基于统一强度准则的柱孔扩张问题及扩孔孔径分析

赵春风，贾尚华，赵 程

（1.同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海200092；2.同济大学 土木工程学院，上海200092）

圆柱孔扩张问题是一个经典问题.1972年Vesic[1]将其应用到岩土工程之后，国外学者 Yu[2]、Cao等[3]对小孔扩张进行了系统的研究，并且将小孔扩张理论广泛应用于隧道开挖、锚杆支护、井筒沉桩等应力应变问题的分析中，同时也应用到静力触探、旁压等土工原位试验中.国内学者蒋明镜等[4－6]从20世纪90年代开始，从土体软化、剪胀等特性方面系统研究小孔扩张问题.经过多年的研究，目前圆孔扩张理论在国内外学者的共同努力下取得了长足的发展，应用的屈服准则有Mohr－Coulomb、Tresca、修正剑桥模型、SMP（Matsuoka－Nakai）等[1，3，7－9]，初始应力场从各项同性到各项异性[10]，研究土体从不考虑渗流影响到考虑渗流影响、从饱和土体到非饱和土体等[11－13]，并且考虑了土体的大小应变、剪胀、应变软化和结构性等[7，11－14].

综上，国内外学者对柱孔扩张问题的研究考虑了众多的影响因素，得到了许多有重要意义的科研成果.总结这些文献，笔者认为柱孔扩张理论中比较关键的基本问题为：① 塑性区变形对柱孔应力场、位移场的影响；② 初始孔径和扩孔后孔径对扩孔压力的影响.对于第一个问题，已有的文献采用计算塑性区平均应变[1，15]、剪胀理论[11，16－17]、流动法则[18－20]等方法和理论获得柱孔扩张的解析解.其中剪胀理论只适用于砂土，可以考虑砂土的剪胀性，但是土体的剪胀参数不易获得，即使对于同一种土，由于土体的密实程度不同，土体的剪胀特性也是不同的，因此应用有些难度.对于第二个问题，目前的文献资料多数只能给出扩孔后半径、塑性区半径与扩孔压力的关系式，从这些问题中难以获得扩孔压力和初始孔径的关系[3，8－9，18，21－22].然 而 在 实 际 问 题 中，只 有 知 道初始孔径和扩孔后孔径之间的关系才能知道柱孔是扩孔还是缩孔.初始孔径和扩孔后孔径容易获得，从这两个已知条件出发求解柱孔扩张问题较为可行，因此研究初始孔径、扩孔后孔径与扩孔压力之间的关系比较重要.统一强度准则充分考虑了中间主应力效应，该理论系统性强，对于岩土材料适用性强[23]，结合相关联流动法则较容易得出柱孔扩张问题的解析解.

正是基于以上原因，本文使用统一强度屈服准则和相适应的流动准则求解柱孔周围弹性区、塑性区应力、位移的分布规律；并且得出了初始孔径、扩孔后孔径和扩孔压力三者之间的关系式，通过该关系式，只要已知初始孔径和扩孔后孔径就可得出扩孔压力.从而完善了柱孔扩张理论，为分析沉桩、压密注浆、静力触探等发生大变形的土工问题提供一些可供实际工程应用的土体变形和应力分布规律.

1 基本假定、力学模型及解答

无限半空间土体中轴对称的圆孔扩张问题，可视为完全排水条件下的平面应变问题，计算模型参见图1.土体中初始应力各向同性均为p0，初始孔半径为a0，当均匀分布的内压力从p0变为p时，孔半径由a0变为a，随着内压力的不断增加，孔周围土体开始屈服，从原来整体弹性状态转变为同时含有弹性区和塑性区的弹塑性状态，此时塑性区半径为rp，弹性与塑性区交界面位移为urp，对应的径向应力为临塑压力py

图1 柱形扩张力学模型平面示意图Fig.1 Mechanical model for expansion of cylindrical cavity

[9].求解时，规定应力、应变以压为正，初始孔半径为a0简称为初始半径，扩孔后的孔半径a简称为扩孔半径，p称为扩孔压力，pu称为扩孔压力极限值.

柱孔周围土体满足以下应力平衡微分方程：

式中：σr，σφ分别为径向正应力和环向正应力.

弹性区的几何方程和物理方程为

式中：E为弹性模量；ν为泊松比.

平面应变条件下土的统一强度准则为[24]

式中：b为统一强度理论中表征中主应力影响程度的参数，可由试验测定；m为中主应力与大小主应力平均值的比值，在平面应变条件下，土体处于塑性时，通常m＝1；c为土体的黏聚力；φ为内摩擦角，由三轴压缩试验测得.公式（4）具体说明可参阅文献[24].

