基于总体最小二乘法的二维坐标转换方法

赵景堂，杜国明，李秀海

（1.中国石油集团东北炼化工程有限公司吉林设计院，吉林吉林 132021；2.辽宁省鞍钢大孤山铁矿采矿车间，辽宁鞍山 114046；3.黑龙江工程学院测绘工程学院，黑龙江哈尔滨 150050）

基于总体最小二乘法的二维坐标转换方法

赵景堂1，杜国明2，李秀海3

（1.中国石油集团东北炼化工程有限公司吉林设计院，吉林吉林 132021；2.辽宁省鞍钢大孤山铁矿采矿车间，辽宁鞍山 114046；3.黑龙江工程学院测绘工程学院，黑龙江哈尔滨 150050）

介绍总体最小二乘法进行二维坐标转换的原理和方法。通过具体工程案例，研究利用总体最小二乘法进行坐标转换，结果表明：与普通最小二乘法相比较，总体最小二乘方法能够提高坐标成果转换精度，但如果应用不当，则不如普通最小二乘法的转换结果。

二维坐标转换；最小二乘法；总体最小二乘法；误差

坐标转换问题在测量工作中经常遇到，如利用GNSS技术建立的各类控制网需要将WGS84坐标成果转换到国家坐标系或地方城市坐标系及工程独立坐标系下的成果，将北京54坐标系成果转换为西安80坐标系或相反等等，二维平面坐标转换是经常采用的一种坐标转换方法。传统二维坐标转换通常采用4参数方法，即2个平移参数、1个尺度参数和1个旋转参数，利用2个以上重合点的坐标采用最小二乘方法（Least Squares，LS）求取4个转换参数实现两种坐标之间的变换。在建立坐标转换模型时，仅考虑目标坐标的误差，而把源坐标视为无误差，这与实际情况是不符的，因为任何测量和计算都存在误差。近年来，利用总体最小二乘法（Total Least Squares，TLS）进行坐标转换得到了重视［1－4］和应用，总体最小二乘法同时考虑源坐标和目标坐标误差，从理论上较基于普通的最小二乘法坐标转换方法具有优势［5－7］，本文主要利用TLS进行坐标转换，为坐标转换提供一种新的转换方法。

1 基于LS的二维坐标转换方法

二维坐标转换通常采用如下4参数转换模型［8］

式中：Δx，Δy为2个平移参数，k为尺度参数，θ为旋转参数。式（1）是非线性方程，用附加未知参数

得到线性化方程

当有2个以上重合点的坐标时，采用LS法求式（4）中的未知参数，并把式（4）写成误差方程为

2 总体最小二乘法解算坐标转换参数

与LS法不同，TLS不仅考虑式（5）中观测量的误差，还考虑系数矩阵B的误差，其数学模型为

式中：EB为系数矩阵B的误差，等权TLS以式（8）为基础进行参数估计。

式中：vec指将矩阵按行拉直所得到的列向量，排列的顺序从左至右。

TLS问题的求解一般采用奇异值分解法。首先构造增广矩阵［B，L］，对其进行奇异值分解

式中：m为未知数个数，f为式（9）中F的元素。

由于在式（5）B中的元素并非都存在误差，如式（4）右边系数矩阵前2列对应的平移参数系数矩阵皆为常数，不需要修正，仅对后两列修正即可。将B及X分解为

式中：B1为不需要修正的分块系数矩阵，X1为其对应的未知参数，B2为需要修正的分块系数矩阵，X2为其对应的未知参数。TLS的解应满足等式

对式（12）的求解一般是先对B1进行QR分解，再把QT左乘到［B，L］上，得到

由式（14）可建立方程

先利用TLS方法由式（16）求出X2，再将X2代入式（15），即可求出X1，从而实现全部未知参数的解算。

3 算例分析

某矿业权核查C级GPS控制网，具有北京54和西安80两套国家坐标系成果，选择其中7个控制点作为转换参数，8个控制点作为检核点。设计以下3个研究方案：

方案1：以传统最小二乘方法求取坐标转化参数进行的坐标转换；

方案2：把式（5）中系数矩阵B的系数都作为具有误差的量进行总体最小二乘方法求解转化参数进行的坐标转换；

方案3：把式（5）中系数矩阵B的系数分成两部分，仅考虑子矩阵B2矩阵中元素的误差进行总体最小二乘的坐标转换。

三种坐标转换方法求取的转换参数见表1。

表1 三种方案求取的坐标转换参数

三种坐标转换方案的坐标转换精度见表2。

表2 坐标转换精度统计

从表1可知，方案2和方案1、3求定的转换参数差异较大。在表2坐标转换的精度统计中，方案2的坐标转换精度也最低，分析原因主要是把系数矩阵B中的所有量（包括常量）视为具有观测误差的观测值是不合理的。在3个坐标转换方案中，方案3坐标转换精度比方案1提高了约5mm，说明利用整体最小二乘法进行坐标转换比普通最小二乘法的坐标转换精度有所提高。

4 结束语

本文基于总体最小二乘法对二维坐标转换进行的研究表明，把具有常数的误差方程系数矩阵中所有元素视为具有误差的变量是不合理的，其坐标转换获得的结果不如利用普通最小二乘转换的结果。基于整体最小二乘法的二维坐标转换精度比普通最小二乘转换法精度有所提高。

［1］陆珏，陈义，郑波.总体最小二乘方法在三维坐标转换中的应用［J］.大地测量与地球动力学，2008，28（5）：77-81.

［2］姚宜斌，孔建.顾及设计矩阵随机误差的最小二乘组合新算法［J］.武汉大学学报：信息科学版，2014，39（9）：1028-1032.

［3］王乐洋，许才军.总体最小二乘研究进展［J］.武汉大学学报：信息科学版，2013，38（7）：850-854.

［4］AKYILMAZ O.Total Least Squares Solution of Coordinate Transformation［J］.Survey Review，2007（1）：68-80.

［5］楚彬，范东明.基于比例整体最小二乘的GPS高程拟合［J］.测绘工程，2014，23（4）：37-39.

［6］汪奇生，杨德宏.顾及系数矩阵常数列的总体最小二乘迭代解法［J］.测绘工程，2014，23（7）：38-40.

［7］张亚利，刘星.偏最小二乘回归在系统形变分析中的应用［J］.测绘工程，2014，23（8）：1-5.

［8］孔祥元，梅是义.控制测量学［M］.武汉：武汉大学出版社，2004：147-148.

［责任编辑：郝丽英］

A study of two dimensional coordinate transformation based on total least squares

ZHAO Jing-tang1，DU Guo-ming2，LI Xiu-hai3

（1.Jilin Design Institute of Petro China Northeast Refining ＆Chemicals Engineering Co.Ltd.，Jilin 132021，China；2.Ansan Dagushan Iron Mine，Anshan 114046，China；3.College of Surveying and Mapping Engineering，Heilongjiang Institute of Technology，Harbin 150050，China）

The method and principle of two dimensional coordinate transformation based on total least squares are introduced.The total least squares are applied to a survey engineering example in two dimensional coordinate transformation.The results show that compared with least squares，two dimensional coordinate transformation based on total least squares can improve the precision of transformation and deteriorate it if incorrect by using this method.

two dimensional coordinate transformation；least squares；total least squares；error

TU198

A

1671-4679（2015）01-0021-02

2014-11-14

黑龙江省教育厅资助项目（12511465）

赵景堂（1966－），男，高级工程师，研究方向：工程测量.