由“教师提出问题”走向“学生提出问题”——刍议初中数学教学中如何引导学生发现和提出问题

☉北京市楼梓庄中学 张 东

由“教师提出问题”走向“学生提出问题”
——刍议初中数学教学中如何引导学生发现和提出问题

☉北京市楼梓庄中学 张 东

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生要“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，然而在当前的初中数学课堂教学中，却普遍存在着重“分析和解决问题”，轻“发现和提出问题”的教学倾向.究其原因，一是教师对“发现和提出问题”教学活动的教育价值重视不够，二是对“发现和提出问题”的含义理解不清，三是对课堂教学中怎样引导学生自己发现和提出问题缺乏可操作的方法.本文将从这三个方面浅谈自己的一些认识和思考.

一、发现和提出问题教学活动的教育价值

1.发现和提出问题的教学活动是培养创新能力的重要切入点

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习所需要的数学知识和技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用.”而发现和提出问题能力既是创造力的重要部分，也是创新性人才的重要特性.美国教育工作者在长期教育实践中总结出10条判断和评价学生创新能力的标准：（1）善于观察，并能用类比、推理的方法表述；（2）敢于对权威性的观点提出疑问；（3）凡事喜欢寻根究底，弄清事物的来龙去脉；（4）能耐心听取别人的见解并从中发现问题或受到启发；（5）能发现现象之间的逻辑关系；（6）对新鲜事物充满好奇心；（7）凡遇到问题总是喜欢在解决方法上另辟蹊径；（8）具有敏锐的观察能力和提出问题的能力；（9）总能从问题解决中发现成功的启示；（10）在学习上常有自己关心的研究课题.显然这其中的绝大多数指标均与发现和提出问题有关，因此开展发现和提出问题的教学活动正是在初中数学教学中培养创新能力的重要切入点.

2.发现和提出问题的教学活动是培养数学思维能力的重要途径

首先，从数学思维的成分来看，发现和提出问题既有丰富的形象思维、直觉思维，更包含了大量的抽象逻辑思维，特别是具体与抽象、特殊与一般、相对与绝对、有限与无限、静止与运动等辩证逻辑思维.其次，从数学思维过程来看，发现和提出问题的活动包括了观察与实验、归纳与演绎、比较和分类、分析和综合、抽象和概括等丰富的思维活动.最后，从数学思维品质来看，发现和提出问题能帮助学生克服思维的肤浅、狭隘、僵化、保守、盲目、孤立，因而能培养学生思维的深刻性、广阔性、灵活性、独创性、目的性、批判性、敏捷性等.因此，发现和提出问题的教学是初中数学课堂教学中培养学生数学思维的重要途径.

3.发现和提出问题的教学活动还是有效的学习方式

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔强调：数学学习的唯一正确的方法是实现“再创造”，即让学生经历在自己现有的知识准备下，自己如何把新知识“创造”出来.他认为，“再创造”是最自然和最有效的学习方法.说它自然，是因为它符合人的认知规律，最能激发学生的好奇心；说它有效是因为只有通过自己的再创造而获得的知识才能被有效保持和灵活应用.而发现和提出问题是“再创造”的核心，因此通过“发现和提出问题”的方式开展学习无疑是一种非常有效的学习方式.

二、何谓发现和提出问题

到底什么叫“发现和提出问题”呢？义务教育数学课程标准修订组在《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》里指出：“所谓‘发现问题’，是指经过多方面、多角度的数学思维，从表面看来没有关系的一些现象中找到数量或空间方面的某些联系，或者找到数量与空间方面的某些矛盾，并把这些联系和矛盾提炼出来.所谓‘提出问题’，是在已经发现问题的基础上，把找到的联系或矛盾用数学语言、数学符号集中地以‘问题’的形态表述出来.”全美数学教师委员（NTCM，1991）指出：“我们的教学应给学生提供这样的机会——从给定情境中提出问题，或通过修改已知问题的条件去产生新的问题.”综合以上两种观点来看，在初中数学教学中，所谓“发现和提出问题”，是指教师通过创设情境或启发引导，学生自己猜想并提炼出一些数学关系或数学矛盾，或者学生通过修改已知问题的条件去提出新的数学猜想.

三、引导学生“发现和提出问题”的教学方法

数学问题的发现和提出，离不开数学思维.数学中，类比、特殊化、一般化、变化属性、构造逆命题等是常见的富有发现功能的数学思维，因此在初中数学教学中，教师通过创设情境，引导学生采用上述思维方法“发现和提出问题”.

1.类比法

类比是把领域甲中已知的事实与领域乙中类似情况进行对比，从而猜想出在领域乙中可能正确的结论.类比主要包含两个方面：一是根据事物某些特征或性质方面的类似进行比较，二是根据对象集合的结构之间的类似进行比较.

案例1直线和圆的位置关系的引入.

