嵌入式系统下混沌动力学方程的求解与分析

李良，李建军，李钊，范小虎

（1.第二炮兵工程大学士官学院，山东 青州 262500；2.第二炮兵驻石家庄地区军事代表室，河北 石家庄 050081）

嵌入式系统下混沌动力学方程的求解与分析

李良1，李建军1，李钊2，范小虎1

（1.第二炮兵工程大学士官学院，山东 青州 262500；2.第二炮兵驻石家庄地区军事代表室，河北 石家庄 050081）

随着科学界对混沌特性不断探索，发现将有效通信信号附加到混沌信号里是实现保密数据传输行之有效的方法之一，被加密后的通信数据即便被截获，也很难被破译。通过仿真与实验的方法，在嵌入式Linux操作系统下对一种典型的混沌电路模型进行分析求解，验证了龙格库塔算法求解混沌电路模型的正确性，为进一步实现嵌入式系统下的数据信息加密奠定基础。

嵌入式系统；数据传输；混沌行为

0 引言

在通信技术的发展史上，人们一直在不断地探索更快捷、高效和更安全的信息通信方式。无论是在研究探索的任何阶段，通信内容的信息安全问题始终存在。当今通信界利用混沌信号的特性，总结出了一些混沌通信理论。因此，通过嵌入式通信设备产生可附加到有效通信信号中的混沌信号，实现对通信信息的加密处理是目前通信领域研究热点之一［1］。

本文分析了一种典型的混沌电路，阐述了嵌入式系统环境下用龙格库塔算法进行求解分析混沌电路模型的步骤和方法。

1 嵌入式系统及混沌加密

由于混沌行为的伪随机性和对初值较强的敏感性［2］，因此控制混沌也成为了应用混沌的关键。人们陆续提出了多种对混沌行为进行控制的方法，比如最优控制法、脉冲控制法、线性状态反馈控制法以及非线性的状态反馈控制等。混沌控制在众多领域有着广泛的应用前景，比如在通信保密、电子系统及神经网络等方面。

嵌入式通信设备（比如移动电话、掌上电脑等）已成为人们学习生活工作不可缺少的一部分，在日常生活中已经起到了越来越重要的作用。因此在嵌入式系统下求解混沌微分方程，并将其应用于保密通信中的研究意义是非常重大的。随着更高级别、更复杂且实用的嵌入式系统和可编程逻辑器件的快速发展，使基于混沌的通信系统向市场化方向越来越近了。嵌入式系统强调的是硬件与软件的整体协同性，在一定的项目开发要求下，要尽可能挖掘系统的软硬件能力，能够根据实际开发项目需要对软硬件进行选择，根据项目需要对系统进行裁剪，最终得到性价比较高的设计方案。本文的嵌入式系统硬件部分是选用TQ2440实验板。

2 加密研究方法

随着信息技术与计算机电子技术应用的快速发展，数值分析计算方法突破了传统的计算方法，在传统基础学科中取得了很大的突破。数值分析计算是与计算机使用密切联系的计算方法，它既有应用广泛性与技术性特点，也有纯数学的抽象性与科学性的特点。

2.1 数值分析方法特点

要求出一些特定的数学方程的数值解，必然要掌握这些方程的本质特点，针对性地设计贴近方程本质特点的算法。数值分析方法总体概括起来有以下4个特点：

①有可靠的理论总结与分析，能任意逼近要求的精度，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性；

②是面向计算机计算方法，也是计算机能直接处理的有效算法；

③最优化的计算方法，能做到计算时间要尽量短；

④要进行数值结果分析实验，可以通过Matlab仿真实验或作图软件，对计算的结果进行定性定量分析，证明这种算法是最优化的计算方法。

数值分析的过程既是计算数学的任务，也是数值计算方法的研究对象，就是研究具体数学问题并将计算机用于解决具体数学问题应用中。

2.2 龙格库塔算法求解常微分方程

在高等数学中的关于常微分方程的一些解法，只局限于求解几种特殊类型的微分方程，大部分的常微分方程用高等数学中的公式法是不可行的，有些初值问题虽然有初等解，但由于形式太复杂不便于应用。因此有必要探讨常微分方程初值问题的数值解法。

利用龙格—库塔方法对常微分求数值解是一种在工程技术领域上应用比较普遍的算法，计算精度比较高，与欧拉法一样的是都属于单步算法，即计算下一步时，只用到前一步值。龙格—库塔法的优点是精度更高，对误差进行有效抑制，收敛且稳定（在一定前提下），计算中可以根据需要改变步长，从而达到不需要计算高阶导数等。

按照只能增加计算f值计算次数才能满足截断误差要求的推导思想［3］，截断误差为o（h5）的4阶龙格—库塔公式，每计算一步都要计算4次f值。其一般公式表达式为：

进一步可以推导出常用4阶龙格—库塔公式为：

3 在嵌入式系统中求解典型混沌方程

3.1 洛伦兹混沌方程数学模型

洛仑兹［4］提出一个具体数学模型，清晰地展示了一种崭新的运动模式，那就是混沌现象的运动模式，也即是轨迹既不收敛到极限环上但是也不脱离。洛伦兹模型在非线性学科中很重要，对于未来的气候变化预测也至关重要。

