数形结合明结构，以退为进获思路——2015年广东广州中考卷第25题解析与反思

☉江苏省连云港市花果山中学 刘文燕

数形结合明结构，以退为进获思路
——2015年广东广州中考卷第25题解析与反思

☉江苏省连云港市花果山中学 刘文燕

函数是中考考查的重点内容，函数考题也是考查数形结合的重要知识背景，各地考卷中也充分挖掘函数在数形结合上的考查功能，本文关注2015年广东广州卷第25题，从数形结合的角度讲解思路，并反思此类问题的教学思考，与同行研讨.

一、考题展示及思路突破

考题（2015年广东广州中考卷第25题）已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交于点C，且O、C两点之间的距离为3，x1· x2＜0，|x1|＋|x2|＝4，点A、C在直线y2＝-3x＋t上．

（1）求点C的坐标；

（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；

（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2-5n的最小值．

思路突破：（1）利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用O、C两点间的距离为3写出点C的两种可能的坐标.

（2）先将点C的两种可能的位置（0，3）或（0，-3）分别代入直线y2＝-3x＋t，可求出对应的t的值，于是可以求出相应的点A的坐标；当点A的坐标求出之后，结合“x1·x2＜0，|x1|＋|x2|＝4”又得出点B的坐标.最后再把两组不同的点A、B、C的坐标信息代入抛物线y1＝ax2＋bx＋c中，即可求出解析式，从而问题获得突破.

（3）由第（2）问的求解，仍然分两种情况讨论，

①若c＝3，则y1＝-x2-2x＋3＝-（x＋1）2＋4，y2＝-3x＋3，得出y1向左平移n个单位后，则解析式为y3＝-（x＋1＋n）2＋4，y2向下平移n个单位后，则解析式为y4＝-3x＋3-n，到此之后，为了更好地理解，我们从“形”的角度进行分析：

在图1中，分别画出了y1＝-（x＋1）2＋4，y2＝-3x＋3的图像，在图2中，分别画出了平移之后的y3＝-（x＋1＋n）2＋4， y4＝-3x＋3-n图像.

图1

图2

再结合图像分析，抛物线平移后y随着x的增大而增大的部分为P，在图2中，该图形P就是在对称轴左侧的部分，如果平移之后的直线与P有公共点，则抛物线的顶点P一定在Q点（直线与抛物线对称轴交点）上方，这时把抛物线对称轴x＝-1-n分别代入抛物线、直线解析式，应该有yP≥yQ，得不等式-（-1-n＋1＋n）2＋4≥-3（-1-n）＋3-n，解出n的取值范围.

②若c＝-3，则y1＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，y2＝-3x-3，y1向左平移n个单位后，则解析式为y3＝（x-1＋n）2-4，y2向下平移n个单位后，则解析式为y4＝-3x-3-n，同样，我们也从“形”的角度进行分析：

图3

图4

在图3中，分别画出了y1＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，y2＝-3x-3的图像，在图4中，分别画出了平移之后的y3＝（x-1＋n）2-4，y4＝-3x-3-n的图像.

结合图像分析，抛物线平移后y随着x的增大而增大的部分为P，在图4中，该图形P就是在对称轴右侧的部分，如果平移之后的直线与P有公共点，则抛物线的顶点P一定在Q点（直线与抛物线对称轴交点）下方，这时把抛物线对称轴x＝1-n分别代入抛物线、直线解析式，应该有yP≤yQ，得不等式（1-n-1＋n）2-4≤-3（1-n）-3-n，解出n的取值范围.

值得注意的是，当n的取值范围求出之后，还需要用题目中的规定“n＞0”检验，从而把确认之后的n的取值范围用于求2n2-5n的最小值.

规范解答：（1）令x＝0，则y＝c，故C（0，c）.

因为OC的距离为3，所以|c|＝3，即c＝±3，所以点C的坐标为（0，3）或（0，-3）.

（2）因为x1x2＜0，所以x1，x2异号.

①若C（0，3），即c＝3，把C（0，3）代入y2＝-3x＋t，则0＋t＝3，即t＝3，所以y2＝-3x＋3.

把A（x1，0）代入y2＝-3x＋3，则-3x1＋3＝0，即x1＝1，所以A（1，0）.

因为x1，x2异号，x1＝1＞0，所以x2＜0.

因为|x1|＋|x2|＝4，所以1-x2＝4，解得x2＝-3，则B（-3，0）.

