空空导弹动态攻击区的高精度快速算法研究

惠耀洛，南 英，陈哨东，马晓华

（1.南京航空航天大学 航天学院，南京210016；2.国家光电重点实验室，河南 洛阳471009）

空空导弹攻击区的高精确快速计算对导弹武器系统的研制和在实战中的应用至关重要。目前关于空空导弹攻击区的计算方法的研究主要有快速模拟法、查表插值法和各种逼近拟合法［1］。快速模拟法［2］的主要目的是在一定程度上简化积分方法以提高计算速度，但一般简化的模型明显不能满足实战环境的需求。查表插值法［3］需要机载计算机提前装载大量的导弹攻击区计算数据，在实战时根据载机和目标的飞行参数进行一元或多元插值，然而机载计算机不可能装载有任意飞行状态及环境影响条件下的攻击区数据，并且插值法本身也存在计算速度和精度的问题。在逼近拟合方法研究方面，主要有最小二乘拟合［4］、分段线性拟合［5］、BP神经网络拟合方法［6］等，采用逼近拟合方法存在拟合多项式与拟合变量之间关系复杂、拟合系数的确定需要大量攻击区计算数据等问题，且拟合出的多项式不能满足拟合变量在大范围内波动的情况。

由于实战中随机风场环境对空空导弹的攻击区有重要影响［7－8］，并且载机主动的飞行状态可以对空空导弹的攻击区进行有利机动变化［9］，本文基于此，提出了一种空空导弹攻击区计算的新方法——平移数值算法。这种方法能够在考虑战场任意随机风场环境和目标机动类型的条件下，实时在线地计算出空空导弹的动态攻击区（Dynamic Attack Zone，DAZ）。

1 问题的数学描述

式中：Rmax与Rmin分别为最大攻击区的外边界点与内边界点，Mmsl为导弹总体性能模型（包括各子系统，如发动机、气动特性、制导与控制律等）；X（t）＝（vγψxhzαβσωxωyωzΓφφ）为导弹飞行状态，其中：v、γ、ψ分别为导弹的速度、轨迹倾角和轨迹偏角，x、h、z分别为导弹在经度、高度和纬度方向上的距离，α、β、σ分别为导弹迎角、侧滑角和滚转角，ωx、ωy、ωz分别为绕弹体x、y、z三轴的转动角速度，Γ、φ、φ分别为与ωx、ωy、ωz相对应的欧拉角；Xt＝（vxtvytvztxthtzt），vxt、vyt、vzt为导弹发射时刻目标的速度在地面坐标系各轴上的分量，xt、ht、zt为导弹发射时刻目标的位置坐标；Mtgt为目标总体性能模型；Stgt为目标的攻防对策（机动对策、抛射的诱饵等）；ξ为随机干扰源（如风场等）。

针对任意飞行状态下的目标，计算空空导弹相对该目标的攻击区Σ：

2 数学模型

数学模型包括导弹及导弹之外（如目标、随机风场等）的模型如下。

2.1 导弹数学模型

导弹运动方程［10］：

式中：控制变量U＝（δxδyδz），即导弹气动舵偏角；导弹的系统参数Pm＝（CxCyCzFpmSL），Cx、Cy、Cz分别为导弹的阻力系数、升力系数和侧力系数，Fp为发动机的推力，m为导弹的质量，为导弹的质量消耗率，S为导弹的特征面积，L为导弹的特征长度；t为导弹与目标的飞行时间。

2.2 导弹制导律模型

空空导弹的制导律选用三维空间的扩展比例导引法，在地面坐标系中导弹制导指令加速度（ay，az）可表示为

式中：N、M为比例系数为导弹与目标之间距离的变化率；分别为导弹导引头转动角速度在地面坐标系y轴和z轴上的分量；aty、atz分别为目标加速度在地面坐标系y轴和z轴上的分量，由导引头转动信息滤波获得。

2.3 目标运动方程

目标模型包括目标本身及其抛射的诱饵模型：

式中：at为目标加速 度；Stgt、as，t分别为由目 标 抛 射的诱饵的飞行状态与加速度。

2.4 随机风场环境模型

在导弹飞行范围Ω内的随机风场风速与加速度由载机上的探测器提供：

式中：vwx，vwy，vwz分别为随机风场的速度在地面坐标系三轴方向上的分量；awx，awy，awz分别为随机风场的分切变在地面坐标系三轴方向上的分量。本文采用的风场模型为标准风场模型［11－12］。

