基于RBF网络曲线拟合的研究

冯守良

（黑龙江工程学院测绘工程学院，黑龙江哈尔滨 150050）

基于RBF网络曲线拟合的研究

冯守良

（黑龙江工程学院测绘工程学院，黑龙江哈尔滨 150050）

曲线拟合问题是求得自变量与因变量之间的逼近函数关系表达式，在MATLAB中可通过编写RBF网络实现曲线拟合，但是样本数据和参数的选择是值得研究的问题，用不同的样本数据与不同的参数进行曲线拟合，并把拟合出的效果进行比较，从而得出怎样选择数据样本和参数。

RBF；曲线拟合；神经网络；参数选择

在现实的科学研究中，很多问题之间的函数关系是未知的，各个变量之间的关系也是很复杂的。科研试验的主要目的是对事物模型的研究，而采用的主要方法是通过采集试验数据，建立与之相应的数学模型，在建模过程中最常用到的数据处理方法就是进行数据的曲线拟合［1］。

用曲线拟合来逼近这种函数关系，尤其是变量本身复杂、不确定，变量之间的关系也不确定，自变量与因变量也很复杂的学科研究，例如地震的研究、变形体的研究、地址灾害研究、经济变化的研究、股票市场的研究，等等。而RBF网络是人工神经网络的一种，神经网络本身具有的容错性、鲁棒性、自适应性、自学习性、容错性、非线性，并行计算和分布式存储等特点，能很好地应用于分类、聚类、优化、回归与拟合等问题。［2－5］如果能解决曲线精确的拟合，并对很多工程进行预测，尤其是地质灾害和建筑物的变形。

1 曲线拟合的原理与方法

曲线拟合包括有理论模型的曲线拟合和无理论模型的曲线拟合，其中有理论模型的曲线拟合中具有代表性的为线性模型曲线拟合与伪线性最小二乘的非线性模型的曲线拟合。线性模型曲线拟合表达式为y＝α0+α1x1+α2x2+…+αmxm+θ；其中，α1…αm是未知参数，服从正态分布。把实验数据带入此结构式，按最小二乘原理求解参数，解决线性模型的曲线拟合问题；伪线性最小二乘的非线性模型的曲线拟合表达式为A（x）＝A0+A1x+ A2x2+…+Amxm。表达式可通过转换的形式，如Ai＝αi，xm＝xm化为线性模型。

无理论模型的曲线拟合一般是人工神经网络方法和几何方法，人工神经网络方法在曲线拟合中有代表性的是RBF网络。

2 RBF网络概述

RBF是径向基函数网络，研究表明，在一定条件下，径向基ø（‖x－c‖）可以逼近几乎所有函数，这里的c是一个固定值，这样就把多元函数变成了一元函数［2］。而常见的径向基函数有3种：gauss分布函数逆函数；薄板样条函3种函数都是径向对称函数，自变量偏移对称中心后，函数值快速下降。具体网络结构如图1所示。

图1 RBF网络结构

径向基函数网络是前向神经网络由3个层构成：输入层，隐含层，输出层。输出层节点个数是输入数据的维数，隐含层的节点数根据网络训练的要求可以自动调节，输出层节点数就是输出数据的维度。其中，非线性隐含层的功能是将输入数据的向量转换到另一个空间向量，使原来线性不可分的问题转换成线性可分解决，输出层是线性的。

根据上面的网络结构，假设网络有N个输入节点x1，x2，…，xn；隐含层有M个节点，第m个隐含层节点的基函数为ø（‖X－Xm‖），Xm＝［xm1，xm2，…，xmn］为基函数的中心。输出层有P个节点，实际输出Yk＝［yk1，yk2，…，ykj］，k为输入第k个样本。其中隐含层与输出层之间有一个阈值恒为1，其连接权值为woj。那么输入第k个样本，可以得出的结果为Xm），j＝1，2，…，J。

对于RBF网络的学习算法，由于对径向基函数中心的确定方法不同而不同，常见的学习策略有：有监督选取径向基函数中心，随机选取径向基函数固定中心，自组织选取径向基函数中心，正交最小二乘选取径向基函数中心。

3 曲线拟合实验对比

本文将用MATLAB中自带的RBF网络工具箱调用newrb函数分别对f（x）＝sin x和f（x）＝x2进行拟合的实验。实验过程如下：

1）选择不同样本进行训练。在训练的过程中均方误差goal＝0，径向基的扩展速度spread＝1。对函数f（x）＝sin x进行拟合，首先选择［－10，10］区间内两数间隔0.5，选择41个训练数据，测试数据选择［－10，10］区间内两数间隔0.1，选择201个测试数据，网络训练时间为10.012 9s，拟合结果如图2所示。其次，选择［－10，10］区间内两数间隔2，选择11个训练数据，其他不变，训练时间为3.993 8s，拟合结果如图3所示。两数间隔为0.5，选择区间中缺少［－3，3］这一区间的数据，其他条件不变，拟合结果如图4所示。