所以y1＝-x2-2x＋3＝-（x＋1）2＋4，则当x≤-1时，y随x增大而增大．

②若C（0，-3），即c＝-3，

把C（0，-3）代入y2＝-3x＋t，则0＋t＝-3，即t＝-3，所以y2＝-3x-3.

把A（x1，0），代入y2＝-3x-3，则-3x1-3＝0，即x1＝-1，所以A（-1，0）.

因为x1，x2异号，x1＝-1＜0，所以x2＞0.

因为|x1|＋|x2|＝4，所以1＋x2＝4，解得x2＝3，则B（3，0）.

所以y1＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，则当x≥1时，y随x增大而增大.

综上所述，若c＝3，当y随x增大而增大时，x≤-1；

若c＝-3，当y随x增大而增大时，x≥1.

（3）①若c＝3，则y1＝-x2-2x＋3＝-（x＋1）2＋4，y2＝-3x＋3.

y1向左平移n个单位后，则解析式为y3＝-（x＋1＋n）2＋4，

则当x≤-1-n时，y随x增大而增大.

y2向下平移n个单位后，则解析式为y4＝-3x＋3-n，

要使平移后直线与P有公共点，则当x＝-1-n时，y3≥y4，

即-（-1-n＋1＋n）2＋4≥-3（-1-n）＋3-n，

解得n≤-1.

因为n＞0，所以n≤-1不符合条件，应舍去.

②若c＝-3，则y1＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，y2＝-3x-3.

y1向左平移n个单位后，则解析式为y3＝（x-1＋n）2-4，

则当x≥1-n时，y随x增大而增大.

y2向下平移n个单位后，则解析式为y4＝-3x-3-n，

要使平移后直线与P有公共点，则当x＝1-n时，y3≤y4，

即（1-n-1＋n）2-4≤-3（1-n）-3-n，解得n≥1.

二、变式改编

以下本着命题研究的兴趣，对该题做出一些个性化的变式改编，提供研讨.

变式在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交于点C，且O、C两点之间的距离为3．

（1）求点C的坐标；

（2）若点A、C在直线y2＝-3x＋t上，且x1·x2＜0，|x1|＋|x2|＝4.

①当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围；

②将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为“曲线P”，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与“曲线P”有公共点时，求n的取值范围．

变式意图：改变后题干表述更简洁明了，让学困生根据绝对值的“几何意义”也能顺利解出第（1）问，而将部分原有题干条件后置到第（2）问小题干中，考虑到原考题第（3）问“求2n2-5n的最小值”只是增加解题层次的一种附加式设问，式子“2n2-5n”与前面无甚关联，本着削枝强干的目的，直接求n的取值范围.

三、教学思考

由于广州卷这道考题是全卷最后一题，且没有配图，就是网上流传的一些参考答案也没有提供图像分析，而从追求提升此类问题解题教学的效益来看，数形结合的分析、讲解是很重要的；此外就考题的三个并列式设问来看，引导学生体会并列式问题背后的递进式求解策略也是提供解题能力的关键，以下就围绕这两个方向做出进一步的阐释.

1.数形互助，借助图像直观揭示问题的结构

根据教学经验，有些数学适应性较弱的学生面对诸如上文中的文字函数题往往感到抽象晦涩，这时如果能借助图像直观思考，常常能让更多的学生看清问题的结构，而且又能加深对符号表达简洁性、严谨性的认识.

2.以退为进，借助上一问解答思考后续问题

中考综合题常常有2～3个问题，多以并列式问题居多，然而这些并列式问题并非简单拼凑，而是形异质同，互为暗示与启示，又层层推进.理解上述命题特点之后，再看广州卷考题的三个设问，就不难发现，第（1）问启发了我们对于C点的两种可能位置要分类讨论；而由此出发，第（2）问则需要分类讨论出两种可能的函数解析式，并且思考了开口向下（上）抛物线的增减性，题中“y1随着x的增大而增大”的训练考查，恰恰又启发着第（3）问中“平移后y随着x的增大而增大的部分为P”.

1.章建跃．中学数学课改的十个论题［J］．中学数学教学参考（上），2010（3～5）．

2.许卫兵．简约：数学课堂教学的理性回归［J］．课程·教材·教法，2009（5）.

3.罗增儒．数学的领悟［M］．郑州：河南科学技术出版社，1997．

4.刘东升．“并列”式问题与“递进”式求解——由一则解题教学案例说起［J］．中学数学教学参考（中），2012（8）.

5.【美】波利亚.怎样解题［M］．阎育苏，译．北京：科学出版社，1982.

6.刘东升．关联性：一个值得重视的研究领域［J］．中学数学（下），2013（12）.H