B（H）上保持部分等距的可加映射

石薇薇，吉国兴

（陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安710119）

B（H）上保持部分等距的可加映射

石薇薇，吉国兴＊

（陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安710119）

设B（H）是维数不小于3的复Hilbert空间H上的有界线性算子全体组成的代数。刻画了在部分等距集合上双边保持偏序和正交性的双射，并回答了Molna＇r在2002年提出的一个问题。作为应用，证明了B（H）上的可加满射φ双边保持部分等距的充分必要条件为，存在H上的两个酉算子或共轭酉算子U、V使得∀X∈B（H）都有下列之一成立：（1）φ（X）＝UXV；（2）φ（X）＝UX＊V。

部分等距；偏序；正交；酉算子；可加映射

近几十年来，许多专家学者致力于研究矩阵代数或算子代数上的保持问题，并且得到了一系列深刻而有趣的结果。特别地，保持投影算子、幂等算子、幂零算子等重要算子类的映射已被广泛而深刻地讨论［1－9］。例如，由Hilbert空间上的投影组成的格在量子力学中具有重要的作用［10－11］。此外，投影可看作是正的部分等距算子，因此可以考虑关于部分等距的一些相关问题。

设H是维数不小于3的复Hilbert空间。设B（H），PI（H）分别是H上的有界线性算子全体和部分等距算子全体。Molna＇r在文献［12］中对在PI（H）的某非零元处连续的双边保持偏序和正交性的双射进行了刻画，并提出了一个问题，他指出若可以将连续性条件去掉这将是一个非常好的改进，本文回答了这一问题，证明了PI（H）上的双边保持部分等距的偏序和正交性的双射实际上是一个同构或者反同构。进一步地，对B（H）上的所有双边保持部分等距的可加满射进行了刻画。

设H是维数不小于3的复Hilbert空间。设B（H）是H上的全体有界线性算子组成的代数。称W∈B（H）是部分等距算子，若对于任意的h∈（ker W）⊥都有‖Wh‖＝‖h‖。其中，（ker W）⊥称作W的始空间，记作IW。ran W称作终空间，记作FW。由H上的所有部分等距算子构成的集合记作PI（H）。

A∈PI（H）⇔A＊∈PI（H）⇔A＊A是投影⇔AA＊是投影。

文献［12］引入了PI（H）上的偏序，即对于任意的P、Q∈PI（H），若满足IP⊆IQ，FP⊆FQ且P｜IP＝Q｜IP，则记作P≤Q。若P＊Q＝PQ＊＝0，则称部分等距算子P和Q正交，记作P⊥Q。显然，当限制到投影上时，该偏序与一般意义上的偏序保持一致。

H上的共轭线性双射U称作共轭酉算子，若〈Ux，Uy〉＝〈y，x〉，∀x、y∈H，其中〈x，y〉表示x和y的内积。x⊗y表示H上的一秩算子，定义为（x⊗y）z＝〈z，y〉x，∀z∈H。T＝｛z∈C：｜z｜＝1｝表示复平面C上的单位圆周。

1 主要结果

下面的定理解决了Molna＇r在文献［12］中提出的问题。

定理1 设H是维数不小于3的复Hilbert空间。设φ：PI（H）→PI（H）是双边保持偏序和正交性的双射，则下列形式之一成立：

（1）存在H上的两个酉算子U、V使得

φ（R）＝URV，∀R∈PI（H）；

（2）存在H上的两个酉算子U、V使得

φ（R）＝UR＊V，∀R∈PI（H）；

（3）存在H上的两个共轭酉算子U、V使得

φ（R）＝URV，∀R∈PI（H）；

（4）存在H上的两个共轭酉算子U、V使得

φ（R）＝UR＊V，∀R∈PI（H）。

证明 考虑到文献［12］中定理1的证明过程中，条件φ在PI（H）的某处连续性（范数拓扑意义下）仅用来证明定义在单位圆周上的函数f的连续性，因此我们只需要证明函数f是连续的。

