一道自主招生试题的探究

孙林岳 (奉港中学 浙江奉化 315500) ●应立君 (余姚市实验学校 浙江余姚 315400)



一道自主招生试题的探究

孙林岳 (奉港中学 浙江奉化 315500) ●应立君 (余姚市实验学校 浙江余姚 315400)

2014年浙江省宁波市普通高中创新素养培养实验班招生考试结束后，一道代数式求最值的试题被笔者转用到了练习卷中.此题是填空题，学生解答的正确率比预期稍偏高.为了准确把握学生的学习水平，在课堂上分析此题时，笔者请部分学生介绍了自己的思想方法和解题过程，精彩纷呈，深受启发．

例1 已知a,b是不为0的实数，对于任意实数x,y，都有(a2+b2)(x2+y2)+8bx+8ay-k2+k+28≥0，其中k为实数，则k的最大值为______．

(2014年浙江省宁波市普通高中创新素养培养实验班招生考试数学试题)

生1：此题我有疑问:

(a2+b2)(x2+y2)+8bx+8ay-k2+k+28=

a2x2+a2y2+b2x2+b2y2+8bx+8ay-k2+k+28=

(bx+4)2+(ay+4)2+a2x2+b2y2-k2+k-4.因为(bx+4)2≥0，(ay+4)2≥0，a2x2≥0，b2y2≥0，所以上式的最小值为-k2+k-4,因此只需-k2+k-4≥0，而-k2+k-4≥0是没有实数解的．

此言一出，学生反响很大，部分学生有了困惑：配方法是数学中常用的方法，那问题在哪呢？很快就有学生质疑：这个-k2+k-4不是最小值，它不可能取到，因为bx+4=ay+4=ax=by=0是无解的，此方法不妥(必需在自变量取值范围内求函数的最值，要考虑取值的合理性，必须能取到且有意义).学生释然．

生2：我用特殊值法.令a=b=1，则

(a2+b2) (x2+y2)+8bx+8ay-k2+k+28=

2x2+2y2+8x+8y-k2+k+28=

2(x+2)2+2(y+2)2-k2+k+12.

因为(x+2)2≥0,(y+2)2≥0,所以上式在x=y=-2时(由于学生1的情况，学生2特意强调了取得最小值时的条件，值得表扬)，能取到最小值-k2+k+12,因此有-k2+k+12≥0，因式分解整理得(k+3)(k-4)≤0，解得-3≤k≤4，故k的最大值为4.为了更加肯定此答案的正确性，我又尝试了a=1,b=2，代入配方后为

同理可得k的最大值为4.

生2解题方法灵活，且思维缜密，获得了大家的肯定.特殊值法不愧是探索问题结论的好方法.有学生提出，如果不用特殊值法，该如何解答呢？

生3：添项、减项和整体配方思想.

(a2+b2)(x2+y2)+8bx+8ay-k2+k+28=

a2x2+a2y2+b2x2+b2y2+8bx+8ay-k2+k+28=(ay+bx)2+8(ay+bx)+16+(ax-by)2-k2+k+12=

(ay+bx+4)2+(ax-by)2-k2+k+12.

因为(ay+bx+4)2≥0，(ax-by)2≥0，所以上式有最小值-k2+k+12，并且ay+bx+4=ax-by=0是存在的,因此-k2+k+12≥0，因式分解整理得(k+3)(k-4)≤0，解得-3≤k≤4，故k的最大值为4．

生3有扎实的代数基础知识和基本技能，解题方法和参考答案一致，其素养可见一斑.

w=(a2+b2)(x2+y2)+8bx+8ay=

(a2+b2)x2+8bx+(a2+b2)y2+8ay，

令w1=(a2+b2)x2+8bx，w2=(a2+b2)y2+8ay，w=w1+w2．把a,b看作常数，由二次函数顶点公式知

可得

因此，原式的最小值亦满足-k2+k+12≥0，从而-3≤k≤4，故k的最大值为4．

教室里想起了热烈的掌声，钦佩的目光聚焦在生4的身上.

当然，也可以把生4的解法换一种书写形式：

2边都除以a2+b2得

配方得

化简得

可知要使不等式恒成立，需k2-k-12≤0，解得-3≤k≤4,故k的最大值为4．

主元法是解决多元代数式问题的一种常用方法，平时应多加关注．

在课后反思中，笔者想到了2001年全国初中数学联赛第二试第1题：

例2 在直角坐标系中有3个点A(0,1)，B(1,3)，C(2,6)，已知直线y=ax+b上横坐标为0,1,2的点分别为D,E,F．试求a,b的值，使得AD2+BE2+CF2达到最小值．

问题建立模型后整理可知，实际上是求

w=5a2+6ab+3b2-30a-20b+46

结合例2的方法，我们又得到例1的新解法：

初中代数式最值问题出现频繁，类型丰富，通常与配方息息相关.不同的类型也有着不同的处理方法，如主元法、换元法、消元法等，但必须时刻注意最值的取得必须在变量的取值范围内.实际教学中，很多学生往往是“只见树木，不见森林”，学会了一道，不会另一道，教师要引导学生平时做个有心人，尝试一题多解，归纳多题一解，并进行反思、探索与研究，达到“做一道而会一类”的目标，方能有的放矢，事半功倍.