以开放题为例，谈学生“提出问题”能力的培养

【摘 要】 由于开放题的开放特性给学生们提供了广阔的自由空间，对开放题的解答，可以结合题目组成要素的非完备性，解题的策略意图是不确定性以及答案的不唯一等特性进行自由开放的选择。每一位学生都可以根据自己的学情进行自由选择合适的要素提出自己的问题，解决“难”题，在自主提问的过程中享受解题的快乐，培养学生问题意识和提高提问能力，激发学习的热情，焕发内在的潜力，把知识真正内化到自身的认知结构中去。

【关 键 词】 数学开放题；非完备性；不确定性；不唯一性

【作者简介】 刘衍利，1991年参加工作，2002年评为小学数学高级教师。曾参加过国家级学法指导实验（主体教育）；市级创新教育实验；区等级制实验（沙区中小学素质評价实验）；区教育局与重庆师院合作的心理健康教育等若干实验项目研究，担任过主研和参研。论文、教案、心得等数十篇文字在全国、市、区获得一、二、三等奖，有二十余篇文章发表在国家、市、区级报刊、成果汇编中。

【基金项目】 本文系全国教育规划“十二五”教育部重点课题“数学开放题对小学生思维发展的具体影响评测”研究成果。项目编号：DHA140327.

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568 （2015） 31-0085-03

数学开放题以其组成要素的非完备性和解题策略的不确定性，以及解题答案的不唯一性，决定着开放题是兼应用、探索于一身的实践探索性题目。由于诸多的不确定因素，在对其实践探索中，教师不可能完全主导学生的思维和进程，这样就给学生提供了非常充分地提出自己新颖独特方法的机会。每位学生都是以知识的主动发现者、探索者和研究者的身份出现的，学生不再是“装”数学，而是主动“搞”数学，自主“研究”数学，生动活泼地参与“做数学”的过程。在这个过程中，数学开放题的各种不确定因素、策略都会给予学生自主选择的自由空间，选择不同，思路不同，问题的产生也会不同。本文从数学开放题各项不确定的特性入手，浅谈教师如何在学生对各种不确定性要素的选择中培养“提出问题”的能力。

一、从组成要素的非完备性入手

数学开放题的组成要素一般来说分为3种：一种是要素欠缺，需要加一加；一种是要素多余，需要减一减；第三种是要素有多余也有欠缺，需要加和减。

美国的一位学者指出，数学就是要从一堆杂乱无章的东西中理出个头绪来。其意思是说，学习数学能对众多的信息进行判断、选择、重组、处理。

1. 加一加：只有条件，没有问题或者是条件和问题之间没有直接关系，这一类的开放题需要加一加。例如：红花有3朵，黄花有9朵， ？可以提出（1）红花和黄花一共有多少朵？（2）红花比黄花少多少朵？（3）黄花比红花多多少朵？（4）黄花是红花的几倍？（5）红花是黄花的几分之几？（6）黄花比红花多几分之几？……等等不同的问题。不同年段、不同层次的学生都可以通过自己的思考提出3个以上的数学问题。这样既满足了学困生的基本需要，又为优等生提供了更高的平台。至于缺少条件的，可以加的就太多了，如红花有3朵， ，黄花有多少朵？可以加上（1）红花比黄花少5朵（2）黄花比红花多8朵（3）黄花是红花的2倍……年级更高的学生可以提出有关分数甚至比例等条件，这里不一一枚举。

2. 减一减：由于提供的要素有多余的，就需要进行选择，减少不必要的条件，或者说选一选也行，选择合适的条件提出相应的问题。以西师版（2013版）二年级下册P55课堂活动为例（如图1）：第二个问题的解决就非常灵活。尽管对不同层次的学生要求不一样，但都可以采用先选择一些必要条件（减少一些条件）再提问解决的方式，如果把图上大人的信息减少，一共有5位儿童，每位儿童票3元，一共要多少元？或两家一共有2个儿童，每位儿童票3元，一共要多少元？或者只看大人的信息、只看一家的信息，都可以提出相关的问题，这一类的问题应该属于最基本的提问层次。对于成绩比较好的学生来说，可以选择更为复杂的相关信息进行分析后提问，如小丽家比小东家多用多少钱？

3. 加和减：这一层次的题目更为灵活，需要运用数学的系统性和逻辑性来增加条件和减少条件。例如：36名同学去阅览室看书。长凳每张坐6人，短凳每张坐4人，可以怎样准备凳子？加条件：只坐长凳（或短凳），需要多少张长凳（或短凳）？这类问题在加条件的同时，也在减条件——去掉短凳或长凳的信息。加条件：有一张长凳，需要多少张短凳？有两张长凳，需要多少张短凳？……反过来也可以。