洛仑兹方程是一个三维的自治系统，方程也是极其精妙的。洛仑兹方程形式比较简单，是由3个一阶微分方程组成的3阶微分方程组：

式中，a为普兰特尔数；c为瑞利数。但是所有的a、b和c取值是都大于0，对于洛仑兹数学模型，研究方法是参数a和b已确定，单独考察c变化时，系统行为的变化。

取参数a＝10，b＝8／3，c＝28时，洛仑兹方程如式（1），对方程进行数值求解，观察洛仑兹吸引子的情况，此时洛仑兹方程会出现混沌状态，定点变成了排斥因子，轨迹以非常复杂的方式相互排斥，演变时自身从不重复和交叉。

3.2 实现洛伦兹混沌方程求数值解流程

本文程序算法设计主要按照龙格库塔的思想实现，在嵌入式系统环境下实现洛伦兹混沌方程求数值解的流程如下：

①首先在Linux嵌入式系统的VIM编辑器环境下，按照龙格库塔推导思想对二阶微分方程数值求解程序进行编写。

②编写完成之后，执行命令：＃arm-linux-gcc-o zhixingwenjian bysj.c。

③设置宿主机与实验板之间互传的路径是目标盘：＼Virtual Machines＼down＿update，在宿主机终端执行：＃rz命令，把已生成的可执行文件下载到实验板中执行。下载可执行文件前提是uboot以及Linux系统的映像文件已下载至硬件设备［5－7］。

④在实验板终端执行命令：＃chmod＋x zhixing-wenjian，修改可执行文件“zhixingwenjian”的权限。

⑤在实验板终端执行命令：＃.／zhixingwenjian，运行可执行程序，会在实验板的Linux系统的根目录下生成Data.txt文件。

⑥生成的Data.txt文件既可以通过网络将数据传输到其他计算机进行分析，也可以通过终端执行＃sz Data.txt命令，将数据传送到PC机指定位置。

⑦将产生的Data.txt文件中的数据借助作图软件或者数据分析软件进行定性定量分析。

4 对数值解进行混沌行为分析

由于混沌现象对初值变化有较强的敏感性，方程中任何状态变量的初值进行稍微变化，都可以观察到其时间序列的变化很大。以x变量为例，实线代表的x［0］＝0时状态变量x的时间序列，虚线代表x［0］＝0.01时状态变量x的时间序列，可以看出状态变量x对初值改变的较强敏感性，如图1所示。

图1 x变量初值改变前后的时间序列

当a＝10，b＝8／3，c＝28时，洛仑兹数学模型所出现的混沌吸引子在各平面上的投影如图2、图3和图4所示。图2是吸引子在y－x平面的投影。图3是吸引子在z－x平面的投影。图4是吸引子在z－y平面的投影。

图2 吸引子在y－x平面投影

图3 吸引子在z－x平面投影

图4 吸引子在z－y平面的投影

5 结束语

本文借助嵌入式系统实验板，通过算法程序实现了混沌加密信号的产生，对嵌入式系统下如何进行混沌微分方程求数值解做了细致的研究，将求得的数值解网络传输到任何一个计算机进行分析。从仿真实验结果看，在嵌入式系统下实现混沌信号的产生是可行的，也为下一步将混沌信号应用到保密通信系统中提供了理论遵循。

［1］冯久超.混沌信号与信息处理［M］.北京：清华大学出版社，2012.

［2］STOJANOVSKI T，KOEAREV L.Chaos-based Drandom Number Generator Partanalysis［J］.IEEE Trans Circuits and Systems，2001，48（3）：281－288.

［3］翟瑞彩，谢伟松.数值分析［M］.天津：天津大学出版社，2000.

［4］郝柏林.从抛物线谈起—混沌动力学引论［M］.上海：上海科技教育出版社，1993.

［5］周立功.ARM微控制器基础与实践［M］.北京：北京航空航天大学出版社，2003.

［6］林晓飞，刘 彬，张 辉.基于ARM嵌入式Linux应用开发与实例教程［M］.北京：清华大学出版社，1997.

［7］孙天泽，袁文菊，张海峰.嵌入式设计及Linux驱动开发指南［M］.北京：北京电子工业出版社，2005.

Solution and Analysis of Chaotic Dynamics Equations Based on Embedded System

LI Liang1，LI Jian-jun1，LI Zhao2，FAN Xiao-hu1
（1．The Second Artillery Engineering University Sergeant College，Qingzhou Shandong 262500，China；2．The Second Artillery Military Representative Office in Shijiazhuang，Shijiazhuang Hebei 050081，China）

Along with the exploration of scientific community on chaotic characteristics，it is found that attaching effective commu-nication signals to the chaotic signal is one of the effective methods to realize confidential data transmission.Even if the encrypted com-munication data is intercepted，it is difficult to be deciphered.The paper performs analysis and solution of a typical chaotic circuit model through simulation and experiment，verifies the correctness of Runge-Kutta algorithm for chaotic circuit，which provides a foundation for further realization of data encryption in embedded systems.

embedded systems；data transmission；chaotic signal

TN911.72

A

1003－3106（2015）11－0030－03

10.3969／j.issn.1003－3106.2015.11.08

李 良，李建军，李 钊，等.嵌入式系统下混沌动力学方程的求解与分析［J］.无线电工程，2015，45（11）：30－32，76.

李 良男，（1982—），硕士。主要研究方向：嵌入式系统开发。

2015-08-15

李建军男，（1978—），博士。主要研究方向：智能信息处理。