关于反对称矩阵

缪应铁

摘 要：本文给出了反对称矩阵的概念，讨论了它的行列式、特征值、合同标准形及秩等方面的性质和一些重要结果.

关键词： 反对称矩阵 行列式 特征多项式 特征值

1.反对称矩阵的定义

定义1设A是数域F上的n阶矩阵，如果A′=-A.称A为一个n阶反对称矩阵.

2.反对称矩阵的性质

性质2.1反对称矩阵的和、差、数乘矩阵仍为反对称矩阵.

性质2.2奇数阶反对称矩阵的行列式值为0.

性质2.3反对称实矩阵的特征值是零或纯虚数.

性质2.4反对称矩阵的主对角元素全为零.

性质2.5反对称矩阵的秩为偶数.

性质2.6反对称矩阵的行列式为非负实数.

性质2.7设A为反对称矩阵，则A+E可逆（否则，-1为A的特征值，出现矛盾）.

性质2.8设A为反对称矩阵，则A合同于矩阵.

性质2.9反对称矩阵A的特征值为零的充要条件为A=0.

性质2.10设λ是实反对称矩阵A的特征值，则-λ也是A的特征值.

3.重要结论

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1988.

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