基于去特征处理的信源数估计算法

吴 娜,司伟建,焦淑红,吴 迪

(哈尔滨工程大学信息与通信工程学院,黑龙江哈尔滨150001)

基于去特征处理的信源数估计算法

吴 娜,司伟建,焦淑红,吴 迪

(哈尔滨工程大学信息与通信工程学院,黑龙江哈尔滨150001)

在实际测向系统中,由于阵列中各阵元的相互干扰,阵列接收的噪声为空域相关色噪声,由于系统热噪声和散弹噪声的存在,导致阵列接收的噪声同时包含空域相关色噪声与白噪声。传统针对空域相关色噪声的信源数估计算法在白噪声背景下的估计性能往往下降。针对这一问题,提出了一种基于去特征处理的信源数估计方法。该方法对数据协方差矩阵进行去特征处理,得到一组与特征值相对应的新数据协方差矩阵,利用新数据协方差矩阵在信号和噪声子空间上的投影矩阵构造判决函数,进而实现信源数估计。仿真实验及对比数据表明该方法在包含有白噪声成分的色噪声背景下能够有效进行信源数估计,其突出优势表现在小快拍数、低信噪比条件下仍能准确估计信源数,而没有明显增加算法的运算量。

信源数估计;色噪声;去特征处理;判决函数

0 引 言

空间谱估计技术是阵列信号处理领域的一个重要分支,一直以来因其优越的空域参数特性而备受学者青睐。然而,当信源数与实际信源数不符时,大多数空间谱估计算法的测向性能严重下降甚至失效。因此信源数的准确估计是空间谱估计算法实现其高分辨性能的必要前提。

目前比较有代表性的信源数估计算法有信息论方法[12]、盖氏圆(Gerschgorin’s disk estimation,GDE)方法[3]、平滑秩法[4]、矩阵分解法[5]及正则相关技术(canonical correlate technology,CCT)[67]等方法。基于信息论的方法包括Akaike信息论(Akaike’s information crilerion, AIC)准则、最小描述长度(minimum description length, MDL)准则等方法,这类方法的优点在于计算量较小,但是低信噪比条件下存在欠估计问题、高信噪比条件下存在过估计问题,且在色噪声背景下算法失效。为了将信息论准则推广应用到色噪声背景下,文献[8]提出一种对角加载技术平滑色噪声背景下的信源数估计方法,即MAIC法。文献[9]提出一种基于对角加载的MDL准则信源数估计方法,即MMDL法。这些修正的信息论方法可以在一定程度上有效克服这些缺点。GDE方法在色噪声背景下能够准确估计信源数,但是该方法在低信噪比小快拍数条件下效果较差,且该方法在求解过程中得到的数据不能应用于后续处理而造成运算效率较低。CCT在低信噪比及色噪声背景下可以有效估计信源数目,但该算法需要两个相互独立的空间分离阵列,降低了阵列有效孔径,进而限制了该算法的实际推广应用[10- 19]。

本文提出一种基于去特征处理的信源数估计方法,该方法对数据协方差矩阵进行特征分解,然后对其进行去特征值处理,构造新的数据协方差矩阵,将新的数据协方差矩阵分别投影到信号子空间和噪声子空间,对投影得到的数据进行统计分类,最后根据判据函数值的大小来判定信源个数。计算机仿真实验表明本文算法可以实现空域相关色噪声[10]及白噪声并存背景下的信源数估计,并且在低信噪比、低快拍数条件下该算法的信源数估计准确率仍然很高。

1 信号模型

本节以均匀线阵为例假设D个相互独立的远场窄带信号入射到空间M元均匀线阵,各信号源的到达方向角分别为(θ1,θ2,…,θD),则天线阵的接收数据的矢量形式为

式中,X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T为阵列的M×1维接收数据矢量;S(t)=[s1(t),s2(t),…,sD(t)]T为信号的D×1维矢量;N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T为M×1维噪声矢量;A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θD)]为阵列的M×D维导向矢量阵,其中a(θi)(i=1,2,…,D)为导向矢量,具体表达式如下:

式中,ω为信号源载波角频率;d为相邻阵元的间距;c为光速。

设信号与噪声相互独立,阵列输出的数据协方差矩阵为

式中,RS=E[S(t)SH(t)]为信号协方差矩阵;RN=E[N(t)· NH(t)]为噪声协方差矩阵。

对数据协方差矩阵RX进行特征值分解,有

式中,Σ=diag(λ1,λ2,…,λM)为特征值组成的对角阵,且满足λ1≥λ2≥…≥λM;U=[e1,e2,…,eM],ei(i=1,2,…,M)为特征值λi对应的特征向量;ΣS=diag(λ1,λ2,…,λD)是由前D个较大特征值组成的对角阵;US=[e1,e2,…,eD]是由前D个较大特征值对应的特征向量张成的信号子空间;ΣN= diag(λD+1,λD+2,…,λM)是由后M-D个较小的特征值组成的对角阵;UN=[eD+1,eD+2,…,eM]是由后M-D个较小特征值对应的特征向量张成的噪声子空间。

将阵列导向矢量阵按行分块可以得到A的另一种形式:

式中

式中,T表示矩阵转置。

则阵列输出的数据协方差矩阵可以表示为

已知各信号源相互独立,则RS为满秩对角阵,因此有

2 算法原理

本节首先给出了去特征处理的定义。数据协方差矩阵的特征值可以分为对应信号子空间的特征值和对应噪声子空间的特征值,根据这一划分,将本文去特征处理得到的新数据协方差矩阵分为两类进行讨论,对应每一个新的数据协方差矩阵构造了一个函数,同理得到了两组不同性质的函数,有这两组函数构造判据函数,进而对信源数进行估计。本节最后总结给出了算法的具体步骤,对原理进行分析,进而将算法扩展到色噪声情况下。

2.1 去特征处理

定义1 矩阵B减去其特征值与单位阵的乘积称为这个特征值对矩阵B进行了去特征处理。

用数据协方差矩阵RX的M个特征值分别对其进行去特征处理,可以得到M个新的数据协方差矩阵R'Xi:

当噪声为空间平稳高斯白噪声时,噪声协方差矩阵为

式中,σ2为噪声功率,将式(9)代入式(7),则数据协方差矩阵为

由式(7)可得下面分两种情况进行讨论。

2.1.1 M≥i≥M-D

当M≥i≥M-D时,即λi为噪声子空间对应的特征向量时,σ2=λi,则

可以证明,R'Xi与RX的特征向量相同,即U也为R'Xi的特征向量矩阵,即

求R'Xi在U中的投影,有

定义函数:

式中,i为在构成新的协方差矩阵时所减去的特征值对应的编号。由以上的分析可知,当(1≤k≤D)时,fi(k)的值较大,当D+1≤k≤M时,fi(k)的值较小,接近于0。

2.1.2 1≤i≤D

当1≤i≤D时,即λi为信号子空间对应的特征值时,σ2≪λi,根据第2.1.1节的推导过程,同理可得到

式中,uk(k=1,2,…,M)为单位矩阵对应第k列向量。则

与式(13)类似,定义函数:当1≤k≤D时,ek为信号子空间对应的特征向量,则(λi-σ2)I}为一个接近于0的值。因此,fi(k)的值为一个接近于0的数。

当D+1≤k≤M时,ek为噪声子空间对应的特征向量,则

当1≤i≤D时,fi(k)对应信号子空间的特征值,与fM(k)的取值规律相反,则g(i)取值较大。

当M≥i≥M-D时,fi(k)对应信号子空间的特征值,与fM(k)的取值规律相同,则g(i)取值较小。

据此,可利用GDE判别准则对g(i)取值大小进行区分,进而实现信源数的估计,只不过这里需要对GDE判别准则稍作修正即可。即是一个绝对值较大(接近于λi-σ2)的负数,取模后为一个较大的数值,即fi(k)为一个较大值。

