2015年一道中考模拟压轴题的命制过程及思考

☉广东省深圳市龙华新区教育科学研究管理中心 林日福

2015年一道中考模拟压轴题的命制过程及思考

☉广东省深圳市龙华新区教育科学研究管理中心 林日福

在2015年中考的一次模拟考试的试题里，笔者命制的压轴题深受老师们的好评，下面笔者谈谈这道题的命制过程，与读者共享.

一、命题意图

根据本次模拟考试命题的整体构想，结合《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）的变化及本地中考改革实际，笔者拟定此题的命题思路为：以直线型几何图形为背景，通过点（或线）的运动，综合考查特殊多边形、特殊三角形、全等（相似）三角形、圆、方程、函数等核心知识，以及分类讨论、转化与化归、合情推理与演绎推理等数学思想与思维方法.在难度与创新上，既要发挥压轴题的选拔性功能，同时也要考虑模拟试题的特点，检测学生对初中数学核心知识、方法与思想的掌握情况，以及在数学学习过程中所积累的基本数学活动经验，帮助师生检查复习备考效果，树立中考备考的信心，以指导师生中考前的备考复习.

二、命题过程

近几年来，将特殊多边形与平面直角坐标系、函数等知识相结合的探究性问题，考查图形运动过程中特殊图形的存在性问题、图形关系（全等、相等、面积等）问题、路径最值问题等，是全国各地中考命题的热点之一.于是，笔者在命制本压轴题时，将平行四边形放置于平面直角坐标系中，尝试通过增添新的图形元素，变化新的条件与结论，寻求命题的思路.

平行四边形具有什么样的性质呢？它与三角形、其他特殊四边形之间有什么样的关系呢？该把平行四边形放置在平面直角坐标系的什么位置呢？圆的圆心是放置在平行四边形的一边上还是它的对角线上呢？半径是变量还是常量合适呢？如何考查分类讨论、方程思想、推理思想等数学思想方法呢？……在命题前，笔者认真思考了上述问题.在经过多次的画图、思考、计算等尝试过程后，得到题1.

题1：如图1，已知平行四边形ABCD中，A（-1，0），D（0，3），B（3，0），点P是直线OC上一点．

（1）点C的坐标为_________；

（2）以P为圆心，OP为半径作⊙P，求当⊙P与直线AD相切时⊙P的半径；

图1

（3）求当△PCD为等腰三角形时点P的坐标．

思考：题1的优点是图形与语言描述都非常简练，可以降低学生的阅读困难.试题考查了平行四边形、等腰三角形、相似三角形、圆、坐标几何等图形的有关性质与判定，解答时运用了方程思想、分类讨论、数形结合等数学思想与解题方法.从考查的数学知识与思想方法来说，已基本达到压轴题的命制要求.

这样，从新意入手，不超越《标谁》的要求，让试题更具有层次性，对“题1”进行修改势在必然.

对于第（2）小题，笔者多次改变图中直线AD、OC的函数表达式，但都无法避免出现分母有理化的计算.于是，想把圆心放在直线AD上，也许能走出这个困境呢.

图2

为了改进第（3）小题，笔者重新翻阅近几年全国各地中考试卷的压轴题，发现常考的一个基本图形（如图2），此图中，当点E在BC上运动时，如果保持“三垂直”不变，则总有△ABE∽△ECD，并且存在某个特殊位置，使得图中三个直角三角形两两相似.于是，在试题中隐含这个基本图形，便成为命题的一个新的思考，从而得到“题2”.

图3

（1）点C的坐标为_________；

（2）以线段AD的中点M为圆心作⊙M，当⊙M与直线CE相切时，求⊙M的半径；

思考：题2的主干突出了对初中阶段重点知识（坐标与函数）的考查.在第（2）小题里，把圆心的位置改为线段AD的中点后，试题的难度有所降低，让试题显得更有层次性，同时问题解决的思路方法也更丰富了，更能突出对不同学生的考查功能，这是命制解答题所必须考虑的要素之一.

