小型异步电机模态计算与试验分析

谢 颖 王 严 吕 森 葛红岩 刘海松

（哈尔滨理工大学电气与电子工程学院 哈尔滨 150080）

0 引言

小型异步电机应用于多种工作场合，其振动和噪声问题一直是研究的热点。模态分析是电机振动和噪声研究中的重要组成部分，国内外学者做了很多研究工作。文献[1-4]针对开关磁阻电机的模态做了详尽研究；文献[5]利用有限元法计算了超声波电机的模态，并用阻抗-频率特征仪实际测量了共振频率；文献[6]通过拾取电机在空载时的振动信号判断了电机的固有频率；文献[7]对结构不同的叠片做了试验研究，表明定子叠片结构从简单到复杂其固有频率会降低。文献[8]用有限元法计算了不同槽极配合时永磁同步电机的模态问题，得到的结论是定子轭厚度增加时模态频率增大。

由于散下线绕组的质量、刚度以及与铁心的连接情况都难以确定，因此无论是解析计算还是数值计算都很难准确地考虑绕组对定子固有频率的影响，这样电机模态研究的重点和难点大多集中在定子绕组上。一些文献[6,9-12]研究了异步电机的模态问题，但其对定子绕组的研究大都基于仿真计算，而非通过对实际带有不同绕组的定子模型进行模态试验来研究。

本文以一台1.1kW 小型异步电机为样机，通过模态试验展开绕组对定子固有频率影响的研究。将定子二阶模态作为了试验和计算对象，一方面是由于试验系统的频带宽度限制，令一方面是由于样机的二阶固有频率已经很高，电磁力波的频率很难达到定子三阶及以上的固有频率。为了更加准确地获得定子的径向二阶固有频率，本文利用加速度频响函数的幅值和相位对其进行了判定，并详细分析了绕组对定子模态的影响。用有限元法计算了不带绕组的定子，带有等效绕组的定子以及整机的模态，最后基于试验和计算的结果讨论了转子、端盖及机壳对定子固有频率的作用。

1 模态试验

1.1 试验系统与试验方法

模态试验系统主要由三部分组成:激励部分，响应测量部分，数据采集和分析处理部分。试验采用单点激振多点拾振的锤击法，冲击锤锤头使用了频带较宽的钢材料头，锤头上安装有力传感器用来测量激励信号，响应信号则由安装在被测样机上的三向加速度传感器测量，由信号采集分析仪采集并存储测量到的数据，最后由模态参数识别软件对采集的数据进行处理。为减小泄露和噪声带来的误差，分别对激励信号和响应信号施加了相应的窗函数，同时在一次测试中采用多次敲击求平均的方法以减小噪声干扰。

试验的定子模型分别为:①定子铁心；②定子铁心+未浸漆绕组；③定子铁心+去掉端部的绕组；④定子铁心+浸漆绕组，如图1 所示。为了保证试验结果具有对比性，本试验所使用的定子模型均为同一个定子。整机试验模型包括:①整机；②整机（去掉转子）；③整机（去掉转子和端盖），整机中的定子同为图1 中的定子。

图1 待测定子和试验系统Fig.1 Test stator and test table

定子模态试验时，将两个三向加速度传感器通过安装磁座对称地固定在定子外圆上；整机模态试验时则将两个传感器水平固定在电机机壳的上表面。传感器的安装位置及激振锤的锤击位置和方向如图2 所示。

图2 传感器安装位置和锤击方向Fig.2 The installation site of sensors and the direction of hammer

1.2 定子铁心径向二阶固有频率的判定方法

众所周知，电磁振动和噪声是由气隙中的径向电磁力波作用在定子上所激发，因此对定子模态的研究主要考虑轴向阶数为零的径向模态。为了更好的判定试验所得到的定子固有频率是否为轴向阶数为零的径向固有频率，本文通过模态试验所得到的加速度频响函数的幅值和相位对其进行了验证。

从图3 中可以看出，对于定子径向二阶模态，在定子外圆上任意对称两点的形变大小一致。定子外径上A-C-E-G-A 正好经历了两个正弦周期。图2中两个传感器安装在定子外圆上对称的位置上，从传感器1 到传感器2 的振动曲线一定经历了一个正弦周期。假设两个传感器的位置为图4 中X，Y 的位置，那么对于定子二阶模态，两个测试点处的位移和相位一定相同。由于本实验使用的是加速度传感器，得到的是加速度频率响应函数，无法直接利用振动的位移和相位对定子的径向二阶固有频率进行判定。但加速度频响函数的幅值和相位与位移频响函数的幅值和相位具有一定的关系，下面进一步说明这种判定方法的依据。

图3 定子铁心的二阶模态振型Fig.3 Second order mode of vibration of stator core

图4 定子铁心二阶模态振动位移曲线Fig.4 Curve of the vibration displacement of second order modal of stator

