基于项目学习的数学课堂活动设计及教学——以“最短距离”为例

☉上海市嘉定区南翔中学 王 欣

☉北京师范大学教育学部 何声清

基于项目学习的数学课堂活动设计及教学
——以“最短距离”为例

☉上海市嘉定区南翔中学 王 欣

☉北京师范大学教育学部 何声清

基于项目的学习（Project-based learning，简称PBL）关注的是学科的核心概念及原理，要求学生从事问题解决，着眼于现实世界的探究及其他有意义的活动.［1］它是以课程内容相关的真实生活项目为载体，以促进和提供学习经验的教学策略［2］或方法.［3］在美国，PBL已然是基础教育阶段广泛推行的教学模式，［4］代表性的项目设计有：基于多媒体的项目学习（PBL+MM）、［5］Sally Berman设计的系列项目学习［6］等.此外，我国香港地区的“知识社区”软件（KnowledgeCommunity）［7］也是PBL的有益探索.

一、PBL的合理性与必要性

1.学生发展的需要

数学课堂教学的目标之一是积累数学活动经验.从学生的未来发展而言，他们除了需要掌握学科的基本知识和基本技能以外，还需要发展数学推理、数学建模、问题解决等能力，以及培养良好的数学素养.传统教学中的活动大多是服务于课堂讲解，而专门的数学活动课往往因缺乏设计而目标性不强.基于PBL的活动设计则以项目为载体，以明确的三维目标为导向，关注的是学生的自主学习、合作意识、创新意识及问题解决能力.

2.社会发展的要求

信息时代的知识爆炸和科技革新对新时期人才的培养提出了新的要求.培养成“实践型能力”、“分析型能力”、“创新型能力”的学生已然是社会发展对基础教育提出的新目标.［8］PBL是以学生操作、探索、设计等活动为主要方式，突出学生实践、分析及创新能力的课堂组织形式.“它可以摆脱过去言语—语言智力和逻辑—数理智力所强调的以测验为本的学习倾向，促使学校和教师去发现、开发每个学生的智力强项.”［9］

3.课程改革的取向

义务教育数学课程标准（2011年版）提出：“数学课程内容既包括数学的结果，也包括结果的形成过程及其蕴含的数学思想.课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索.课程内容的组织要重视过程、直观及直接经验.”［10］PBL为学生学习数学提供了互动、合作、交流的活动场所，学生作为项目的直接参与者，在具体的任务背景和问题情境中，能够参与观察、实验、猜想、证明等数学活动，体会数学知识之间、数学与生活之间的联系，发展问题解决的能力，积累数学活动经验.

二、基于项目学习的“最短距离”活动设计

本节有关“最短距离”的活动课是基于两个项目展开的.在学生已经具备了“两点之间，线段最短”，平行四边形的判定及性质，以及对称性的知识储备的基础上，作者设计两个贯穿“最短距离”的活动项目.项目Ⅰ涉及了“利用对称性及平移，构造直线”的转化策略；项目Ⅱ涉及了“化折为直、化曲为直，构造直线”的转化策略.项目设计旨在让学生面临实际的项目设计，在“做数学”中体验“最短距离”问题中的转化策略及其思想，积累问题解决的活动经验，提高逻辑思维能力，拓宽视野及提升数学素养.

1.活动项目Ⅰ：设计最便利的交通路线

某城市预计发展一个新兴产业，需要建造一个港口，一座大桥.港口用于存放原材料，已知A镇为运输工人所住地，距离河岸垂直距离为5000米，B城为材料加工点，距离河岸垂直距离3000米.每天工人要从公寓赶到港口C（港口位于靠近公寓的一侧）取原材料送到加工点，加工好之后运到河对面的销售点D，销售点距河岸垂直距离为7000米.已知A、B两地的水平距离为10000米，B、D两地的水平距离为12000米（如图1）.

（Ⅰ）为节省成本，请你在河岸选定合适的一处作为港口，使得工人每天取材料及到加工厂的路线最短.