应力边界条件为

2 弹塑性解答

2.1 弹性区应力、应变及位移

当扩孔压力p增大，使孔壁土体产生屈服后，孔周围土体分为弹性区和塑性区，弹塑性界面处的临塑压力为py.根据弹性理论由公式（1）～（3）和（5），得弹性区的应力、应变和位移场分别为[24]

式中：G为剪切模量

2.2 塑性应力求解

将式（6）带入统一强度准则式（4），则临塑压力py为

塑性区应力同时满足应力平衡微分方程（1）和统一强度屈服准则式（4），将式（4）带入式（1）得

解之得

式中：K为积分常数.

将塑性区应力边界条件式（5）第1式、式（8）带入式（9），可得积分常数K为

则塑性区径向、环向应力为

由式（10）得

由于式（12）中py是一个与初始应力、土体参数相关的常数，因此式（12）可认为有3个未知数：rp，a，p，任知其中两个即可求得第三个.

联立公式（4），（6）和（11）可得柱孔扩张的弹塑性应力解为

2.3 塑性区应变、位移求解

柱孔塑性区土体屈服后，采用相关联流动准则[25]：

将式（4）带入式（14）得

由式（15）第1，2式可得

对式（16）两端进行积分，根据初始屈服时各向塑性应变为零的条件，得

将式（15）中第3式积分得

式中：A为积分常数.

因为土体在弹性和塑性屈服的临界点处各个方向的塑性应变都为0，因此.

在平面应变条件下，有

可见竖向弹性应变也为0，即

根据虎克定律，有

得

将式（11）带入式（22），得

无论弹性问题还是塑性问题都应满足变形协调方程，轴对称荷载作用下的平面问题的的变形协调方程为

塑性区的应变关系为

将式（17），（25）带入式（24）并化简得

式（26）是以εpφ为因变量、r为自变量的一阶线性微分方程，其通解为

塑性区边界r＝rp处塑性应变为0，则

则塑性区的塑性应变为

联立式（23）和式（29）即可得塑性区应变值

在以上的弹塑性应变求解过程中，通过关系式（3）和（30）求得的应变公式为总应变公式，而实际工程中关心的是相对应变.即初始应力产生的应变在施工开始前已经存在，人们关心的是施工后相对于初始状态时的相对应变.因此将式（3）和（30）求得的应变减去一个初始应变即可获得相对应变.

初始应力产生的应变为

将式（30）减去式（31）中对应的量即可得塑性区应变（相对应变）.本文为了求解塑性区位移值，仅列出环向应变公式.

将式（32）带入几何方程（2）得出塑性区位移公式为

2.4 初始半径、扩孔半径和扩孔压力之间的关系

柱孔孔口位移等于初始半径和扩孔半径的差，则

根据公式（10）可得

即

将式（10）带入式（34）得

式（36）为扩孔压力p、初始半径a0和扩孔半径a三者的关系式，同时可见柱孔扩孔压力是初始半径a0和扩孔半径a比值的函数，并且式（36）为p的超越方程，只能采用数值解法求解p.

2.5 求解过程说明及扩孔压力极限值问题

从式（7）中的弹性位移公式分析可知，不论塑性区半径为多大，弹塑性界面处的位移为

计算柱孔扩张问题的弹塑性解，首先应计算柱孔扩张是否进入塑性状态.如果弹塑性界面发生在孔口处，则

如果柱孔扩张只在弹性状态，则

如果柱孔扩张进入弹塑性状态，必然存在

由于rp＞a，则

对比式（39）与式（41），可见满足式（41）后，柱孔进入弹塑性状态，不满足式（41）则为弹性状态.

如柱孔扩张进入弹塑性阶段，已知初始孔径为a0，扩孔孔径为a，即可通过式（36）求出扩孔压力p，将p带入式（35）就可以求出塑性区半径rp，然后将rp及相关的已知参数带入前面的应力、应变和位移场公式就可得出柱孔扩张的解.如果已知a0和p，通过式（36）求得a，将a带入式（35）就可求出rp，进而可求得应力场、位移场等.

在打桩过程中，柱孔扩张是从0孔径开始的，因此式（36）右边为零，对于不为0的初始半径a0，扩孔半径为无穷大时式（36）右边才能为零，则

从式（42）计算出的扩孔压力即为扩孔压力极限值pu.

上述推导过程为黏土中柱孔扩张问题的推导过程.砂土可以认为是黏聚力c＝0的黏土，因此砂土中柱孔扩张问题为黏土中的一个特例.根据屈服准则，对于砂土，σ0＝0.将σ0＝0带入上面推导出的各个公式，即可到到砂土中应力场、应变场、位移场以及极限扩孔压力相关公式等.

通过上述推导和分析可知：只要已知土体参数、初始半径a0、扩孔半径a和扩孔压力p之一，即可求得相关问题的应力场、位移场等.

