一道高考题引发的思考

梁昌金

数列求和问题历来是高考的热点、重点、难点。对于求形如{anbn}的数列的前n项和Sn这类问题，其中{an}是公差为d（d≠O）的等差数列，{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列，常规方法自然是错位相减法。是否有其他的方法可以解决这类问题呢？现通过研究2014年高考安徽文科数学第18题，探究解决这类问题的思路。

一、解法探讨

例 1 （2014年高考安徽文科）数列{an}满足“a1=1，nan-1=（n+l）an+（n+1），n∈N*。

下面探讨第二问的求解方法。

（一）常规方法（错位相减法）

没cn=anbn，其中{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列，Sn是数列{cn}的前n项和。Ssn=a1bl+a2b2+…+an6bn，qSn=a1b1+a2b3…+an-1bn+anbn-1，则（l-q）sn=a1b1

（二）新思路1（方程法）

设cn=anbn，其中{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，{6n}是公比为q（q≠1）的等比数列，Sn是数列{cn}的前n项和，则Cn+l=an+1bn-1=（an+d）（qbn）=qcn+dqbn，，故C2+C3++Cn十cn+1=q（c1+c2+…+cn）+dq（b1+b2+…+6n），从而Sn+cn+1-c1=qSn

解法2：同解法1，可得bn=n·3n。

点评：从求解过程看，计算量确实减少了许多，出错的可能性大大降低，而且这种方法易于掌握，具有普适性、创新性。

（三）新思路2（分组求和法）

设cn=aanbn，其中{an}是公差为d（d≠O）的等差数列，{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列，sn是数列{cn}的前n项和。由an+1bn1=（a+d）（bnq）=qanb+dqbn，得anbn-an+lbn+1=（l-q）anbn-dqbn，则c=anbn，这样，数列{cn}就拆成了两部分，前一部分可以用“裂项相消法”求和，后一部分是一个等比数列。

解法3：同解法1，可得bn=n·3n。

点评：求解过程显得很简洁。

（四）新思路3（裂项相消法）点评：应用此法求解的关键在于裂项。

（五）新思路4（待定系数法）

二、拓展应用

如果{an}不是等差数列，而是关于你的多项式形式，{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列，那么数列{anbn}的前n项和Sn又该如何求解呢？

例2 （安徽省合肥市2013届高三第三次教学质量检测文科第21题）已知正项等差数列{an}，其前咒项和为S。，满足2Sn=-an·an+1。

（1）求数列{an}的通项公式。这样的变形显得太突然，而且对考生的变形能力要求较高。本文中给出的解法就显得较自然，有规律可循。

三、考题链接

“等差乘等比型”数列的求和问题在近几年高考中频繁出现，现再给出三例，供有兴趣的读者研究。

1.（2014年高考新课标版1文科数学第17题）已知{an}是递增的等差数列，a2、a4是方程x?-5x+6=0的根。

（1）求{an}的通项公式。

2.（2014年高考江西理科数学第17题）已知首项都是1的两个数列{an}、{bn}{bn≠0，n∈N*），满足

3.（2014年高考四川理科数学第19题）设等差

要想学好数学，必须培养学习兴趣，而数学学习兴趣的培养，与我们对数学问题的研究、探索是分不开的。本文中的四种新思路是在常规方法基础上的再创新，具有简洁性、普适性。只要我们拥有一颗勇于探索的心，在继承的基础上大胆创新，就能拓宽解题视野，活跃数学思维，充分享受数学。