图2 拟合结果

图3 拟合结果

图4 拟合结果

对于函数f（x）＝x2进行拟合，首先选择［－10，10］区间内两数间隔0.5，选择41个训练数据，测试数据选择［－10，10］区间内两数间隔0.1，选择201个测试数据，网络训练时间为10.167 3s，拟合结果如图5所示。其次，选择［－10，10］区间内两数间隔2，选择11个训练数据，其他不变，训练时间为4.030 0s，拟合结果如图6所示。

图5 拟合结果

图6 拟合结果

2）选择不同的径向基函数的扩散速度。选择21个训练数据，测试数据均选择［－10，10］区间内两数间隔0.1，选择201个测试数据。在训练的过程中均方误差goal＝0。

对函数f（x）＝sin x进行拟合，分别选择径向基函数扩展速度为0.1、1、15进行拟合，训练时间分别为6.102 0s、6.084 2s、6.271 3s；拟合结果分别如图7～图9所示。

图7 拟合结果

图8 拟合结果

图9 拟合结果

对函数f（x）＝x2进行拟合，分别选择径向基函数扩展速度为0.1、1、15进行拟合，训练时间分别为6.129 7s、5.943 2s、5.923 6s；拟合结果分别如图10～12所示。

图10 拟合结果

图11 拟合结果

图12 拟合结果

4 结 论

从试验中可以看出，选择41个训练样本，训练时间约10s，选择21个训练样本，训练时间约6s，选择11个训练样本，训练时间约4s，达到相同精度时，选择多的训练样本，训练网络的时间比较长。

图2与图3及图5与图6的比较说明，如果选择的样本量不足，曲线拟合的效果受到严重影响，而且图2与图4的比较可以看出，训练缺失区间内的拟合效果差，在选择数据时，应该均匀选择足够的数据来保证拟合的精度。

在训练样本一样的情况下，径向基函数扩散速度的大小对拟合精度的影响很大，通过图10～12可以看出扩散速度大比扩散速度小的拟合更加逼真，但是通过图8、图9可以看出不是扩散速度大就好，图9中的拟合效果比图8差，f（x）＝sin x拟合时比f（x）＝x2需要更小的扩散速度。可以得出对以上两个函数应该把扩散速度选择在1左右。

试验中发现不同的函数对训练样本均匀选择的要求是一定的，但是选择多少个训练样本及扩散速度是多少，不同的函数有不同的选择。

［1］刘龙，张献州，喻巧，等.基于GA-BP神经网络的高铁线下工程沉降预测模型［J］.测绘工程，2014，23（5）：58-61.

［2］黄惠峰，张献州，甄亚男，等.遗传BP神经网络叠加区域沉降的工程沉降分析与预测方法［J］.测绘工程，2014，23（6）：59-62.

［3］马东宇.基于Gaussian型RBF神经网络的函数逼近与应用［D］.长沙：中南大学，2011.

［4］林斌，范永弘.一种改进的BP神经网络非均匀性校正算法［J］.测绘工程，2013，22（3）：24-27.

［5］包健，赵建勇，周华英.基于BP网络曲线拟合方法的研究［J］.计算机工程与设计，2005，26（7）：1840-1841.

［6］王苗苗，柯福阳.多项式曲面拟合和BP神经网络GPS高程拟合方法的比较研究［J］.测绘工程，2013，22（6）：22-26.

［7］周玉娟，岳桂昌.二次B样条修正VTEC多项式模型研究［J］.测绘工程，2013，22（3）：41-43.

［责任编辑：刘文霞］

Research of curve fitting based on RBF network

FENG Shou-liang

（College of Surveying and Mapping Engineering，Heilongjiang Institute of Institute，Harbin 150050，China）

The key to curve fitting is to obtain the function expression between independent variable and the dependent variable.Curve fitting can be obtained in written RBF networks in matlab，but the choice of sample data and parameters is a problem worthy of study.The different sample data with different parameters is given，and the curve fitting results will be compared to determine how to select data samples and parameters.

RBF；curve fitting；parameter's selection；neural network

TP319

A

1671-4679（2015）01-0023-04

2014-06-25

冯守良（1957－），男，高级工程师，研究方向：测绘教学和测绘工程实践.