电机实际振动时，由于阻尼的作用，使得各点的振动除了振幅不同外，振动相位也各异，这就使得系统的特征频率及特征向量成为复数。

自由振动的运动微分方程为

式中 x——振动位移；

m——振动物体质量；

c——阻尼系数；

k——弹簧系数[13]。

通过拉普拉斯变换和反变换得到系统的频率响应函数为

式（2）是以位移为对象推导出的频率响应函数。现记Hd(ω)、Hv(ω)、Ha(ω) 分别为位移、速度和加速度频响函数，三者之间的关系为

将Hd(ω) 表示成实部和虚部的形式为

可得Hd(ω) 的模为

从而得到Ha(ω) 的模为

通过以上分析知道，加速度频响函数的幅值是位移频响函数幅值的ω2倍，而二者的相位相差π。即加速度频响函数的幅值、相位与位移频响函数的幅值、相位皆为线性关系，也就是说如果定子外圆上两个测试点处振动位移的幅值和相位一样的话，其振动加速度的幅值和相位也将一致，因此可以利用加速度频响函数幅值和相位进行判定。

1.3 试验数据处理及分析

由于锤击法由人工操作，敲击力度和锤击方向具有随机性，为了避免试验过程中可能出现的错误并减小误差，本试验对待测模型进行了多次测量。图5 中给出了两个三向加速度传感器在十次测试过程中的Z 方向频率响应曲线，两个传感器频响曲线共同的波峰为试验模型的固有频率。可以看出不带绕组定子模型的频响曲线中出现了两个相距较近的波峰，而其他带有绕组的定子模型只出现了一个波峰。

图5 定子模态试验加速度频率响应曲线Fig.5 Acceleration frequency-response curves of stator

对于整机模态试验，图6 中可以看出其频响曲线中出现了两个相距较远的波峰。下面将对试验得到的加速度频响函数做进一步的处理并加以分析。

图6 整机模态试验加速度频率响应曲线Fig.6 Acceleration frequency-response curves of whole motor

利用模态识别软件对试验得到的加速度频率响应函数进行处理，可以得到定子测试点处的振动加速度幅值和相位。测试中使用的是三向加速度传感器，根据图2 中两个加速度传感器的布置，Z 方向即为径向。以不带绕组定子的试验结果为例，本文提取了在一次模态试验中两个传感器在X、Y、Z 三个方向上的加速度幅值以及Z 方向的加速度相位，如图7 所示。从中可以看出，在2 777Hz 和2 840Hz左右处Z 方向（即径向）的加速度幅值较其他频率处的幅值大很多，同时Z 方向的幅值比X、Y 方向的幅值也大很多，说明此频率处定子发生的主要是径向变形。并且此频率处两个加速度频响函数在Z方向上的幅值和相位都很接近，由此可以判定这两个频率为定子铁心的径向二阶固有频率。图8 给出了不带绕组的定子在十次模态试验中得到的径向二阶固有频率值，经过十次测试结果取平均得到不带绕组定子的径向二阶固有频率分别为2 777.07Hz 和2 840.27Hz。

图7 定子铁心两个测试点处加速度频响函数的幅频图和相频图Fig.7 Amplitude frequency figure and phase frequency figure of acceleration frequency response functions at the two test points of stator

图8 不带绕组定子的二阶固有频率十次测试结果Fig.8 Second order natural frequency of the stator without windings in ten times modal tests

同样运用加速度频响函数幅值和相位的判定方法，经过整理得出了另外三种定子模型的模态试验结果。图9 给出了十次模态试验所得到的定子二阶固有频率值和对应此频率的Z 方向（即径向）加速度频响函数相位。从结果中可以看出，十次模态试验所得到的固有频率值都很接近，说明试验结果可靠。并且在各次测试中两个传感器的加速度频响函数在Z 方向上的相位都很接近，可以判断所得的频率为定子的径向二阶固有频率。

图9 定子二阶固有频率十次模态试验结果Fig.9 Ten times modal tests result of the stator second order natural frequency

经过10 次测试结果取平均，得到了带有未浸漆绕组的定子，去掉端部绕组的定子，带有浸漆绕组定子的径向二阶固有频率依次为 2 861.44Hz，2 708.61Hz，2 702.61Hz。与不带绕组定子的试验结果比较可知，未浸漆的绕组对定子二阶固有频率影响较小，这可以解释为绕组与定子铁心并未紧密连接在一起；绕组浸漆后定子的二阶固有频率有明显下降，并且低于不带绕组定子的二阶固有频率，说明浸漆绕组的质量对定子模态的作用大于刚度；去掉端部绕组前后定子的二阶固有频率变化很小。

对三种整机模型的试验结果进行处理，并将十次测试结果取平均后得到了三种整机模型的定子二阶固有频率，如图10 所示。整机的模态试验得到了两个在数值上相差较大的定子二阶固有频率。去掉转子后定子二阶固有频率变化很小；而同时去掉端盖和转子后，其二阶固有频率有较明显下降。