图4

图5

如果仍是考查等腰三角形的知识呢？这也是近年来中考命题的一个热点.对于等腰三角形，除了“题1”那样考查外，还有没有其他的考查路径呢？笔者联想到一道中考题：

（2010年咸宁）如图6，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C—D—A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A—C—B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．

（1）当t=0.5时，求线段QM的长；

（2）当0

（3）略．

此题第（2）小题，P、M两点运动引起了△CPQ的形状发生变化.运用几何画板工具发现，当点P在线段CD上时，△PEQ在一般直角三角形与等腰直角三角形之间转换.结合之前的思考，借鉴此题，对第（3）小题进行了如下的改进.

图7

图6

题3：题干及第（1）、（2）小题同上.

（3）如图7，点P从点O出发，沿线段OC向终点C运动，点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，过点P作PR⊥CD于点R．若P、Q两点同时出发，速度均为1单位长度/s，时间为ts．当点Q到达终点时，两点均停止运动．当△PQR是等腰三角形时，求t的值．

思考：此题已接近笔者命题的初衷：考查动态几何问题，在P、Q两点运动过程中，出现点Q在PR的右侧与左侧两种可能，考查了分类讨论的思想方法.与此同时，为了求t的值，需根据△PQR是等腰三角形这个条件来建立方程，考查了方程思想.但细细品味，如此改动仍欠缺新意，学生的解题思路依然会落入俗套，难度上也略显不够.另一方面，线段BC在整道题中没显作用，但出于对整个试题的考虑，笔者仍然希望能考查平行四边形的有关知识.为寻求命题上的突破，笔者借用几何画板工具，尝试将△PQR以点P为旋转中心进行旋转，然后观察点Q及点R的位置变化.在将△PQR沿顺时针方向旋转90°时，发现，随着时间t的变化，存在点Q分别落在x轴、BC、CD上三种可能，这样便可考查分类讨论的思维方法，而且解答过程还隐含对图2的理解，也同时考查等腰三角形、全等三角形、相似三角形、方程思想等知识与数学思想方法，于是新的想法形成了.进一步分析，点R在旋转过程中并没有什么实质性的作用，反而增加图形的复杂程度.特别是，当画出由△PQR旋转后的三角形时，整个图形更复杂了，大大增加学生的阅读与解题困难，这对整道题的解答是不合适的.

成题：如图8，已知直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点D，与直线交于点E．过点D作DC∥x轴，交直线于点C，过点C作CB∥AD交x轴于点B．

图8

（1）点C的坐标是_________；

（2）以线段AD的中点M为圆心作⊙M，当⊙M与直线CE相切时，求⊙M的半径；

（3）如图9，点P从点O出发，沿线段OC向终点C运动，点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．若P、Q两点同时出发，速度均为1单位长度/s，时间为ts．当点Q到达终点时，P、Q两点均停止运动．将线段PQ绕点P沿顺时针方向旋转90°后，设点Q的对应点为R．当点R落在四边形ABCD一边所在的直线上时，求t的值．

图9

三、阅卷反馈

分析阅卷结果，此题的零分率为25.25%，满分率为0.6%，难度系数为0.25.说明此题较好地达到了兼顾中考命题的水平检测与选拔性考试的双重功能，基本达到预期目标.

1.解法丰富

阅卷过程中，发现学生解答第（2）小题的主要方法有以下几种.

方法一：过点M作MH⊥CE于点H，过点D作DF⊥CE于点F，通过求△CDE的面积求出DF，再根据△EMH∽△EDF可求出半径MH.

方法二：猜想点M在∠AOC的平分线上，这样当⊙M与直线CE相切时，⊙M也与x轴相切，⊙M的半径就易求了，问题转化为证明点M在∠AOC的平分线上.

