反问题

从已知信息推断未知量就是反问题在实际中的应用，本书详尽地讨论了基于模型的反问题的数学理论和数值计算方法。作者集中讨论了线性反问题和非线性反问题的非光滑Tikhonov正则化方法，对于正则化问题的求解给出了非光滑最优化方法、直接反演方法和贝叶斯推断的不确定性量化方法。本书还给出了许多新型反演计算方法如价值函数计算方法、增广Tikhonov正则化方法、多参数Tikhonov正则化方法、半光滑Newton方法、直接抽样方法、不确定量化方法和贝叶斯推断逼近方法。

全书共分7章：1.引言，主要介绍了基于模型的反问题的数学理论与求解方法的现状，并就本书各章讲述的主要内容作了概述；2.反问题中的模型，主要内容有引言、椭圆型反问题、Cauchy问题、反源问题、反散射问题、反谱问题、X断层摄影术、计算机断层（CT）、发射断层（ET）、电阻抗断层（EIT）、光学断层（OT）和光声断层（PT）；3.线性问题的Tikhonov理论，主要内容有适定性、价值函数计算、基本估计、后验参数选择规则、增广Tikhonov正则化和多参数Tikhonov正则化；4.非线性反问题的Tikhonov理论，主要内容有适定性、经典收敛率分析、新型收敛率分析、参数辨识问题、Banach空间中的收敛率分析和条件稳定性；5.非光滑最优化条件，主要内容有最优点的存在性与最优化必要条件、非光滑最优化算法、增广Lagrange方法、GaussNewton方法、半光滑Newton方法、 稀疏最优化、原始-对偶作用集方法、非光滑非凸最优化、双共轭函数、松弛和半光滑Newton方法；6.直接反演方法，主要内容有反演散射方法、MUSIC算法、线性抽样方法、直接抽样方法、点源辨识、数值连续唯一性和Gel'fandLevitanMarchenko变换；7.贝叶斯推断，主要内容有贝叶斯推断的基本原理、模型选择、Markov链、Monte Carlo模拟、MCMC算法、收敛性分析、加速MCMC算法、逼近推断、KullbackLeibler发散和逼近推断算法。最后给出的是三个附录，附录A奇异值分解；附录B 噪声模型；附录C 指数族。

本书讨论了基于模型的反问题求解的数学理论和计算方法，给出了许多反问题求解的新方法。该书适合从事反问题、计算数学、工程技术及相关领域研究的研究生和科研人员阅读和参考。

朱永贵，博士，教授

（中国传媒大学理学院）