由文献［5］中定理1的证明可知，φ保持部分等距算子的秩且φ诱导了一个n维Hilbert空间Hn上的映射ψ，其中ψ与φ具有相同的保持不变量。特别地，ψ是正交可加的。又由文献［12］中的方程（1）、（2）易知存在Hn上的酉算子或共轭酉算子U以及T上的可乘双射f使得ψ（P）＝UPU＊，对任意的投影P∈B（Hn），且ψ（λR）＝f（λ）ψ（R）对任意的一秩部分等距R∈B（Hn）。注意到f（1）＝1，f（－1）＝－1且，∀λ∈T。下证f是连续的。

不失一般性，可设ψ（P）＝P，对任意的投影P∈B（Hn）。令｛ei｝ni＝1是 Hn的一组正规正交基。∀λ∈T，记

其中

均为一秩投影。显然，∀λ∈T，Uλ是酉算子。由于ψ是正交可加的，因而有

于是，

令ψ（e1⊗e2）＝（xij）n×n，ψ（e2⊗e1）＝（yij）n×n。注意到e1⊗e2、e2⊗e1、e3⊗e3、…、en⊗en是两两正交的一秩部分等距，而ψ保持部分等距的正交性和秩，所以ψ（e1⊗e2）、ψ（e2⊗e1）、e3⊗e3、…、en⊗en也是两两正交的一秩部分等距，故有

由（1）式可得

注意到f（λ）∈T，∀λ∈T。断言x11＝0。事实上，若x11≠0，则有y11≠0。因为，由（2）式易知，这与f是双射矛盾，同理可知x22＝0。

由于x11＝x12＝0，因而y11＝y22＝0。又因为ψ（e1⊗e2）是一秩部分等距，所以x12、x21中必有一个为0，另一个不为0。不失一般性，可设x12≠0，则x21＝0。又ψ（e1⊗e2）⊥ψ（e2⊗e1），因而有y12＝0。由（2）式可得f（λ）＝，而f是可乘的，故x12＝1，f（λ）＝λ，∀λ∈T。同理可证，若x21≠0，则有

综上可知，去掉φ的连续性条件仍可证得f是连续的。再由文献［12］的证明过程可知φ可以写成定理中的形式之一，证毕。

作为定理1的一个应用，进一步考虑B（H）上的双边保持部分等距的可加映射。称可加映射φ：B（H）→B（H）保持部分等距，若φ（A）∈PI（H）对于任意的A∈PI（H）成立；称φ双边保持部分等距，若φ（A）∈PI（H）当且仅当A∈PI（H）。

定理2 设H是维数不小于3的复Hilbert空间。若φ：B（H）→B（H）是可加满射，则φ双边保持部分等距的充分必要条件是下列之一成立：

（1）存在H上的两个酉算子U、V使得

1．树立批判性思维教育理念，注重提高学生的思维能力。创新创业教育的改革应从树立批判性思维教育理念做起，应当倡导重视、提高学生的思维力，开发学生的思辨力，并将其纳入课程的主要目标。批判性思维教育理念认为，“教育与培训的使命:培养学生的批判性精神和独立思考的态度”，“批判性思维和创造性”是教育方式革新的重点，高等学校必须教育并培养学生，使其能够批判性地思考问题、分析问题。［8］这与创新创业教育的本质有相似之处。国外许多高校纷纷把培养大学生的批判性思维、促进大学生创新能力发展作为人才培养的重要目标和课程设置目标，批判性思维教育理念已经成为了整个教育界的核心理念之一，创新人才培养机制较为成熟。

φ（X）＝UXV，∀X∈B（H）；

（2）存在H上的两个酉算子U、V使得

φ（X）＝UX＊V，∀X∈B（H）；

（3）存在H上的两个共轭酉算子U、V使得

φ（X）＝UXV，∀X∈B（H）；

（4）存在H上的两个共轭酉算子U、V使得

φ（X）＝UX＊V，∀X∈B（H）。

证明 充分性显然，只需证明必要性。首先证明φ限制在PI（H）上是保持部分等距的偏序和正交性的双射。注意到φ是B（H）上的双射。事实上，若φ（A）＝0，则A是部分等距，进而对任意的正整数n都有φ（nA）＝0，因此nA也是部分等距，故A＝0，即φ是B（H）上的双射。特别地，φ也是PI（H）上的双射。