（Ⅱ）为节省成本，现需要修建一座垂直于河岸的桥，请你选定合适的桥址，使得工人从加工厂到销售点的路线最短.

图1

活动过程：

（1）明确项目目标：选取合适的港口及桥的位置，设计最便利的交通路线.

（2）现实问题数学化，分析问题的数学意义.

师：对于实际生活中的本例，首要的工作是什么？

生：画出图形，把实际问题转化为数学问题.

师：这里把实际问题用数学语言表达，就是我们以后要用到的建立模型.

师：如图2所示，A、B两地位于河的同侧，需确定港口，即C点的位置，使得A、B两地到C点的距离之和最小，如何用数学语言表示？当然，按照题意，C点应位于直线m上.

图2

生：就是确定点C，使得线段AC+BC的长度最小.

师：两条线段AC、BC的端点有何特点？

生：有个公共端点C.

师：有公共端点的两条线段在什么样的情况下线段和最小？

生：两条线段在同一条直线上.

师：那么本题中AC、BC能否在同一条直线上？若不能，如何处理？

生：不能.但是可以构造出来.由对称性，过直线m作点B的对称点B′.由对称性可知，BC=B′C.问题就转化为，求作点C，使得AC+B′C最小.

师：现在，能不能求得C点的位置了？

生：能.连接AB′与直线m交于点C，C就是所要求作的点（如图3）.

图3

师：能解释一下为什么这里的点C就是所求点吗？

生：由对称性可知，BC=B′C，则AC+BC=AC+B′C，此时，AC，B′C在同一直线上，它们的和即AB′，一定是最短的.

师：有什么方法可以验证你的结论呢？

生：可以再找一个点比较一下.

师：具体该如何操作？

生：在直线m上任取C点以外的点C′，连接AC′，BC′.其实，再连接B′C′，由对称性可知B′C′=BC′.所以，AC′+ BC′=AC′+B′C′.因为“两点之间线段最短”，所以AC′+B′C′>AC+B′C.也就是说，AC′+BC′>AC+BC（如图4）.

图4

师：这样，我们解决了项目的第一个设计.接下来，如何确定桥的位置？首先，把问题转化为数学语言.注意，桥是垂直于河岸的.

生：就是确定一个线段EF垂直于直线m、n，分别交m、n于点F、E.使得BF+EF+DE最小.

师：这是一个求最短折线的问题.依据项目第一个任务中转化的方法，大家对于这个任务有没有想法？

生：由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使A、B城和销售点D到河边桥头的距离最短就可以了.

师：有道理，那如何预先扣除桥长呢？

生：就是假设先走完桥长，即先把桥平移到B城，先过了桥，到B′点，找出B′到D的最短路线.

师：把桥平移后，那么如何确定桥的位置呢？

生：连接B′D，与直线n交于点E，过点E作EF⊥m于点F，则EF就是所要选的桥的位置（如图5）.

图5

师：大家能否验证一下，如果这样选取桥址，从B点过江到D点的路线是最短路线吗？

生：同第一个问题的验证方法类似，选取另一处桥址E′F′.在四边形BB′EF中，BB′与EF平行且相等，根据平行四边形的判定定理，可知四边形BB′EF为平行四边形.则BF=B′E，则路线BF+EF+ED=BB′+B′E+ED=BB′+B′D.若选择E′F′，则路线为BF′+E′F′+E′D，同理可证，四边形BF′E′B′为平行四边形，则BF′=E′B′.所以路线BF′+E′F′+ E′D=BB′+B′E′+E′D.由“两点之间，线段最短”可知，B′E′+E′D>B′D.即表明：BF′+E′F′+E′D>BF+EF+ED，说明EF为最佳桥址.（如图6）

图6

师：同学们，我们通过激烈的讨论和合作，共同解决了项目Ⅰ中的两个任务，选取了建造港口和桥的最佳地址，为材料加工及运输设计了一条最便利的路线.请大家想一想，我们解决这个问题的思路是什么？

生：明确目标，建立模型，通过对称性或平移转化为两点一线的问题，验证结论.