由以上分析可知,当1≤k≤D时,fi(k)的值较小;当D+1≤k≤M时,fi(k)的值较大。

对比M≥i≥M-D和1≤i≤D两种情况可知,在两种情况下,f(k)的取值规律刚好相反,本文即根据这一区别来判断信源数目。

2.2 由fi(k)构造统计量——判决函数

设构造R'Xi时减去最小特征值所对应的函数为fM(k),定义判决函数:

k=1

其中,α(L,SNR)是关于快拍数L及信噪比SNR有关的调整因子,通过计算机仿真统计可知,其取值范围为0到1。值得注意的是,快拍数L对调整因子影响权重较大,当快拍数逐渐趋于无穷大时,调整因子的数值逐渐趋于1。当i在1～M中取值,所有使Δ(i)＞0的g(i)个数即为所求信源数目。

2.3 本文算法描述

总结本文算法步骤如下:

步骤1 对数据协方差矩阵RX进行特征值分解,求得对应特征值从大到小排列的特征空间U;

步骤2 根据式(7)构造M个新的数据协方差矩阵R'Xi;

步骤3 分别求R'Xi在特征空间U上的投影矩阵;

步骤4 根据式(13)得到M个函数fi(k)(i=1,2,…,M);

步骤5 根据式(19)求得g(i),(i=1,2,…,M-1);

步骤6 设置调整因子α(L,SNR),根据式(20)进行信源数估计。

2.4 算法原理分析

<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．

构造R'Xi时减去的λi为对应噪声子空间的特征值时,相当于对原数据协方差矩阵进行了去噪声处理,此时得到的新数据协方差矩阵中信号的贡献变大,也就是说新协方差矩阵在信号子空间上的投影值较大,而在噪声子空间上的投影值较小;而构造R'Xi时减去的λi为对应信号子空间的特征值时,相当于对原数据协方差矩阵进行了去信号处理,此时得到的新数据协方差矩阵中信号的贡献相对变小,新协方差矩阵在信号子空间上的投影值较小,而在噪声子空间上的投影值较大。由以上分析可知,根据新协方差矩阵在信号子空间和噪声子空间上的投影值的不同,可将经过去特征处理得到的新协方差矩阵分为对应于信号和噪声的两类,而对应于信号的新协方差矩阵的个数即为信源数。本文算法就是利用这一思想增大了协方差矩阵在特征向量上的投影值的差异,构造统计量fi(k)及判据函数g(i),从而判断出信源数。

2.5 算法复杂度分析

本文算法的计算量主要集中在协方差矩阵的构造、特征值分解及投影运算上。由M×1维的向量构造协方差矩阵的计算量为C1=M2,构造的协方差矩阵的维数为M× M,对该M×M维矩阵进行特征分解,采用文献[20]的快速子空间分解技术可将计算量降低至C2=M(L+2)2,求R'Xi在特征空间U上的投影矩阵的计算量为C31=M3,算法共有M次该投影运算,则求投影矩阵运算的计算量为C3= MC31=M4,则本文算法总计算量为C=C1+C2+C3= M2+M(L+2)2+M4,而经典AIC算法和MDL算法仅需要进行协方差矩阵的构造和协方差矩阵特征分解,本文算法的投影矩阵运算引入了一定的计算量,导致最终算法的复杂度增加。但是复杂度的增加换来的是算法在两种噪声背景下及白噪声和空域相关色噪声并存背景下的估计性能的提升。

表1将本文算法与信息论类算法(AIC算法和MDL算法)的算法复杂度进行了对比。

表1 算法复杂度对比

3 仿真实验及结果分析

为了验证本文提出算法的性能,利用Matlab进行了计算机仿真实验。实验分别验证了本文算法在白噪声背景下及空域相关色噪声背景下的测向性能,为了验证本文算法使用于白噪声和空域相关色噪声成分同时存在的情况,还对算法在这两种背景条件下的测向性能进行了对比,仿真条件如下:3个相互独立的远场窄带信号入射到8阵元均匀线阵,阵元间距为半波长,3个信源的方向角为[15°30°40°]。在白噪声情况下,将本文算法与AIC准则、MDL准则、m AIC准则、m MDL准则及GDE准则进行对比。由于在空域相关色噪声背景下AIC准则和MDL准则失效,故在色噪声背景下仅对本文算法、mAIC准则、m MDL准则及GDE准则进行对比。每个实验均进行200次Monte Carlo仿真。算法的评价标准为成功检测概率,即200次Monte Carlo仿真实验中能够成功检测出信源数的次数的百分比。