方法三：过点M作MH⊥CE于点H，作MN∥x轴交CE于点N，由△EMN∽△EDC求出MN，再由△MNH∽△ODC可求出半径MH.

方法四：过点M作MH⊥CE于点H，过点B作BF⊥CE于点F，通过求△OBC的面积求出BF，再由△EMH∽△CBN可求出半径MH.

方法五：过点M作MH⊥CE于H，先求出直线MH的函数表达式，再通过解方程组求出点H的坐标，进而利用勾股定理求出半径MH.（注：此方法需用到kMH·kOC=-1、两点间的距离公式等解析几何知识）

……

2.典型问题及错误

第（1）小题无法把点C的纵坐标与点D的纵坐标联系起来，因而没想到可把点D的纵坐标代入直线OC的函数表达式来求得点C的坐标.

第（2）小题受图形影响，直观认为⊙M一定同时与x轴相切，于是不加证明地直接认为⊙M的半径就是点M的纵坐标值.

第（3）小题主要困难在于：P、Q两点在平移过程中还进行旋转变换，无法正确画出图形，或无法与熟悉的基本图形构建联系，或分类不全等.

四、几点感悟

1.试题的命制要基于课程标准与学生的认知水平

《标准》不仅是教材编写、课堂教学内容选择的依据，同时也是教学质量检测、教学评价的依据.标准对书面检测的要求有：“对于学生基础知识和基本技能达成情况的评价，必须准确把握课程内容中的要求.要注重考查学生对双基中蕴含的数学本质的理解.在设计试题时，应淡化特殊的解题技巧.……”［1］因而，立足《标准》，不超越《标准》的要求，突出核心知识的检测，帮助学生树立数学学习的信心，培养学生养成良好的数学学习品质，这是命制各类考试试题的基本要求.作为中考模拟试题的压轴题，虽然要求在考查双基的基础上，更需要能突出对学生分析问题与解决问题能力的检测，要能突出对学生数学思维能力与思维水平的检测，以及其在当地中考备考中的“模拟”功能.但是，无论是命题内容还是解答过程中用到的数学知识与方法等，都必须以不超越标准的要求作为前提，以免导致教师人为地添加教学内容，增加学生的学业负担.与此同时，《标准》还指出：“学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学.……帮助学生认识自我、建立信心.”［1］这要求试题命制还应考虑当地学生的实际认知水平，让大部分学生都能动手做，以免出现命制出的题看起来是“好题”，考试时却是“废题”的现象.

2.压轴题的命制要突出核心知识与数学思想方法

我们知道，函数是“数与代数”的重要内容，图形变换是“图形与几何”的重要内容，它们都是义务教育阶段学生比较难理解和掌握的数学概念之一，蕴含数形结合、分类讨论、方程思想、推理思想、函数思想等初中数学常见的思想与解题方法.因此，将图形变换、坐标与函数结合在一起，也就成为全国各省市中考命题的热点与重点.作为中考的模拟试题，也应紧靠中考命题的热点，以能给师生的中考复习起指导作用.

在初中阶段的函数知识中，一次函数既是学生最为容易理解掌握的基本函数，也是研究其他两类函数的起点.本题以平面直角坐标系、一次函数作为背景，将直线型几何、圆等知识有机融合在一起，既突出对重点概念“相切”、“平移”、“旋转”、“函数”等知识的考查，又能对数形结合、分类讨论、方程思想、推理思想、模型思想等数学思想与解题方法进行检测，还可检测学生的空间想像能力、几何直观能力与数学问题探究能力.

3.压轴题的命制需要在创新上立意

培养学生的应用意识、创新意识，不仅可以通过课程内容的选择与实施来实现，同时，在书面测验中，通过试题的创新，也可以达到培养学生的应用意识与创新意识的目的.况且，在当今教育环境下，试题的创新更是发挥着重要的作用.分析近几年全国各地的中考题，富有新意的试题时有出现，体现命题者对课程标准的深刻理解，对学生终身发展的切切关注.

