基于APOS理论下数学分析课程中概念教学的探讨

基于APOS理论下数学分析课程中概念教学的探讨

文/曾云辉王艳群肖娟

摘要：本文通过分析APOS理论应用于数学分析课程中概念教学的可行性、基本模式以及注意事项，阐述了如何应用APOS理论提高数学分析课程中概念教学的效率。

关键词：数学概念；APOS理论；教学设计

作者简介：曾云辉(1978—)，男，湖南衡阳人，讲师。

中图分类号:G633.6

文献标志码：A

文章编号：2095-9214(2015)09-0088-02

基金项目：2014年衡阳师范学院教学研究项目资助(项目编号：JYKT201403)。

引言

数学概念是数学逻辑的起点，是数学思维的基础，也是解决数学问题的前提，它在数学分析的教学和学习中占有重要的地位。只有正确理解数学概念，学生才能更好的掌握数学分析这一门学科。然而学生普遍对数学分析有畏难情绪，数学分析中的概念又比较抽象，在数学分析中又是难中之难。那么如何才能加强学生对数学分析中概念的理解与学习成为摆在教师面前的迫切义务，本文将讨论如何应用APOS理论来提高数学分析中概念的教学效率,应用APOS理论指导数学分析中的概念教学，帮助学生更好的学习掌握数学概念，也让教师在备课和上课中有一些依据去把握课堂，在一定程度上提高了数学分析课堂的效率。

1.APOS理论应用于数学分析课程中概念教学的可行性

根据数学概念的具体性和抽象性等特点，在学习的过程中，如果把抽象的概念转变为现实，也就容易被学生掌握，结合APOS理论，操作阶段就相当于现实客观的具体化再现，应用抽象性概念，使它具体化，就可以理解为是理论到实际的过程，使概念具体化，而过程阶段与抽象性思维类似，图式阶段便是具体与抽象的灵活转换阶段。

根据数学概念的定义方式，数学概念具有内涵和外延的双重性，概念的内涵是指本质属性，我们把一个所反映的所有对象的共同本质属性的总和，叫做这个概念的内涵。我们概念所适合的全部范围，叫做概念的外延。APOS理论就是把定量的问题作用于学生，让其自己进行思维操作，抽象思考出概念的内涵，主动的经历概念形成的过程，掌握概念的本质。

根据数学概念的二重性，数学概念可以分为过程和对象两个不同的方面。过程就是具备了一定的可操作性的公式、原理、法则等；而对象则是数学定义的结构关系。大部分的概念即有过程和操作的表现，又有对象和结构的形式，这就是概念的二重性。数学思维的认知发展不是人们随意编排出来的，而是具有从过程到对象的先后顺序；APOS理论具有从操作阶段到图式阶段的顺序过程，正是符合学生的认识发展规律的；因此，APOS理论应用于数学分析中的概念教学是可行的。

2.APOS理论应用于数学分析课程中概念教学的模式

教学模式是指围绕着数学教学活动的某一主题，在一定的教学思想指导下，形成稳定化和系统化的相对稳定的教学模型。应用APOS理论于数学分析课程中概念教学可以分为以下几个阶段：

(1)在“活动”阶段，教师先要确定好教学内容和目标，学生已有的知识结构，再以感性材料作为基础去设计活动，材料要注重典型性、适度性和有效性。这一阶段的目的是启动学生的思考，如果所提供的感性材料数量太少又不典型，会直接的影响下一阶段对概念本身特征的把握和提炼。但是如果材料使用过度，那不但浪费了时间，也会使学生产生乏味的感觉。所以，在设计“活动”时，我们要充分发挥学生参与操作的积极性，找准知识的“生长点”。