设A、B∈PI（H），则有A+B，A－B∈PI（H）当且仅当A⊥B。事实上，若A⊥B，则A＊B＝AB＊＝0且A＊A和B＊B均为投影。由于（A±B）＊（A±B）＝A＊A+B＊B是投影，因而A+B、A－B∈PI（H）。反之，设A+B、A－B∈PI（H），则有

都是投影。记P1＝A＊A，P2＝B＊B，H＝A＊B+B＊A。显然P1、P2、P1+P2+H和P1+P2－H都是投影，进而

上式表明－（P1P2+P2P1）＝H2≥0，即

P1H2P1＝－2P1P2P1≥0。

但是，P1P2P1≥0，故有P1P2P1＝0，P1P2＝0，亦即A＊A⊥B＊B，IA⊥IB。同理，由（A+B）（A+B）＊、（A－B）（A－B）＊也是投影可得AA＊⊥BB＊，FA⊥FB。因此A⊥B。又φ（A）∈PI（H）当且仅当A∈PI（H），有∀A、B∈PI（H）。

A⊥B⇔A±B∈PI（H）⇔φ（A）±φ（B）∈PI（H）⇔φ（A）⊥φ（B），即φ：PI（H）→PI（H）双边保持部分等距的正交性。

另一方面，取A，B∈PI（H）满足A≤B。易知B＝A+（B－A）且A⊥B－A，由φ保持部分等距的正交性可得

φ（B）＝φ（A）+φ（B－A）且φ（A）⊥φ（B－A）。

进而Iφ（A）⊆Iφ（B），Fφ（A）⊆Fφ（B）且

即φ（A）≤φ（B）。注意到φ－1和φ有相同的性质，因此φ双边保持部分等距的偏序。综上可知φ限制在PI（H）上是双边保持部分等距的偏序和正交性的双射，因此φ可以写成定理1中四种形式之一。

不失一般性，设φ可写成定理1中（1）的形式，即存在H上的两个酉算子U、V使得

φ（R）＝URV，∀R∈PI（H）。

下证φ（λR）＝λφ（R），∀R∈PI（H），∀λ∈C。事实上，若｜λ｜＝1，则λR∈PI（H）且φ（λR）＝U（λR）V＝λφ（R）。

若0＜｜λ｜＜1，则存在λ1、λ2∈T使λ2）。进而λ1R、λ2R∈PI（H）且

特别地，φ（λP）＝λφ（P），对任意的投影P∈B（H），任意的λ∈C。由文献［13］中定理3知任一有界线性算子X∈B（H）都可以写成有限多个投影的线性组合，且φ可加，从而φ（X）＝UXV，∀X∈B（H），即φ可写成定理2中（1）的形式。其他情况可得到相应的结论。证毕。

2 结论

本文刻画了在部分等距集合上双边保持偏序和正交性的双射。同时，作为应用，证明了B（H）上的可加满射φ双边保持部分等距的充分必要条件为，存在H上的两个酉算子或共轭酉算子U、V使得∀X∈B（H）都有下列之一成立：（1）φ（X）＝UXV；（2）φ（X）＝UX＊V。

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〔责任编辑 宋轶文〕

Additive maps preserving partial isometries on B（H）

SHI Weiwei，JI Guoxing＊
（School of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi′an 710119，Shaanxi，China）

Let B（H）be the algebra of all bounded linear operators on a complex Hilbert space H with dim H≥3.All the bijections on the set of all partial isometries on Hwhich preserve the order and the orthogonality in both directions are described，which answers the question raised by Molna＇r in 2002.As an application，it is shown that an additive surjectionφon B（H）preserves partial isometries in both directions if and only if one of the following assertions holds：There exist two unitary operators or two anti－unitary operators Uand Von Hsuch that（1）φ（X）＝UXV∀Xin B（H），（2）φ（X）＝UX＊V∀Xin B（H）.

partial isometry；partial ordering；orthogonality；unitary operator；additive map

47B49

O177.1

：A

1672－4291（2015）05－0014－04

10.15983／j.cnki.jsnu.2015.05.154

2014－11－25

国家自然科学基金（11371233）

石薇薇，女，硕士研究生，研究方向为算子空间。E－mail：shiweiwei＠snnu.edu.cn

＊通信作者：吉国兴，男，教授，博士生导师。E－mail：gxji＠snnu.edu.cn