与时俱进之基础引领统计与概率考查新趋势*

☉江苏省扬州市广陵区教育局教研室 石树伟

与时俱进之基础引领统计与概率考查新趋势*

☉江苏省扬州市广陵区教育局教研室 石树伟

一、统计与概率领域必备基础在与时俱进

九年义务教育属于基础教育．随着时代的发展，“基础”在不断发生着变化，数学基础也不例外．在统计与概率领域学生必备基础的与时俱进主要体现在以下两个方面.

1．统计与概率领域必备基础的内涵在与时俱进

时代发展日新月异，数学基础的内涵也在与时俱进．清末民初时，打得一手好算盘、简单的口算速算是一个学生必备的数学基础；解放后学习苏联，在“数学=逻辑”的主导思想下，逻辑思维能力是学生重要的数学基础；进入21世纪，投资理财、抽奖中奖、大数据决策等都呈现在世人面前，数据估算、统计意识、计算机应用等应成为新时代公民必备的新数学基础．［1］

过去的统计学习主要以统计计算和图表制作为主．随着科技的发展，这些工作逐步被计算机（器）所替代，概率分析与统计决策成为现代公民工作生活必备的数学基础，义务教育阶段数学课程将过去的“统计初步”提升为四大学习领域之一的“统计与概率”领域．

2．统计与概率领域必备基础的外延在与时俱进

时代发展对人才培养的要求不断提升，数学基础的外延也在与时俱进．作为中国数学教育优良传统的数学双基教学如果插上创新应用的翅膀，中国的数学教育将会真正领先于世界．为此，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）在课程目标中提出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验．［2］将传统“双基”扩充为“四基”，数学基础的外延得到扩展．

在统计与概率领域，统计知识和技能的掌握是需要的，但以其为载体的统计意识和数据分析观念更重要，是义务教育阶段学生必备的新基础．

二、顺应基础发展的统计与概率考查呈现新趋势

随着统计与概率领域学生必备基础的发展，与过去的“统计初步”相比，统计与概率领域不仅内容和课时显著增加，学习要求、学业考查也与时俱进呈现新趋势．

1．知识考查重现实意义理解

统计与概率领域概念多，过去的考查注重概念的记忆和应用概念进行计算．随着计算机（器）进入数学课堂和生活应用，概念的记忆和应用概念进行计算不再是必备基础，考查也与时俱进，概念现实意义的理解和应用正在成为考查的重点．

例1概念理解考查范例（选择题）.

（1）下列说法中不正确的是（）．

A.要了解一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查的方式

B.池塘的平均水深为1.2米，身高1.6米的水牛走进池塘可能会被淹没

C.若甲组数据的方差s2甲=0.05，乙组数据的方差s2乙= 0.1，则甲组数据要比乙组数据稳定

D.一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖

（2）一位运动鞋经销商抽样调查了9位七年级学生的鞋号，号码分别为（单位：cm）：24，22，21，24，23，25，24，23，24，经销商最感兴趣的是这组数据的（）．

A.中位数B.众数C.平均数D.方差

（3）有十五位同学参加大运河申遗知识竞赛，且他们的分数互不相同，取八位同学进入决赛，某同学知道了自己的分数后，还需知道这十五位同学的分数的（），就能判断他能不能进入决赛．

A.平均数B.众数C.中位数D.最高分数

评注：本例三个小题均没有要求学生计算相关统计量或概率，而是考查学生对统计与概率相关概念及其现实意义的理解，涉及的抽样调查、平均数、众数、中位数、方差、概率均为初中阶段统计与概率领域的核心概念．本例为统计与概率如何有效进行概念考查提供了示范．

2．技能考查重结果分析应用

对统计计算和统计图表制作的考查，过去是为了计算而计算、为了制作而制作．随着现代科技的发展，统计计算和图表制作的工作将越来越多地由计算机完成，统计结果的分析应用取代统计计算和图表制作成为学生必备基础．因此，在有关技能考查中，统计计算和图表制作不应是考查的重点所在，而应更多地关注学生基于统计量计算基础上应用统计结果做出判断和决策等，更多地关注对于统计计算和图表制作原理的理解，以及图表信息的提取、图表的特点和选用等；概率计算无需复杂，关键在于对概率分析原理和概率现实意义的理解.