图10 整机模态试验结果Fig.10 Modal test results of the whole motor

2 模态数值计算

2.1 定子模态计算

本文分别对不带绕组的定子和去掉端部绕组的定子模型进行了计算。对于模态的数值计算，材料的弹性模量、泊松比和密度对模态计算的结果有着很大的影响，因此获得准确的材料特性至关重要。通过实际称重并计算得到了铁心的实际密度为7 260kg/m3左右。文献[14]针对定子铁心的弹性模量进行了测量，本文使用了其测量结果 E=1.521×1011Pa，泊松比取0.3。经计算得到定子二阶固有频率为2 753.6Hz 和2 753.9Hz，与试验结果误差较小。图11为样机定子的计算模型。

图11 定子三维有限元计算模型Fig.11 3D finite element calculation model of stator

对于去掉端部绕组定子的模态计算，本文使用了图12 所示的带有等效绕组的定子模型。为了确定等效绕组的密度，将不带端部绕组定子中的剩余绕组（定子槽中的铜）取出，并称其质量为0.44kg，将其平均分布在图12 中的18 个等效绕组中，这里将等效绕组与铁心内壁视为紧密接触。等效绕组的等效密度为ρ=3 869.8kg/m3，等效弹性模量取为E=1.2×109Pa，泊松比取0.3。计算出的定子二阶固有频率为2 670.3Hz，与试验值2 708.6Hz 误差较小。

图12 定子和等效绕组的三维模型Fig.12 3D model of stator and equivalent windings

2.2 整机模态计算

对于整机模态的数值计算，本文将重点放在了转子及端盖对其固有频率的影响上。样机的三维全域实体模型和有限元计算模型分别如图13 和图14所示。

图13 样机三维实体模型Fig.13 3D solid model of prototype

图14 样机三维有限元计算模型Fig.14 3D FEM calculation model of prototype

对于有限元计算模型的建立，本文使用了六面体单元，采用了扫率剖分。由于电机结构较复杂且不规整，本文先将电机分割成了适合于扫率剖分的几何体，剖分后再使用MPC“绑定”技术将被分割的几何体连接成一个整体，这样既大大减小了单元数量，缩短了计算时间，同时可以保证分割处单元位移自由度的连续性。由于机壳和定子铁心间为过盈配合，二者在径向方向上紧密接触，所以本文也将定子铁心和机壳“绑定”在了一起，这样可以很好的计及机壳对定子固有频率的影响。转子仅与轴承相接触，为了准确计入转子对计算结果的影响，本文使用了刚性梁单元模拟转轴和轴承之间的约束作用。该单元具有两个节点，连接于转轴中心节点和轴承内表面节点，图15 所示为该约束单元。

图15 轴承和转轴连接单元Fig.15 Link element between bearing and spindle

整机计算时的定子同为图12 所示的去掉端部绕组的定子模型，电机各部件的材料属性在表1 中给出。模态试验时没有对电机地脚固定，在有限元计算时也未对电机地脚施加约束条件。经过计算，得到了5 个定子二阶固有频率，其中前3 个与后2个固有频率在数值上相差较大，而模态试验只得到2 个数值相差较大的定子二阶固有频率，也就是说用有限元法可以得到更加完整的模态频率和振型。在整机的模态试验和计算时都出现了数值相差较大的定子二阶固有频率，这是机壳所引起的现象。机壳不仅增大了定子固有频率，而且增加了其固有频率的个数。

表1 电机各零部件的材料特性Tab.1 Material characteristics of every part of the motor

图16为5 个定子二阶固有频率下定子和整机的模态振型，可以看出此时转子几乎没有变形。图17为转子固有频率下转子和整机模态振型，此时机壳几乎没有变形，而转子产生了较大的变形，这也进一步说明了转子对整机及定子的模态影响甚小。

图16 定子和整机模态振型Fig.16 Mode shapes of stator and whole motor

图17 转子和整机模态振型Fig.17 Mode shapes of rotor and whole motor

同时计算了将电机转子去掉及将转子和端盖都去掉的电机模型，计算出的定子二阶固有频率列于表2。从中可以看出，将电机转子部分去掉后，定子也同样出现了5 个径向二阶固有频率，并且其数值较转子去掉前变化很小。将端盖去掉后则出现了4 个二阶固有频率，其数值降低明显。各个模型计算与试验结果分别进行了比较，二者误差较小。

表2 定子二阶模态计算与试验结果比较Tab.2 Comparison of calculation results with test results of the second modal of stator

3 结论

（1）定子模态试验得到两个径向二阶固有频率，即所谓的齿对称和齿反对称固有频率，带有绕组的定子模态试验只得到一个径向二阶固有频率。带有未浸漆绕组定子的固有频率稍高于不带绕组的定子；绕组浸漆后定子二阶固有频率较浸漆前有较明显下降；端部绕组对定子固有频率影响很小。

（2）对于整机的模态计算和试验，出现多个数值相差较大的二阶固有频率。机壳增大定子固有频率的同时也增加了固有频率的个数；去掉端盖后定子二阶固有频率有所下降，同时定子二阶固有频率的个数减少；转子对整机和定子模态的影响很小。

（3）利用加速度频响函数的幅值和相位可以准确判定定子径向二阶固有频率。模态有限元计算时建立完整的电机模型是有必要的，这样可以得到更加完整的模态频率和模态振型。

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