实验1 白噪声背景下成功检测概率随信噪比的变化

设置快拍数为200,信噪比从-14 dB变化到10 dB,在白噪声背景下进行仿真,得到正确检测概率随信噪比的变化。

白噪声背景下成功检测概率随信噪比的变化仿真结果如图1所示。可以看出,6种算法的成功检测概率均随SNR取值的变大而变大。其中本文算法、AIC准则及MDL准则在信噪比大于-4dB时成功检测概率为100%,而mAIC准则、m MDL准则和GDE准则在信噪比分别取-2 dB、0 dB和6 dB时成功检测概率达到100%。可见,本文算法在低信噪比下估计信源数的成功概率与信息论准则算法相当而明显优于mAIC准则、m MDL准则及GDE准则。

图1 白噪声下正确信源数估计概率随SNR变化

实验2 空域相关色噪声背景下成功检测概率随信噪比的变化

设置快拍数为200,信噪比以2 d B为步进值从-10 dB变化到10 dB。色噪声采用文献[10]给出的空域相关色噪声模型。令该色噪声表达式中空间相关系数ρ=0.5。将本文算法与mAIC准则、mMDL准则及GDE准则进行对比,得到空域相关色噪声背景下成功检测概率随信噪比的变化。

空域相关色噪声背景下成功检测概率随信噪比的变化如图2所示。可以看出,随着信噪比的增加,以上4种算法的成功检测概率均变大。其中本文算法的成功检测概率要高于m AIC准则、m MDL准则及GDE准则对应的成功检测概率。本文算法在信噪比大于-3 dB时成功检测概率达到100%,而m AIC准则、m MDL准则的信噪比均需达到0 dB、GDE准则的信噪比需达到4 dB时,成功检测概率才能达到100%。可见,在色噪声背景下本文算法的性能要优于其他3种方法。

图2 空域相关色噪声下正确信源数估计概率随SNR变化

实验3 白噪声背景下成功检测概率随快拍数的变化

设置信噪比为5 dB,快拍数以10为步进值从10变化到230。设置空间噪声为白噪声,对本文算法、AIC准则、MDL准则、改进mAIC准则、改进m MDL准则及GDE方法进行仿真,得到正确检测概率随快拍数的变化。

白噪声背景下成功检测概率随快拍数的变化仿真结果如图3所示,可以看出,6种方法的成功检测概率均随快拍数的增多而变大,本文算法在相同快拍数的情况下,较其他算法的成功检测概率大,但其检测性能较AIC准则和MDL准则差别不大。本文算法、AIC准则及MDL准则当快拍数增加到30时,成功检测概率均达到100%,而m AIC准则、mMDL准则及GDE方法的检测性能则要明显差于以上3种方法。可见本文算法在白噪声背景下的检测性能并没有下降,甚至在较低快拍数的情况下的性能要略优于AIC准则和MDL准则。结合实验1的仿真结果可知,本文算法适用于白噪声背景条件下,且估计性能与传统的信息论方法相当。

图3 白噪声下正确信源数估计概率随快拍数变化

实验4 空域相关色噪声背景下成功检测概率随快拍数的变化

与实验2的空域相关色噪声背景相同,取信噪比为10 dB,快拍数从1依次变化到240。对4种方法的检测成功概率进行仿真。

空域相关色噪声背景下成功检测概率随快拍数的变化仿真结果如图4所示。可以看出,4种算法的成功检测概率均随着快拍数的增加而变大。在低快拍数的情况下,本文算法的成功检测概率明显高于其他两种方法,在快拍数大于40时成功检测概率达到100%,而其他3种算法则需要快拍数达到80、100甚至更大时,成功检测概率才能达到100%。可见,在空域相关色噪声背景下,本文算法的性能优于其他3种方法。结合实验2的仿真结果可知,本文算法适用于色噪声环境,且在一定条件下,性能优于其他3种算法。

