几种常见的四阶偏微分去噪模型比较

杨 倩

(电子科技大学 数学学院，成都 611731)

【蓓蕾园地】

几种常见的四阶偏微分去噪模型比较

杨 倩

(电子科技大学 数学学院，成都 611731)

LLT模型、YK模型和PDE模型都能较好地去除噪声并且不会产生阶梯效应，但第三种模型相较于前面两种模型而言效果更明显.经过数值实验来分析验证这三种模型的去噪效果，得出这些模型在去噪的同时都能较好地保护图像细节，但比较多方面的综合因素，认为第三种模型的去噪效果更佳.

图像去噪；LLT模型；YK模型；新的四阶PDE模型

0 引言

图像在获取、传输和储存的过程中，不可避免地会出现图片降质，也就是产生噪声的情况，而这类情况将会给后续的图像处理(比如图像分割、图像理解等)增加一定难度，因此为了解决这些由噪声引起的难题，越来越多的学者研究出各种模型来去除噪声.经典的去噪模型包括二阶的P-M模型，非局部均值去噪(NLM)模型以及本文将要提及的LLT模型等.众所周知，P-M模型[1]在去噪的同时会产生阶梯效应，从而影响视觉效果，而非局部均值去噪模型虽能较好地去噪，但是其算法耗时太长，效率比其他模型更低.相反，四阶偏微分(PDE)去噪模型能很好地恢复平滑区域保护细小纹理，避免产生阶梯效应，算法的耗时量也不会太长，而且从视觉上来说，修复后的图片看上去比二阶模型(P-M 模型等)更加自然.因此，本篇论文主要对四阶偏微分滤波算法(去噪模型)的原理及优缺点进行总结.

1 三种四阶偏微分去噪算法

在图像处理中，基于变分和偏微分的去噪算法起到了举足轻重的作用.这些去噪算法能很好地对图像进行平滑处理，比传统的去噪算法能更好地去除噪声，逼近原始图像，接下来我们将简要介绍三种基于四阶偏微分的去噪算法.

1.1 YK 模型

由于四阶偏微分去噪模型能很好地恢复平滑区域，保护图像的细节特征，使得修复后的图像看上去更加自然，因此，在2000年，You和Kaveh等人利用拉普拉斯算子模值|Δu|描述图像平滑度时提出了YK模型[2]，该模型不仅能够去除噪声，而且能对图像的平滑区域进行修复，弥补了二阶去噪模型产生阶梯效应的不足.YK模型的最小化能量泛函是：

从(1)式中可以得知，当|Δu|取得最小值时，上述的能量泛函才最小.其相应的欧拉—拉格朗日方程式为：

此处的扩散系数g(·)采用Perona和Malik给出的扩散系数g(s)=1/[1+(s/k)2]，k是边缘阈值，且该扩散系数是一个非负单调递减函数.g(s)又被称为边界停止平滑函数，用来控制图像边缘的扩散.该模型的出现使得图像去噪进入了一个新的阶层，YK模型和另外两种四阶模型一样，去噪的同时不会像二阶模型那样产生阶梯效应，但是，它的缺点是会产生斑点.这一缺点也是四阶模型共同存在的一大弱点，为此，在进行四阶PDE去噪的数值实验的同时还得进行中值滤波去噪，这样才能更加逼近原始图像.

1.2LLT模型

高阶PDE模型一般来源于下列这个能量泛函的最小化：

不管是上面提到的YK模型还是下面即将提及的LLT模型[3-4]和新的四阶模型[5]，都是以(3)为基础的，都是在其基础上不断改进得来的.2003年，Lysaker,Lundervold和Tai等人提出了四阶偏微分去噪算法：

这里的λ(>0)是平衡前后两项的权重，Ω是有界开集.为了简化上述的表达式，我们引入了符号|D2u|来表示第一项中的函数式，即得到：

因此(1)式可以表达为：

其相应的欧拉—拉格朗日方程为：

1.3 新的四阶PDE去噪模型[6]

这一模型不同于YK模型和LLT模型为许多学者所知，但是其去噪效果却比前两者更有优势，在后续的文章中将对其进行验证.首先对其能量泛函进行描述：

Ω同前面一样都是有界开集，拉格朗日系数λ>0，用来平衡正则项和保真项.通过最速下降法可将(8)式的欧拉—拉格朗日方程写出：

这一模型能较好地去除噪声，并且其数值实验的运行时间也是较少的，综合看来，上述三种模型中还是这种新四阶PDE模型去噪性更好.