(2)在“过程”阶段，需要教师运用探索性和渐进性的问题去启发、诱导学生对“活动”阶段进行主动地思考。“活动”只为学生提供了思维的土壤，问题才能引导思维的深入。通常，教师可以提问学生“你想到了什么？”、“你是如何得到这一结论的”、“你为什么会有这样的想法”等。要让学生自己思考、自己发现问题、自己寻求解决办法。有时候“过程”的抽象概括很难，这就需要老师有针对性的引导；用由浅入深的问题，让学生不断调整思考的方向，对感觉进行分析、加工和提炼，形成“对象”的升华，“图式”的建构。

(3)在“对象”阶段，学生只是初步掌握了概念的形式，对它的本质含义还不是很清楚。这时，就需要用更多的“活动”和“过程”帮助学生从“对象”上升到“图式”阶段。这个阶段可以充分发挥传统教学优势，用例题作为“活动”，把概念的本质和非本质区分开来。同时用开放的实际情景，让学生自己提出反面论证，构建概念知识结构图，多方面丰富学生对“对象”的理解，帮助学生上升认识层次，让学生学习后进行自我反思，达到在反思中建构新“图式”。

(4)刚开始个体可能从局限于某个特殊公式来思考某个概念，跟随个体思维的发展，学生便会对所学对象和已有图式进一步加工，然后逐渐形成更加复杂的“新图式”。因此，在APOS理论的指导下，不同概念的建构更多的是螺旋上升的而不是线性的。

3.APOS理论应用于数学分析课程中概念教学需要注意的问题

数据库包含两部分，空间数据库和属性数据库。考虑数据存储规模以及软件系统性质，数据库采用微软公司的SQL Server2008。属性数据库从机井信息，配水情况信息，实时监控情况，历史记录情况等多个方面综合考虑进行搭建。

(1)APOS理论的四个阶段是连续的过程

APOS理论是学生理解数学概念的心理建构过程，它的四个操作阶段是概念在学生脑海中建立的必经之路，所以，他们是相对连续的过程。如果忽略了其中某个阶段，比如，忽略“P”阶段，直接从“A”阶段跳到“O”阶段,或者跨越“O”阶段直接跳到最后的“S”阶段，这都是不现实的。因为概念在学生头脑的构建过程中，任何一个阶段都是必不可少的，如果缺少了其中某一个阶段，那么建立起来的数学概念根基就不会牢固，学生在以后看问题会缺乏抽象性，难以提升知识或熟练运用概念。

(2)切忌机械照搬APOS理论的四个阶段

在运用过程中，需要注意APOS四个阶段的连续性，但是它的顺序并不是绝对的，学生在进行某些复杂的数学概念建构时，有必要进行某些阶段的循环交替，特别是四阶段的中间两个阶段。

一个数学概念由“过程”到“对象”的建立，有时候非常困难，这就需要经过反复多次的循序渐进，采用螺旋上升的教学模式，直到学生能真正理解概念。决不能一蹴而就，忽略概念在学生头脑中的生成过程。在应用过程中，应该选取生动、新颖的活动，例题的设计应该层次分明。因此教师在课堂上不能只按照四个阶段严格进行，而应该循环交替的进行教学。

(3)过分强调活动操作

概念的形成，需要联系实际，寻找它生存的现实土壤，需要利用活动让学生感知问题，积极思考，从现实情境中去发散数学思维，但是这并不意味着数学的

目前，在以学生为本的教学理念指导下，大多数教师都注意到了要相信学生，发展学生，积极引导学生自主发现问题，理解数学知识。反而忽略了教师的主导性，忘记教师本身应该充当学习的组织者合作者的角色，一堂课下来，活动多，学生积极参与的机会多，但却没有对数学知识结论进行总体概括。为了让学生深刻理解概念，需要教师不但要重视教学知识过程的引导，还要注重对数学结论的整体梳理。要求教师帮助学生理解数学概念需要把握的要点和一节课的整体知识结构。

(作者单位：衡阳师范学院数学与统计学院)

参考文献:

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唐艳.基于APOS理论的数学概念教学设计.上海中学数学,2005,(12):22-24.

邵东涵.基于APOS理论的“实数”概念的教学研究.华中师范大学硕士论文,2012.