图4 空域相关色噪声下正确信源数估计概率随快拍数变化

实验5 在白噪声和空域相关色噪声两种噪声背景下的检测性能对比

为了验证本文算法可以适用于包含白噪声成分的色噪声环境,本文通过计算机仿真对白噪声、空域相关色噪声及包含有白噪声成分的空域相关色噪声3种噪声背景下的检测性能进行了对比仿真,对比情况如图5和图6所示。

本文算法在3种噪声背景下的成功检测概率随SNR变化的对比情况如图5所示。可以看出,在白噪声背景下,本文算法的成功检测概率达到100%时的信噪比为-4 dB,色噪声情况下则为-2 dB,二者仅相差2 dB,而在包含有白噪声成分的色噪声背景情况下,本文算法的成功检测概率介于单纯白噪声和单纯空域相关色噪声背景之间,接近于白噪声背景。

图5 正确信源数估计概率随SNR的变化

成功检测概率在3种噪声背景下随快拍数变化对比情况如图6所示。可以看出,在快拍数大于50时,3种噪声背景下的成功检测概率均达到100%。

通过以上5个实验结果可以看出,本文算法提高了色噪声背景下的估计性能,在适用于空间色噪声的同时,在白噪声背景下的检测性能也没有明显的下降。因此,本文算法可用于包含有白噪声成分的空域相关色噪声环境下进行信源数估计。

图6 正确信源数估计概率随快拍数的变化

4 结 论

实际测向系统中的背景噪声均比较复杂,很难在理论上及工程上将实际环境中的噪声单纯的分为白噪声或色噪声,而往往是两者并存的情况。本文针对这一现象提出一种基于去特征处理的信源数估计方法,仿真实验结果验证了该算法不仅提高了空域相关色噪声背景下的估计性能,同样在白噪声背景下也具有较好的性能。通过对白噪声、空域相关色噪声及包含有白噪声成分的空域相关色噪声背景下算法的性能进行仿真对比,验证了本文算法适用于包含有白噪声成分的空域相关色噪声环境,并且在低信噪比和小快拍数情况下且具有较好的估计性能。但是本文算法的计算复杂度要略高于传统算法,并且在利用判决函数进行信源数估计时需要人工设置阈值参数,因此如何适当的降低计算复杂度及如何通过自适应算法来设置阈值参数将是下一步研究的重点。

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New source number estimation method based on feature eliminated process

WU Na,SI Wei-jian,JIAO Shu-hong,WU Di
(School of Information and Communication Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

In actual direction-finding systems,the impinging noise is a mixture of white noise and colored noise.The estimation performance of the traditional algorithm used for colored noise tends to decline when it is used under the background of white noise.Accordingly,a new source number estimation method based on the feature eliminated process is proposed in this study.The method performs the feature eliminated process on data covariance firstly.A group of new covariance matrixes according to the eigen-values are obtained.Using the projection matrixes of signal subspace and noise subspace to construct the criterion function,then get the number of signals.Simulation results show that the method proposed can effectively estimate the number of signals under the white noise and colored noise background.The algorithm can estimate the number of sources with high accuracy rate under the condition of small snapshot and low SNR without obvious computation increase.

source number estimation;colored noise;feature eliminated process;decision function

TN 911.7

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2015.03.06

吴 娜(1986-),女,博士研究生,主要研究方向为宽带系统的信号检测、处理与识别。

E-mail:wunahmc@163.com司伟建(1971-),男,研究员,博士,主要研究方向为宽带系统的信号检测、处理与识别。

E-mail:swj0418@263.com焦淑红(1966-),女,教授,博士,主要研究方向为无源定位宽带信号处理。E-mail:jiaoshuhong@hrbeu.edu.cn吴 迪(1987-),女,博士研究生,主要研究方向为宽带系统的信号检测、处理与识别。

E-mail:wudi7212@126.com

网址:www.sys-ele.com

1001-506X(2015)03-0509-06

2013 12 02;

2014 06 10;网络优先出版日期:2014 09 26。

网络优先出版地址:http:∥w ww.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20140926.1557.016.html

中央高校基本科研业务费专项资金项目(HEUCF140803)资助课题