3 空空导弹攻击区的计算方法

本文首先采用改进的进退法计算空空导弹在无风场干扰、无目标机动条件下的标准三维攻击区，该算法计算精确度高，但不能满足实时在线计算的要求。然后在计算得到的标准攻击区的基础上采用平移数值算法计算空空导弹在有随机风场干扰、存在目标机动条件下的三维动态攻击区，平移数值算法能够满足实时在线计算的要求，可以在实战环境中快速准确地计算出空空导弹的动态可攻击区。

3.1 无干扰条件下空空导弹攻击区的精确数值计算方法

本文采用改进的进退法计算无干扰条件下空空导弹的三维攻击区边界值。在一维搜索中，进退法具有不易进入死循环，搜索精度高等优点。将其应用于解算空空导弹的三维攻击区，可以明显提高解算的准确度。进退法的基本思想是从某一点出发，按一定的步长，确定函数值呈“高－低－高”的三点。如果一个方向不成功，就退回来，再沿相反的方向寻找。由于攻击区边界点搜索计算的特殊性，只能以导弹命中和脱靶2种情况来确定下一步搜索的方向和位移，因此本文把进退法的思想应用于求解导弹攻击区的边界的同时又对其进行改进。

①搜索函数值的改进。 通过设置命中精度，对每一个搜索到的目标点，若导弹命中目标，则认为该点处函数值为0，否则为1。

②搜索步长的改进。 采用定步长与变步长相结合的方法，在一个搜索方向上，先以定步长朝一个方向搜索，达到设定条件但算法未收敛时，再以另一较小步长反向搜索。在攻击区边界附近采用这种步长进行搜索，可以有效提高攻击区边界点的搜索效率。

③搜索循环的改进。 在一般进退法的基础上多增加一个循环，即反向搜索达到设定条件但算法仍未收敛时，再次以更小步长进行正向搜索。多增加这一循环，可以显著提高攻击区边界点的搜索精度。

采用改进的进退法计算空空导弹在无干扰条件下的三维攻击区，以远边界计算为例，计算前先设置导弹发射时刻的飞行参数、目标的飞行参数，在目标每一个可能的进入角和进入高度条件下，预置攻击区的最远边界D（大于攻击区最大边界距离）和最大搜索循环次数K，计算空空导弹攻击区的最远边界值。具体步骤为：

第一步，进行导弹与目标攻防对抗飞行仿真，脱靶后，最远边界D＝D－d1，（本文选取d1＝D×1.5%），再次进行导弹与目标攻防对抗飞行仿真，脱靶后，重复第一步，直至命中。

第二步，最远边界D＝D＋d2，（本文选取d2＝D×0.15%），进行导弹与目标对抗飞行仿真，命中后，重复进行第二步，直至脱靶。

第三步，最远边界D＝D－d3，（本文选取d3＝D×0.015%），进行导弹与目标对抗飞行仿真，脱靶后重复第三步，直至命中或达到最大搜索循环次数K，输出目标点位置坐标，即为攻击区最远边界点。

同理，计算空空导弹最大攻击区的内边界时，只需将D预置为小于空空导弹的攻击区最小边界距离的数值，同时d1、d2、d3取值为负。

3.2 在随机环境中空空导弹动态攻击区的实时在线数值计算方法

本文采用平移数值算法计算在随机风场干扰和目标机动条件下空空导弹的三维动态攻击区。为论证本文所提平移数值算法的正确性和有效性，先进行了导弹与目标的攻防对抗弹道仿真研究，研究导弹打击攻击区边界附近目标时弹道曲线的变化。

算例论证：假设导弹与目标在不同高度飞行，目标作U型机动。导弹初始位置坐标（0，10km，0），目标位置：xt＝46km，ht＝12km，zt＝0，初始速度均为300m／s，弹道仿真曲线如图1（a）中实线所示。设置目标坐标（xt，ht，zt）分别为（46km×0.95，12km，0）和（46km×1.05，12km，0），弹道仿真曲线如图1（a）中点划线和虚划线所示。目标位置变化后的弹道曲线与原弹道曲线的偏差如图1（b）和图1（c）所示。目标初始位置移近和移远后的弹道曲线与原弹道曲线的偏差分别如图1（b）和图1（c）中实线和虚线所示。