4 参数分析及取值

从以上弹塑性应力场分析可知，必须满足

即M＞1恒成立，否则塑性区应力随半径的增加逐渐变大，不符合实际情况.

对于本文平面应变条件来说

当

因此只要土体的内摩擦角φ＞0，则柱孔扩张的弹塑性解成立.

夏桂云等[26]利用大量试验结果，说明砂土和上海黏土统一强度理论的参数b可以取为0.50，原状黄土可以采用1.00.b＝0.50的统一强度准则近似为D－P（Drucker－Prager）准则的一个替代者.石修松等[27]的研究表明，堆石料参数b为0.25.隋凤涛等[28]的研究表明，粉土、粉质粘土、黏土统一强度参数b取0～0.50.但是该文的验证是采用计算出地基承载力和试验测试的地基承载力对比得出的，因此波动性较大.

经过上述讨论，稍做保守处理，可以认为散体状态的土体统一强度参数b取0.25较为合适.

俞茂宏等[29]对于平面应变塑性状态下中主应力系数m提出了半经验半理论的推断，认为m→1，因此取m＝1.

对于土体的c，φ可以通过三轴试验测得.

4 算例分析

假设各向同性的均质黏性土受到初始均匀土压力p0的作用，p0＝100 k Pa，土的弹性模量E＝26 MPa，泊松比ν＝0.3，内摩擦角为25°，黏聚力为20 k Pa.土体中存在一孔，初始孔压力也为p0.计算得到柱孔扩张的临塑压力为162.4 k Pa，扩孔压力极限值为1642.5 k Pa.

4.1 应力场、位移场

大部分论文是基于扩孔后的状态求解柱孔问题的，取文献[30]计算值与本文计算值进行对比.本文算例的初始条件为：初始孔半径为1.0 m，扩孔后半径为1.2 m，经过式（35），（36）计算得出扩孔压力为776.6 k Pa，塑性区半径为12.0 m；文献[30]算例的初始条件为：扩孔后半径为1.2 m，扩孔压力为776.6 k Pa，计算得塑性区半径为12.5 m.二者应力场、位移场对比结果见图2、图3.

图2 径向、环形应力沿径向的分布情况Fig.2 Stresses distributions of cylindrical cavity

图3 径向位移沿径向的分布情况Fig.3 Displacement distributions of cylindrical cavity

从图2、图3可以看出，本文求解的应变场、位移场与文献[30]基本一致.依据文献[30]计算求得的孔口初始半径为0.99 m，与本文算例初始半径1.0 m非常接近，因此本文的求解方法可靠性较强.从图2，3可知，应力和径向位移随极坐标半径的增加逐渐趋于定值，最终径向和环向应力趋于土体初始应力p0，径向位移随半径越来越小.依据本文求解的环向应力在极坐标半径约为12 m的时候出现最小值，该最小值大于零，这个极值对应的正好为弹塑性分界面.在弹性区的一侧因柱孔扩孔使环向应力逐渐减小，在界面处环向应力达到最小；对于塑性区的一侧，所有土体都满足屈服准则，环向应力和径向应力成正比，随着径向应力的变化而变化，因此也在弹塑性界面处最小.

4.2 扩孔半径对塑性区半径及扩孔压力的影响

图4、图5给出了初始半径为1.0 m柱孔的扩孔半径对塑性区半径、孔壁径向压力（即扩孔压力p）的影响.

图4、5反映了扩孔半径和塑性区半径、孔压p的一一对应关系.塑性区半径随扩孔半径的增长，起初增速较快，但到达一定值后其增长速率趋于一定值.孔压力随扩孔后孔半径的增长逐渐增长，但是增长速率不断减缓，最终趋于零.

5 结论

（1）基于平面应变条件下土体的统一强度准则求解柱孔扩张问题，得出了柱孔扩张问题的弹塑性性应力场基本公式；使用相关联流动准则求解出柱孔扩张问题的弹塑性应变、位移基本公式；依据孔口边界条件，推导出在孔周土体存在塑性屈服的前提下，扩孔压力p、柱孔初始半径a0和扩孔半径a三者的关联公式，为求解柱孔扩张问题奠定基础，同时得到了塑性区半径rp的关联公式.

（2）针对柱孔扩张问题的复杂性，给出了求解柱孔扩张问题的具体求解过程.

（3）基于统一强度准则参数的不确定性，根据相关文献总结了土体的统一强度理论参数取值.

（4）推导了柱孔扩张问题的全应力场和全位移场，其中环向应力存在一个极小值，该极小值对应的位置正好为塑性区半径rp.简要分析了扩孔半径对塑性区半径rp、扩孔压力的影响.

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