二、从解题策略的不确定性入手

著名心理学家布鲁纳指出：“探索是数学的生命线”。笔者认为，探索的过程也是问题产生的生命线。

在探索数学开放题的过程中，学生可以从不同的解题策略进行思考，提问解答。例如：在一条笔直的公路上，小明和小刚骑车同时从相距500米的A、B两地出发，小明每分钟行200米，小刚每分钟行300米，多少时间后，两人相距5千米？由于此题没有确定出发的方向，因此就有4种解题策略可供考虑（如图2）

策略1是一种反追击问题。两人本来相距500米，要变成相距5000米，由于是同向行驶，但速度不一样，就需要提出中间问题，1分钟后小明离小刚远了多少米？1分钟远离了100米，也就是速度差，此题得解（5000-500）÷（300-200）=45（分）；策略4虽然也是同向，但考虑情况更复杂，先追上，再超越。策略2和3则是背向行驶，需要考虑相遇问题以及速度和等中间问题。思路不同，策略不同，问题亦不同，解答的过程和结果也不同。

再看一个例子：58个苹果，拿出几个后，可以平均分到8个盘子中？此题的答案明显是不唯一的，学生可以从不同的角度来思考：要把剩余的苹果平均分到8个盘子里，每个盘子分1个，那么只要剩下8个苹果就行，多余的苹果都可以拿出，把要拿出几个的问题变成了要留下几个的问题。如果每个盘子分2个，只要有8×2个苹果就行；如果每个盘子分3个，4个……直到不够分为止；也可以用58÷8=7（个）……2（个）直接先算出平均每个盘子最多放几个，剩余的2个拿出来，然后每次从每个盘子里拿1个出来，直至剩余1个为止；对于后进生来说，系统地分解有困难，只要他能够在每个盘子里平均分1—7个苹果，多余的拿出就值得表扬。

以西师版（2013版）三年级下册P19练习四第8题为例（如图3）：思考的宗旨就是统一时间，路程远的快或者统一路程，时间短的快。以第一类统一时间为例，可以统一成1小时行的路程后进行比较，也就是白马每小时跑多少千米？红马每小时跑多少千米？也可以统一成12小时行的路程后进行比较，也就是白马12小时跑多少千米？红马12小时跑多少千米？统一路程的比较方法对于三年级学生来说太难，但对于学过公倍数的学生来说，就是一种新的方法了。如果提出“每匹马跑一千米用多少时间？”的问题，用4÷88和3÷72分别求出每匹马跑1千米的时间，再进行分数大小比较也是可行的，只是要对不同的年级来进行要求。

三、从解题答案的不唯一性入手

数学开放性问题的教育价值在于强调了学生自主获得解答的过程，在寻求解答的过程中，全体学生都可以独立参与解答过程而不管其属于何种程度和水平，体现了学生在教学活动中的真正主体地位，每位学生都能经历用已有旧知识再创造的过程，能够激发多数学生的好奇心，培养学生对数学的积极态度。在《小学数学开放题举一反三﹒五年级》有一道拓展延伸题（图4），要求设计出面积为18平方厘米的图形，先从长方形开始，学生必须根据面积来求出长方形的长和宽，才能进行下一步的设计。根据长方形的面积公式可以得到：18×1=9×2=6×3这三类。但数数格子，最长只有17格，无法完成第一种18×1的长方形（当然，再加一列也是可以考虑的方法）；第二种和第三种应该不难，分别可以画出横和竖两类长方形；对于五年级学生来说，如果设计出4.5×4的长方形也不算太难。至于平行四边形、三角形和梯形的考虑方式和长方形类似，但情况更为复杂化。

在算盘中，请你用一颗上珠和一颗下珠，表示出万以内的数。算盘对于孩子来说比较陌生，档位也不是太清楚，标注数位是帮助孩子认识的，每一粒珠代表的数是学过的，但容易忘记或混淆的是一颗上珠代表的是“5”，不是“1”。题目有两个要求，一个是“用一颗上珠和一颗下珠”，另一个是“表示出万以内的数”，这两个要求并不难理解，但要让学生明确“万以内的数”是不包括“万”的，所以，在“万”那一档是不能拨珠的。学生明确了范围，先让学生任意拨珠，检查是否符合要求，相信每位学生都会达到要求。接下来，提高要求：上珠只能在个位，有多少种不同的拨法？下珠只能在百位，有多少种不同的拨法？等等不同的要求，學生会提出问题：另一颗珠子可以在哪些档位？这一类开放题，训练了学生思维能力，又帮助学生熟悉了算盘的拨珠以及表示的数。

数学开放题的教学策略是通过开放题各个方面的要素呈现的多样性、复杂性和层次性，提供给学生非常丰富的问题情境，是培养学生问题意识和提高提问能力最好的方式。经过长期有效的训练后，引导学生运用已有知识打开思路，教会学生自主思索，培养学生的数学素养，自主生成强烈的发现问题的意识和提出问题的能力，在解决问题的过程中把知识真正内化到自身的认知结构中去。

（策划组稿：杨传冈 编辑：胡 璐）