Ansys软件在驻波振动教学中的应用＊

沈壮志

（陕西师范大学物理学与信息技术学院 陕西 西安 710119）

1 引言

质点或质点系的运动传递着能量和动量.波动则是另一种传递能量和动量的过程，所有波动是物质运动的重要要形式之一［1］.波可分为机械波和电磁波（包括光波）.机械波是质点的机械运动在介质中的传播.如弦线上的波、水面波以及空气或固体中的声波等等.

一般情况下，我们所说的波是指不断前进的波，但在特殊的情况下，还存在着一些“囚禁”在某一空间的波，波只能在这一空间做周期性的振动，其能量也被束缚而不能传递出去，这就是驻波.

音叉振动是最常见一维驻波，对于二维驻波，力学教材只提供两幅膜或板上所形成的克拉尼驻波图［1］，该图是借助于提琴弓在金属板边沿摩擦引起振动形成的.传统的方法是将薄板中心用螺丝固定在一根立柱上，这样各种驻波图案的中心点始终是波节位置，随着计算机技术的发展，二维驻波图形完全可以通过计算机模拟出来，本文采用Ansys（有限元法）［2］对板振动所形成的驻波进行数值模拟，以满足学生对二维驻波振动特性的了解.

2 二维驻波的振动特性

2.1 板振动的数学模型

该模型只考虑薄板，也就是说板的厚度相对于板表面线度较小，这样可认为板沿厚度方向的应力为常数，即板的内应力仅是平面坐标的函数；同时假设板的振动较小，即板内所有质点都进行垂直方向的振动，因此可用中心面的位移来代表板的位移，该位移只是平面坐标与时间的函数.由于板振动方程的推导涉及许多弹性力学知识，而且推导极为繁琐，这里只给出它的振动方程［3］.

其中η（t，x，y）代表板中心面上任何一点在垂直方向的位移，E是板的杨氏模量，板的截面回转半径为为板的厚度是直角坐标的一种算符.方程（1）可以采用分离变量法得出板上各点的振动位移，这里不给出板上各点振动的位移，只通过模拟的方法给出板上所形成的克拉尼驻波图.

2.2 板振动的驻波图

板或膜由于它们的振动发生于二维空间，波节已不在是点而是线.按照德国物理学家克拉尼曾经所做的实验，散在板上一层薄薄的细砂，在板的振动下位于波腹处的细砂由于振动而脱离波腹，而位于波节处则保持不动，最终在板上“画”出一幅独特的二维振动驻波图案.从克拉尼实验结果来看，图形所显示的波节位置也不是线，而是面.这里采用有限元法模拟出方形板的振动波形图.

2.2.1 模拟过程

模拟设置板尺寸为40mm×40mm×3mm，且板的边界条件设为自由边界，当给板施加一个振动频率时，则板上会形成振动强弱不同的图案，具体的模拟过程如下.

（1）指定分析标题并设置分析范畴

1）设置标题等

Utility Menu＞File＞Change Title

Utility Menu＞File＞ Change Jobname

2）选取菜单途径Main Menu＞Preference，单击Structure，单击OK.

（2）定义单元类型

Main Menu＞ Preprocessor＞ Element Type＞ Add／Edit／Delete，出现 Element Types对话框，单击 Add出现 Library of Element Types对话框，选择Solid，再右滚动栏选择Brick 20node 186，然后单击OK，单击Element Types对话框中的Close按钮就完成这项设置了.

（3）指定材料性能

选取菜单途径Main Menu＞Preprocessor＞Material Props＞ Material Models.出现 Define Material Model Behavior对话框，在右侧Structural＞Linear＞Elastic＞Isotropic，指定材料的弹性模量（2.1e11）和泊松系数（0.3），Structural＞Density指定材料的密度（7 800），完成后退出即可.

（4）建立模型

选取菜单途径Main Menu＞Preprocessor＞Modeling＞Create＞Volumes＞Block＞By Dimensions，根据尺寸要求设置（板的尺寸是40mm×40mm×3mm）.

（5）划分网格

选取菜单途径Main Menu＞Preprocessor＞Meshing＞MeshTool，出现MeshTool对话框，点击SmartSize，保留其他选项，单击 Mesh出现 Mesh Volumes对话框，其他保持不变单击Pick All，完成网格划分.

（6）进入求解器并指定分析类型和选项

选取菜单途径 Main Menu＞Solution＞Analysis Type ＞ New Analysis， 将 出 现 New Analysis对话框，选择Modal单击OK.

再选取 Main Menu＞Solution＞ Analysis Type＞Analysis Options，将出现 Modal Analysis对话框，单击OK，出现Subspace Model Analysis对话框，选择激励的频率，其他保持不变，单击OK.

（7）施加边界条件

选取 Main Menu＞Solution＞Define loads＞Apply＞Structural＞Displace－ment，出现ApplyU，ROT on KPS对话框，选择在点、线或面上施加位移约束，单击OK会打开边界约束种类对话框，选择边界设置（本文选择自由边界），单击apply或OK即可.

（8）进行求解计算

选取菜单途径Main Menu＞Solution＞Solve＞Current LS.浏览在／STAT命令对话框中出现的信息，然后使用File＞Close关闭该对话框，单击OK. 在 出 现 Should the SOLV command be executed？时单击Yes，求解过程结束后单击close.

（9）查看振动结果

执行 Main Menu＞General Postproc＞Read results＞first Set，然后执行Main Menu＞General Postproc＞Plot Results＞Deformed Shape，在弹出对话框中选择“Def＋undefe edge”单击OK，模拟结果就会呈现出来.

（10）当需要其他频率激励时，重复上述步骤，只需对步骤（6）进行设置改变激励频率则会得到不同振动图样.

2.2.2 各种不同激励频率的振动图样（图1）

图1

上述图样，显示板在不同频率激励下所呈现出来的精美图形，模拟显示在板上某些区域由于振动能量相差很微小，计算机则以同一颜色暗示这些区域的振动的幅度是一致的.而振动能量的强弱以颜色的深浅表示，红色［如图1（a）中正四边形的边长中点附近处］代表的是板上振动最强的地方，而蓝色［如图1（a）中深色对角线组成的十字叉］则是振动最弱的地方，两者之间则以其他颜色显示.从上述8个图案可知，激励的频率越高，波长越短，在同样大小的板上就会更多的驻波，当然波腹或波节数目也相应增加，图案也就更加复杂精美，尽管复杂但不杂乱无章而是呈现一种规则分布的、和谐的对称图样，这就是克拉尼二维驻波图样，它完全不输于实验所带来的震撼.它代替了在实验条件不足的情况下给学生所展现出的一幅幅生动的图样，当然也可以通过动画的形式呈现每时每刻的振动图样.

3 结论

本文通过有限元软件，模拟了二维方板在激励频率的作用下所呈现二维驻波图样，它代替了在实验条件不足的情况下，同样给学生在视觉上展现出一幅幅生动的精美图样，学生也了解激励频率对振动图样的影响，避免了对复杂的理论公式的理解.

1 漆安慎，杜婵英.力学.北京：高等教育出版社，2005.334，362

2 李黎明.Ansys有限元分析实用教程.北京：清华大学出版社，2005

3 杜功焕，朱哲民，龚秀芬.声学基础，上海：上海科学技术出版社，1981.104