2.活动项目Ⅱ：为蚂蚁过关出主意

如图7，游戏中，蚂蚁需要经过重重关卡，依次吃掉位于城堡上A、C、E处的糖.第一关：起点为O点，爬过楼梯，吃到A点的糖；第二关：到达B点，进入城堡，城堡为圆柱形，爬到城堡上C点（B、C两点对应），吃糖过关；第三关：沿线段CD爬到点D（C、D在同一条母线上）处后，吃到E点处的糖过关.三关一次性通过，游戏过关，你能帮蚂蚁设计出过关的最短路线吗？

图7

活动过程：

师：同学们，遇到实际问题，第一步做什么？

生：根据题意，画出图形.

师：首先解决第一关，如图7所示，蚂蚁从O点爬过楼梯吃到点A处的糖.蚂蚁从O点爬到A点所走的路线是什么图形？

生：折线.

师：那么第一关的最短路线的问题转化成数学语言如何表示？

生：找到一条路线，使得折线之和最短.

师：大家先来动手操作，用一张长方形纸片，能不能折叠出楼梯？

生：演示折叠楼梯.

师：请同学们在第一层楼梯的长方形的一个顶点标上O点，在最后一层楼梯与O点相对的顶点标上点A.

师：现在我们的目标是什么？

生：就是设计路线，使得O点到A点的路线最短.

师：大家思考：用纸片可折叠出楼梯，那么反过来呢？生：可以把楼梯铺成纸片.

师：楼梯铺成纸片后把O点和A点找出来，大家思考，如何设计O点和A点的最短路线呢？

生：楼梯铺开就成为了一个长方形.那么O点和A点之间的最短路线就是线段OA.（如图8）

师：依据是什么？

生：两点之间，线段最短.

图8

师：这样做的简便之处，就是“化折为直”，把折线问题转化成直线问题.

师：那么，第二关之前，蚂蚁要从A点到达B点，应该如何设定路线？

生：沿线段AB爬行.两点之间，线段最短.

师：现在来看第二关.城堡是一个什么图形？

生：圆柱.

师：蚂蚁爬行的路线是什么图形？

生：曲线.

图9

师：那么能不能把曲线问题再次转化为直线问题呢？

生：如前一个问题所示，把这个圆柱沿竖直方向剪开，铺成长方形，那么最短路线就是B点与C点之间的线段.（如图9）

师：第三关之前，蚂蚁从C点到达D点的路线应该如何设计呢？

生：线段CD.

师：第三关是“如何求从D点爬到E点的最短路线问题”.大家先来说，房顶是个什么图形？

生：圆锥形.

师：如果圆锥沿线剪开，又是什么图形？

生：扇形.

师：那么D、E之间的路线应该如何设计才最短呢？

生：把圆锥剪开，连接DE，则线段DE就是最短路线.（如图10）

师：大家再来总结一下，这个问题的解决思路是什么？

生：把折线和曲线问题转化为直线问题.

图10

师：对了，“化折为直”和“化曲为直”的思想就是数学中的转化思想.

反思：通过本节课的项目活动设计，让学生主动参与问题解决的全过程，在“做项目”中内化旧知，通过建立模型实现“数学化”和“情境化”的有效对接，有效培养了学生的数学应用意识及问题解决的能力.

1.http：//wwwbie.org/pbl/reso.html.

2.http：//pblmm.kl2.ca.us/pblguide/pbl&pbl.htm.

3.http：//www.jearpcanada.org/guideontheside.html.

4.巴克教育研究所.项目学习教师指南［M］.任伟，译.北京：教育科学出版社，2008.

5.http：//PBLchecklist.4teachers.org.

6.Berman，S.多元智能与项目学习：活动设计指导［M］.夏惠贤，等，译.北京：中国轻工业出版社，2004.

7.http：//www.bnude.com.cn/education/message/yjbg_04. html.

8.黄荣怀，郑兰琴.解读“多元”智力：多元智力理论与三元论述评［J］.中国电化教育，2004.

9.夏惠贤.多元智力理论与个性化教学［M］.上海：上海科技教育出版社，2003.

10.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.Z