例2统计图表考查范例（2013年江苏南通模拟卷）.

某校学生会采用随机抽样的方式调查九年级同学每天（除课间操外）的课外锻炼时间，绘制出如图1所示的条形统计图和如图2所示的扇形统计图.

图1

图2

（1）请求出图1中每天课外锻炼时间约10分钟的人数，并将图1和图2补充完整；（注：图2中相邻两虚线形成的圆心角为30°）

（2）若该校九年级共有240名同学，请你估计其中每天（除课间操外）课外锻炼时间不大于20分钟的人数，并根据调查情况向学生会提出一条建议.

评注：本例通过一个实际问题向学生呈现“数据收集→数据表示→数据分析→判断决策”的统计活动全过程，重点在于统计图表制作原理的考查，以及用样本去估计总体的推理思想．题目呈现的是两幅不完整的统计图表，首先，需要学生善于从中提取有用信息进行推理计算，其次，让学生在前面推理计算的基础上补充完整统计图表，既考查了图表信息的提取和应用，又考查了学生对图表制作原理的理解及图表绘制的技能，同时工作量又不是很大，这不失为统计图表考查的一种切实可行的办法．本例为统计图表的考查提供了一个示范．

例3概率计算考查范例（2007年江苏扬州卷）.

端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子．

（1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率；

图3

（2）在吃粽子之前，小明准备用一枚均匀的正四面体骰子（如图3所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数1向上代表肉馅，点数2向上代表香肠馅，点数3、4向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由．

评注：本例考查了学生应用列举法分析预测概率这一核心技能，关注学生利用概率知识解决实际问题的意识和能力．本例的教学价值有两点：一是帮助学生在具体的问题情境中辨别区分两种常见模型——不可重复事件和可重复事件，可通俗地理解为“无放回再摸模型”和“有放回再摸模型”，有助于学生理解掌握概率预测的原理；二是澄清一个易错点，就是古典概型的概率都是等可能条件下的概率.问题（1）中画树状图时吃第一个粽子切忌误认为只有三种情况：肉粽、肠粽、枣粽，因为它们不是等可能事件，应有四种情况：肉粽、肠粽、枣粽1、枣粽2．

3．思想考查重数据分析观念

数学基本思想是《标准（2011年版）》新增课程目标之一，是与时俱进的新基础．在统计与概率领域，基本思想的考查应注重考查学生的数据分析观念，包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴含的信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律．［2］

例4数据分析观念和统计量考查范例（2014年江苏扬州模拟卷）.

某市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际状况重新制定中考体育标准.为此抽取了50名初中毕业的女学生进行一分钟仰卧起坐个数测试，测试情况绘制成表格如下：

（1）求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；

（2）在平均数、众数和中位数中，你认为用哪一个统计量作为该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准次数较为合适？简要说明理由．

评注：本例通过学生都很熟悉的中考体育标准制定问题，渗透数据分析观念，考查常用统计量的概念理解、计算和应用，背景公平．需要说明的是，这里的计算是为了应用的计算．本例的教学价值如下：

一是澄清两个易错点，有助于学生正确理解常用统计量的概念．第（1）题通过图表形式呈现加权数据，其统计量的计算容易发生两种错误：①混淆数据和数据的权，找众数时学生容易把一组数据中出现次数最多的数据的权数当作众数，如本题容易误将“17人”当作众数；②混淆数据的种类和数据的个数，计算中位数时学生容易把数据的种类数当作数据的个数去寻找中位数，忽视了权数，如本题以表格形式呈现了11种成绩数据，容易误将大小排序后的第6种成绩数据“25个”作为中位数．