本题将图形的平移与旋转有机融合在一起，将探究操作内隐于问题之中，考查了学生的空间想像能力与直观思维能力.学生在探索问题解决过程中，日常解题所形成的解答“等腰三角形”、“直角三角形”、“特殊四边形”、“相似三角形”、“路径最值”等常见问题的“解法套路”，已难以发挥作用.更需要的是学生回到探索问题解决的原点，在分析题意与理解相关概念的基础上，从图形的关系入手，充分发挥自身思维的想像力，通过画图（画出平移与旋转后满足条件的图形）、析图（分析图形之间的位置与数量关系）、解答（根据数量关系列出方程或函数关系式，进而求解）等问题探究环节，突破思维的瓶颈，进而使问题得以顺利解决.这样，试题更关注了学生对数学核心概念与重要数学思想方法的理解及问题探究策略的掌握等诸多数学素养.

与此同时，为命制好的试题，需要命题者平时积累大量的命题素材，要对命制出的问题有一种“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”的情怀，精益求精，不断雕琢，才能命制出真正突显数学核心知识，突出数学核心思维，能充分检测学生数学综合素养的试题.

1.中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［M］．北京：北京师范大学出版社，2001．

2.葛建华，施巍．2014年宁夏中考压轴题的命制过程及反思［J］．中国数学教育（初中版），2015（5）.Z

图5

问题（1）、（2）学生容易求解，难点在于第（3）问．

生10：对比前面的四个知识源，由于四边形ABCD是一般四边形，又不知任何边的长度，所以我首先排除了知识源3、4；但要把四边形ABCD转化为与之等积的中心对称图形也不容易，故最终定位于用知识源2解决，即把四边形ABCD转化为与之等积的三角形，再作出三角形的中线即可．既然要转化为三角形，我想到连接对角线AC，把四边形ABCD分成△ABC和△ACD，下面只需在DC的延长线上找个点E，构造出与△ABC等积的△ACE即可．受第（2）问启发，我想到过点B作BE∥AC，交DC的延长线于E，连接AE，如图6，问题（3）便迎刃而解了．

图6

评注：本环节主要追求“以题会类”的习题教学最高境界，着重培养学生解决问题的综合学力．特别是通过例1的解析，为学生今后处理“图形面积一线等分问题”提供了一个分析范本，极大地提升他们解决此类问题的能力．

随后，笔者又以2010年陕西中考第25题、2010年山东枣庄第25题和2013年陕西中考第25题（限于篇幅，题目略）作为课后练习题，以便学生及时巩固、消化和吸收．

四、写在最后

与传统的复习课相比，基于知识转化下三步式专题复习课至少有以下特点：首先，提高了课堂效率．弃用那些学生早已会做的基础题，既避免学生做低效的重复训练，又有时间更好地分析解题思路的形成过程和掌握同一类型问题的处理方式，从而加强了过程教学，达到了“以题会类”的习题教学最高境界，极大地提高了课堂效率.其次，注重了学法指导．基于知识转化下的追根溯源，不仅可以让学生明确同类问题的解题方向和处理策略，更重要是改变学生的思维方式，渗透了转化思想，提升了分析问题和解决问题的能力.最后，突出了面向全体．一方面，由于学生在知识基础和思维方式上存在较大的差异；另一方面，由于习题教学大多停留在“怎样做”的层面，以为听“懂”了就“会”了，至于“为什么这样做（即怎么想到这样做）”缺少反思，导致“一听就会，一做就错”的现象层出不穷．所以每当有同学给出正解后，笔者总要追问“你是怎么想到的”，力求让每个学生不仅知道“怎样做”，更明白“为什么这样做”，即“知其然更知其所以然”，从而让学生学会思考、学会分析、学会转化，把分析问题和解决问题的能力培养真正落到实处．H