，巩固了数学思想方法和课本知识，提高了学生实际动手能力，为今后的专业学习打下厚实基础.

四、应用MATLAB教学的注意事项

在培养大学生的创造性思维、意识和能力等方面，数学软件的应用具有重要的意义和良好的效果.但在大学数学教学中融入数学软件，我们应该注意两个问题：一是教学中必须合理安排教学内容，要以大学数学教学为主，数学软件的应用为辅，以确保大学数学教学任务能够顺利完成；二是教学中要以介绍数学思想、方法为主，提高数学实践能力为辅，因为毕竟不是数学建模课程，所以所选实例不宜过于复杂.

数学软件应用的作用在于解放学生，激发学生的学习兴趣，达到帮助学生学好数学的目的.在一些数学实验的教材中，有的实验设计只是把计算机当成求解数学问题的工具，而没有体现在应用数学软件过程中重新发现“数学”和培养学生创新能力这一主题.因此，在数学软件应用教学中三个层面，教师应根据不同的培养目的，恰当地选择教学素材，突出学生基本思想、基本知识和基本技能这三基的培养，更重要的是学生研究型学习能力和创新精神的开发.

【参考文献】

[1] 钟益林，彭乐群，刘炳文.常微分方程及其Maple，MATLAB求解[M].清华大学出版社，2007年10月.

[2] 赵静，但琦.数学建模与数学实验（第三版）[M].高等教育出版社，2008年1月.

[3]薛定宇，陈阳泉.基于MATLAB/Simulink的系统仿真技术与应用（第二版）[M].清华大学出版社，2011年2月.

[4] 张霞.数学认知结构发展途径及在教学中的应用[J].安徽工业大学学报（社会科学版），2002，19（5）：127-128.

[5] 宋翌，胡学瑞，杨微.将数学实验融入大学数学教学的研究与实践[J].科技创业，2013，26 （3）：119-121.