二是有助于学生形成数据分析观念．第（2）题考查实际情境中统计量的选择使用，重新制定中考体育标准需要进行调查研究，统计计算不是最终目的，最终目的是利用统计计算的结果去做出推断和决策，让学生体会数据统计的意义和作用，养成数据分析观念．

4．经验考查重现场体验感悟

同基本思想一样，数学基本活动经验也是《标准（2011年版）》新增课程目标之一，是与时俱进的新基础．在统计与概率领域，基本活动经验的考查应为学生提供参与现场统计活动的机会，在活动（包括实践活动和思维活动）中积累活动经验，评分标准的设计应开放多元，鼓励学生自由表达自己的体会和见解．

例5统计活动经验考查范例（2014年江苏义务教育质量监测卷改编）.

有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中分别随机抽取了16台，记录下某一天各自的销售情况（单位：元）：

甲：18，8，10，43，5，30，10，22，6，27，25，58，14，18，30，41

乙：22，31，32，42，20，27，48，23，38，43，12，34，18，10，34，23

小强用如图4所示的方法表示甲城市16台自动售货机的销售情况．

（1）请你仿照小强的方法将乙城市16台自动售货机的销售情况表示出来；

图4

（3）请说出此种表示方法的优点．

评注：本例为创新考查统计学习活动及基本活动经验提供了一个示范．第（1）题通过示例让学生现场学习并体验制作“茎叶图”，考查了学生的现场学习能力；制作茎叶图是为了应用.第（2）题通过茎叶图数据分布情况进行统计量大小比较的估计活动，有效考查学生是否真正理解平均数和方差的概念及意义，而不是能否准确记忆公式并正确计算.第（3）题通过前面的统计活动让学生体会茎叶图的作用，有效考查学生对基本活动经验的积累情况．

三、必备新基础与考查新趋势对统计与概率教学的启示

1．经历统计过程，发展数据分析观念

观念是不能灌输的，只有在活动中潜移默化的养成．统计学习的核心必备基础是数据分析观念的形成，数据分析观念绝非等同于计算作图等简单技能，而是统计意识、信息感、数据感及随机观念．教学中应多提供一些能让学生经历统计活动过程的机会，引导学生从统计的角度思考与数据有关的问题，突出统计对决策的作用，不应让计算统计量、画统计图表等内容占据学生过多的时间（如例2、例4）．

2．尝试问题解决，提升统计应用能力

统计与概率的知识和方法的学习要尽可能地融于解决实际问题的活动中．统计与概率的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用，学习统计与概率时应从报刊杂志、电视广播、网络信息或学生的生活实际等多种渠道充分挖掘适合学生学习的材料（如本文范例），通过选择现实情境中的数据、解决现实情境中的问题，使学生理解概念、原理的实际意义，激发学习兴趣，提升统计应用能力．

3．提供讨论机会，形成开放正确认识

教学中要为学生提供就概念模糊认识或数据展开充分讨论的机会．对模糊认识，如例1中对概念现实意义的理解、例3中两种概率模型的区别、例4中计算表格形式呈现数据的统计量都可以先让学生充分讨论甚至辩论；对数据，如例4、例5中的数据可以提出一些问题引发学生思考讨论：数据呈现什么趋势？能从这些数据中得到什么结论和推断？既要能从数据中获得尽可能多的有用信息，还要保持理智的心态，对数据的来源、收集数据的方法、数据的呈现方式、由此得出的结论进行合理的质疑，体会在分析数据的活动中没有绝对正确的方法和答案．“真理只会越辩越明”，通过讨论，认识会更加透彻，印象会更加深刻．

1.张奠宙，赵小平．“与时俱进”话“双基”［J］．数学教学，2001（5）．

2.中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011年版）［M］．北京：北京师范大学出版社，2012．H

*本文系单位科研基金“广陵基础教育行动创新与理论探索”项目资助、自主课题“本色数学教育主张的理论与实践研究”的成果之一．