由图1可知，对于12km高度处作U型机动的目标，当目标初始位置存在－5%的偏差时，最大弹道倾角偏差为0.38°，最大弹道偏角偏差为0.32°，平均弹道倾角百分比误差为5.26%，平均弹道偏角百分比误差为0.53%。当目标初始位置存在5%的偏差时，最大弹道倾角偏差为0.29°，最大弹道偏角偏差为0.3°，平均弹道倾角百分比误差为4.8%，平均弹道偏角百分比误差为0.62%。可近似认为弹道无偏。需要指出，对于与导弹等高度、不机动的目标，如果目标相对导弹的距离有所偏移，则导弹的弹道曲线偏差将更小。

基于上述弹道研究发现，导弹打击位于最大攻击区附近的目标时，导弹的弹道基本无偏。因此可以首先用精确方法计算出空空导弹在目标不机动、无风场影响条件下的标准攻击区，作为初始数据装载入机。然后在实战环境中，根据目标机动类型和载机测量得到的风场数据，采用基于标准攻击区的平移数值算法，实时在线计算导弹的三维动态攻击区范围。

图1 导弹打击攻击区附近目标的弹道曲线及弹道偏差

平移数值算法的具体计算步骤：设在某一具体目标高度和目标进入角下，在目标不机动、无风场影响条件下的空空导弹最大攻击区的远（近）边界为D，设置目标机动类型和随机风场环境模型，将攻击区远（近）边界扩大（缩小），进行导弹与目标攻防对抗飞行仿真，导弹脱靶后，平移目标飞行轨迹，使目标末端坐标与导弹末端坐标重合，则平移后的目标初端坐标位置即为导弹在该实际飞行条件下的动态攻击区的最远（近）边界点。

标准攻击区的缩放倍数F值设置要求：当目标位于缩放后的攻击区边界进行弹目飞行对抗仿真时，导弹脱靶，同时缩放倍数应该适宜。如果F值过小，即目标位置稍微偏离标准攻击区边界，加入目标机动和随机风场作用时，导弹很可能命中目标，此时不能使用平移法求解攻击区边界点；如果F值过大，即目标位置远离标准攻击区边界，由于导弹的弹道曲线偏差随飞行时间累积而增大，将造成精确度的下降。同时由于对不同高度、不同进入角下的目标位置，最佳F值也不同，因此采用动态选取F值的方法。先预测实际攻击区比原攻击区边界增大还是缩小，如果实际攻击区边界比原边界增大，F取正值，否则F取负值。先将F选为较小的数值（本文选取F＝0.01），将标准攻击区边界扩大（缩小）F倍，进行导弹与目标的攻防对抗飞行仿真，如果导弹脱靶，可直接进行坐标平移变换求取实际攻击区边界点，如果导弹命中，则在缩放的基础上继续扩大（缩小）直至导弹脱靶。

采用平移数值算法实时在线计算空空导弹在随机风场干扰和目标对抗机动条件下的三维动态攻击区，计算流程如图2所示，其中T0、TF、MF分别为导弹和目标飞行对抗仿真时目标的初始坐标、目标的末端坐标和导弹的末端坐标。

图2 采用平移数值算法计算空空导弹动态攻击区流程图

4 数值仿真与分析

1）算例1。

设置风场类型：风速为最大平均风速的0.5倍（10km高度处风速约为30m／s），风向沿x轴正方向，即导弹顺风飞行。目标不机动。设置导弹初始位置坐标为（0，10km，0），导弹和目标初始速度均为300m／s。

在该风场条件下，目标不机动时，10km高度处动态攻击区远边界（Rmax）随目标进入角（ν）的变化关系如图3（a）所示，其中虚线为采用改进的进退法计算结果，实线为采用平移数值算法的计算结果。三维动态攻击区的远边界曲面如图3（b）所示，其中实线网格曲面为采用改进的进退法计算结果，虚线网格曲面为采用平移数值算法计算结果。