2 数值实验

在这一部分中，我们将把YK模型、LLT模型以及新的四阶PDE模型的数值实验结果呈现出来.在呈现数值实验结果之前，先把衡量去噪图像质量的常用指标(峰值信噪比[7])介绍一下，峰值信噪比的定义如下：

其中：u指的是去噪后的图像，而u0代表的是原图像.

为了对比去噪的各种算法在不同的噪声情况下的性能，我们在原始图像的基础上分别加上噪声方差为σ=15和σ=25的随机噪声，以此得到两组去噪模型的相关数据.另外，当加入的噪声方差为σ=15时，我们得到新的四阶PDE模型迭代次数达到100次时，去噪效果很不错.同理，当噪声方差达到σ=25，新的四阶PDE滤波器迭代次数为500次，表1、表2是三种四阶去噪模型在处理时间和峰值信噪比上的对比.

表1 噪声方差为15的去噪表格

表2 噪声方差为25的去噪表格

从上述两个表格中可以发现，YK模型的运行时间是三个模型中最少的，而LLT模型是最慢的，但是峰值信噪比最大的却是LLT模型，YK模型的PSNR居于最后，相反，NEWMODEL的处理时间与YK模型接近，而峰值信噪比却同NEWMODEL相差无几，综合来看，新的四阶PDE模型不管从处理时间还是去噪效果来看当属最佳.下面是几幅利用三种模型来去除Lenna图形噪声的图像.

(a)原始图像

(b)噪声图像

(c)YK模型

(d)LLT模型

(e)新模型

图1 噪声方差为σ=15的去噪图像

(a)原始图像

(b)噪声图像

(c)YK模型

(d)LLT模型

(e)新模型

图2 噪声方差为σ=25的去噪图像

以上两组图像分别对YK模型、LLT模型以及新的PDE去噪模型作了形象的说明.在噪声方差较小的情况下，这三种滤波器去噪能力相当，但是，当噪声方差逐渐增大时，由图2可知，LLT模型和新的四阶PDE模型比YK模型去噪能力更强，再由表1和表2中的处理时间可知，新的四阶PDE去噪模型是三者中效果最好的.

3 结语

四阶偏微分去噪模型越来越适用于图像的去噪，当前常用的几种去噪模型：YK模型、LLT模型以及一种新的四阶PDE模型，这几种模型在去除噪声的同时，又不会像二阶偏微分模型那样产生阶梯形效应.在这三种四阶偏微分模型中，新的四阶PDE模型从综合方面来看应当是三种模型中最佳的.

[1]Perona,P,Malik,J.Scale-Spaceandedgedetectionusinganisotropicdiffusion[J].IEEETransactiononpatternanalysisandMachineintelligence,1990,12(7)：629-639.

[2]YouYL,KavehM.Fourth-OrderPartialDifferentialEquationforNoiseRemoval[J].IEEETransactiononimageprocessing,2000,9(10):1723-1731.

[3]LysakerM,LundervoldA,TaiX.C.Noiseremovalusingfourth-orderpartialdifferentialequationwithapplicationtomedicalmagneticresonanceimagesinspaceandtime[J].IEEETrans.onImageProcessing,2003,12(12):1579-1590.

[4] 王玲华，杨家红.结合Curvelet和LLT模型的图像去噪模型[J].计算机工程与应用，2010,46(25)：168-171.

[5]KimS,LimH.Fourth-Orderpartialdifferentialequationforeffectiveimagedenoising[C].SeventhMississippiState-UABConferenceonDifferentialEquationandComputationalSimulation,ElectronicJournalofDifferentialEquations,Conf.2009，117：107-121.

[6] 王幸平.基于偏微分的图像去噪研究[D].南京：南京理工大学硕士学位论文,2007.

[7]JinY,JostJ,WangG.AnonlocalVersionoftheOsher-Sol-Vesemodel[J].Math.ImagingVis,2012,44:99-113.

【责任编辑 牛怀岗】

Review on Several Kinds of Fourth-order PDE Denoising Model

YANG Qian

(School of Mathematical Science, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

This paper considers the principle of three denoising models, which are the LLT model, the P-M model and a new fourth-order PDE model. These models can suppress noise and do not produce the staircase effect, and the third model is better than other models. Then one can analyze the effects of three models by numerical experiments, and get a result that these models can not only suppress noise, but also protect image details. However, analyzing these filters' pros and cons, one can find the third model is better to removal noise than other models.

image denoising; LLT model; YK model; new fourth-order PDE model

2015-03-27

杨倩(1990—)，女，四川德阳人，电子科技大学数学学院硕士研究生，主要从事数字图像处理研究.

TP751.1

A

1009-5128(2015)10-0085-05