逆事件在概率计算中的应用

孙娜

（集宁师范学院，内蒙古 乌兰察布 012000）

逆事件在概率计算中的应用

孙娜

（集宁师范学院，内蒙古 乌兰察布 012000）

本文通过若干个有代表性的例题介绍了“逆事件”在概率论中的巧用，该方法有助于简化计算，通常能起到“事半功倍”的效果.

逆事件；古典概率；正态分布

近几年来，国内外学者都致力于古典概率问题的研究，对于从正面入手求解概率问题给与了相当好的手段。然而，对于求解古典概率来说，从正面求这两个数相当困难且运算过程繁琐、易错，于是可试着迂回到问题的反面逆向思维，寻求解决方案。

1 “逆事件”及其性质

1.1 逆事件的概念

我们首先要明确一下关于逆事件等的基本概念以及什么情况下可以运用逆事件的性质巧解概率问题。若A交B为不可能事件，A并B为必然事件，那么称A事件与事件B为对立事件，也是互逆事件，这里就称事件A为事件B的逆事件，同理，事件B也称为事件A的逆事件［1］。

1.2 逆事件的性质

求解古典概率问题时，要知道在满足什么样的条件下可以运用逆事件求解此概率问题。充分了解并运用概率的性质，把计算复杂事件的概率简单化，其中较为重要的就是能够灵活运用逆事件的性质。

2 “逆事件”在概率计算中的应用

例1一口袋中装有 1-N 只黑球和1只白球，每次从袋中随机的摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第k次摸球时摸到黑球的概率是多少？

因为袋中只有一只白球，而每次摸出球后总是换入黑球，故为了在第k次摸到白球，则前面的次就一定不能摸到白球。因此等价于下列事件：在前次摸球时都摸出黑球而第k次摸出白球，而此事件的概率是，这样=

我们通过一个生活中的例子来感受一下“逆事件”在生活中的应用：

例2（生日问题）某班级50人，问至少有两人的生日在同一天的概率为多大？

解：假定一年按365天计算，按着上例所叙述的解题方法，可以把365天看作365个“房间”，这时“50人的生日全不相同”就相当于“50人各住一房”，那么问题就可归结为例3推广中的（2）。令人中至少有两人的生日相同｝，则人的生日全不相同｝，

从这个答案中，我们发现“一个班级50人中至少有两人的生日在同一天”这个事件发生的概率并不像人们直觉上想像的那么小，反而很大，竟是0.97，也就是说，当班级的人数达到50个的时侯，竟然有97%的班级会发生这类事件。（注意：这里要要求班级的数目是相当多）［3］。

例3（德·梅尔问题）一颗骰子投四次至少得到一个六点与两颗骰子投24次至少得到双六，这两次事件中哪一件有更多的机会遇到？

解：以A表示一颗骰子投4次至少得到一个六点这一事件，为求 P（A），在这种场合最方便的方法就是利用逆事件的性质，即，先求，这时表示投一颗骰子4次都没有出现六点，因此不难得出从而得到

若以B表示两颗骰子投24次至少的得到一个双六这一事件，则用同样的方法可以求得

下面我们再看一下关于医学方面的例子。

例4 某地区居民某癌症发病率为0.003，现在用一种甲胎蛋白法来检查这种癌症：患病则成阳性，未患病则成阴性。假阳性（即本来没有患病结果却成阳性）和假阴性（即本来患病了结果却成阴性）的概率分别为0.04和0.01，某人检验后结果成阳性，那么他有多大的概率确实患了这一癌症？

解：令A=｛被检验人患得这一癌症｝，B=｛检验结果是阳性｝，则，，由逆概率性质及贝叶斯公式得：

这个例子运用了贝叶斯公式并结合逆事件在概率中的应用解决这个医学方面的问题，为医学的准确发展方面做出了贡献。

3 结论

本文首先就古典概率的求解问题给出了从反面求解、利用逆事件进行求解的方法。它可使我们在多种解决问题的方法中获得最佳方法和途径，将复杂问题简单化，提高效率.

［1］魏宗舒等.概率论与数理统计［M］.北京：高等教育出版社，1983.

［2］陈家鼎等.概率统计讲义［M］.北京：高等教育出版社，1980.

［3］李贤平.概率论基础［M］.北京：高等教育出版社，2010.

Application of inverse event in probability calculation

SUN Na
（Jining Teachers College，Wulanchabu Inner Mongolia 012000）

By analyzing several typical examples，this paper introduces a skillful method of the"adverse events"in probability theory，this method can simplify calculation and usually get twice the result with half the effort.

adverse event；The classical probability；Normal distribution

O211.9

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2015.04.037

1672-7304（2015）04-0077-02

（责任编辑：吴湘银）

孙娜（1981-），女，山西吕梁人，讲师，研究方向：多目标决策，情感计算。