图3 导弹顺风飞行且目标不机动时导弹三维飞行弹道及攻击区远边界

由图3（a）知，在该风场条件下，目标不机动时，导弹攻击区呈对称分布，由于导弹顺风飞行，导弹攻击区最远边界距离为64.6km，比无风时的62km增加了4.19%。在同一目标进入角下，2种算法所得攻击区最远边界的距离偏差为0.1km，百分比偏差为0.15%，由图3（b）知，攻击区远边界距离随目标高度增加而下降，在目标高度为4～8km时下降比较平缓，在目标高度为8～15km时，攻击区远边界距离迅速下降，由于高度引起的攻击区远边界最大距离差为49km。采用2种计算方法所得三维攻击区的最大攻击曲面基本重合，满足工程应用要求。

2）算例2。

设置风场类型：风速为最大平均风速（10km高度处风速约为60m／s），风向与x轴负向和z轴正向均成45°角，即导弹迎侧风飞行。目标U型机动。设置导弹初始位置坐标为（0，10km，0），导弹和目标初始速度均为300m／s。

在该风场条件下，目标U型机动时，8km高度处动态攻击区远边界（Rmax）随目标进入角（ν）的变化关系如图4（a）所示。三维动态攻击区的远边界曲面如图4（b）所示，其中实线网格曲面为采用改进的进退法的计算结果，虚线网格曲面为采用平移数值算法的计算结果。

图4 导弹迎侧风飞行且目标U型机动时导弹三维飞行弹道及攻击区远边界

由图4（a）可知，在该风场条件下，目标U型机动时，导弹的攻击区边界偏移角度约为25°。8km高度处，导弹的攻击区远边界距离最大值为67km，比目标不机动、无风场影响时的74km减小了9.46%。在同一目标进入角下，2种算法所得攻击区最远边界的距离偏差为0.2km，百分比偏差为0.3%。由图4（b）知，由于高度引起的攻击区远边界最大距离差为41km。采用2种计算方法所得三维攻击区的最大攻击曲面基本重合，满足工程应用要求。

为验证平移数值算法计算的快速性，将其与黄金分割法计算的速度进行对比。结果表明，平移数值算法计算的速度远远大于后者，攻击区边界点搜索过程中部分搜索循环计算次数对比如表1所示，表中h0和ht0分别为导弹和目标的初始飞行高度，v0和vt0分别为导弹和目标的初始飞行速度，ntmax为目标的最大可用过载，ν为目标进入角，N1和N2分别为使用黄金分割法和平移数值算法进行迭代求解的循环次数。

表1 平移数值算法与黄金分割法部分循环计算次数对比

由以上数值仿真，可以看出采用该平移数值算法计算空空导弹的攻击区具有以下优点：

①计算的快速性，能够满足实时在线解算的要求。传统计算导弹的攻击区需要使用诸如黄金分割法等一维搜索算法，经过多次迭代搜索攻击区的边界点，直至找到导弹命中目标的临界点为止，耗时时间长；采用平移数值算法，只需将标准攻击区适当缩放后，经过一次或几次（缩放不合适）弹道解算，就能得到攻击区的边界点位置坐标。

②计算的准确性，精度达到工程应用的要求。使用一维搜索算法存在搜索误差，采用快速模拟法会引入对象模型偏差，而如果已知导弹的无干扰条件下的标准攻击区数据表，使用该平移数值算法，就能够高精度地解算出在随机风场环境和目标机动影响下的导弹的动态攻击区，且该飞行仿真可以使用六自由度导弹和目标飞行对抗模型，因此具有更高的计算精确度。弹的攻击区，具有高精度、快速实时在线的特点，能够满足实际工程应用要求，可以为火控系统的改进提供科学参考。

5 结束语

本文首先论证了导弹打击攻击区边界附近的目标时，导弹弹道近似无偏。进而用改进的进退法计算得到在无干扰条件下的导弹三维攻击区，然后采用平移数值算法计算了存在随机风场干扰和目标机动对抗条件下的导弹三维动态攻击区。大规模飞行仿真结果表明，该平移数值算法可以有效计算空空导弹的动态攻击区，同时也可用于计算其它类型导

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