问题：上节课我们在研究点和圆的位置关系时研究了它们之间哪些方面的问题呢？这节课我们将研究直线和圆的位置关系，那么类比点和圆的位置关系，你能提出一些直线和圆的位置关系的研究问题吗？

点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，以及圆和圆的位置关系有很多类似的地方.首先，从研究的对象来看，它们都是在研究两个图形间的位置关系；其次，在研究方法上，都是先将两个图形的位置关系分类；最后，从几何和代数两方面分析特性，另外在关注的问题上都是关注其几何特性（交点的个数及分布区域）及代数特性（“两图形间的距离”与半径的数量关系）.因此在教学中，可尝试让学生类比点和直线的位置关系，自己去发现和提出直线和圆的位置关系中的研究问题，这对学生从宏观上建立与圆有关的位置关系的认知结构，以及培养学生的发现和创造能力都有积极意义.在运用类比法时，一定要先列举出类比对象的各种属性，即明确类比的方向，然后学生才能从类比对象的各个属性出发，推测出当前研究对象的可能属性，否则学生就会不知道学生猜什么或盲目的乱猜.

2.特殊化法

普遍性与特殊性是哲学辩证法里的基本原理之一.普遍性寓于特殊性之中，并通过特殊性表现出来，两者相辅相成，在一定条件下相互转化.在数学中，特殊化是数学发现的重要思想，在一般情况下很难发现的一般性结论，通过观察特殊情形，往往可以得出一般性结论的猜想.

案例2中点四边形形状的探究.

问题1：ABCD是任意的凸四边形，J，K，L，M分别是边AB，BC，CD，AD的中点，依次连接J，K，L，M，我们把得到的四边形JKLM叫做四边形ABCD的中点四边形.同学们能猜想出四边形JKLM的形状吗？请你通过改变四边形ABCD的形状试一试.

生：我通过将四边形ABCD的形状改变为一些特殊形状后发现：当四边形ABCD是一般四边形或平行四边形，以及直角梯形时，四边形JKLM是平行四边形，当四边形ABCD是矩形或等腰梯形时，四边形JKLM为菱形，当四边形ABCD是菱形或筝形时，四边形JKLM是矩形，当四边形ABCD是正方形时，四边形JKLM是正方形.因此，我得出猜想：中点四边形的形状可能是平行四边形或特殊的平行四边形.

问题2：同学们通过将四边形ABCD特殊化，得出了中点四边形形状的猜想.并且发现了中点四边形JKLM的形状是随着四边形ABCD的形状而改变的.而我们知道决定和影响四边形形状是构成四边形的基本元素：边、角、对角线.那么到底是四边形ABCD的什么元素决定和影响着它对应的中点四边形的形状呢？请同学们不妨继续通过将四边形ABCD特殊化的方法来进行一下猜想.

在本案例中，首先，教师通过特殊化的方法，让学生自己去猜想出中点四边形的形状；其次，通过特殊化的方法，让学生先考查特例：矩形、等腰梯形的中点四边形为什么是菱形，菱形、筝形的中点四边形为什么是矩形，从而发现在特殊情形下对角线数量关系和位置关系影响和决定中点四边形的形状；最后，猜想出一般情形下的结论.正所谓“退一步海阔天空”，特殊化法是先“退”后进的思想，所谓“退”，可以是从复杂退到简单，从一般退到特殊，从抽象退到具体，从空间退到平面.掌握特殊化方法有利于培养学生的合情推理能力和创新精神，同时也有利于培养学生的辩证思维能力：一般成立推出特殊必定成立，特殊成立则一般未必成立，特殊不成立推出一般必定不成立.

3.一般化法

一般化是由某一类对象的部分具有的属性出发，得到这类对象都有该属性的思维方式.英国数学家梅森（J. Mason）认为，特殊化与一般化是数学思维的核心，数学中的许多著名的猜想都是靠一般化的思想方法获得的，比如著名的哥德巴赫猜想、费尔马猜想等.在初中数学教学中，一般化也是启发学生发现和提出问题的重要方法之一.

案例3锐角三角函数的概念.

问题1：画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，∠A的对边与斜边的比值是多少？再任意画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，∠A′=30°，∠A′的对边与斜边的比值是否改变？

问题2：画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，∠A的对边与斜边的比值是多少？再任意画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，∠A′=45°，∠A′的对边与斜边的比值是否改变？

问题3：通过以上两个现象，这时你能提出关于直角三角形的一个问题吗？

在本案例中，教师先引导学生通过两个特殊的直角三角形的例子，发现了一个共同的现象：只要直角三角形的一个锐角的度数不改变，那么这个锐角的对边与斜边的比值就不会随直角三角形大小的改变而改变，即为一个固定值.此时学生很自然地就会想到一个问题：是否任意的直角三角形都有这一规律呢？这时教师适时地把发现和提出问题的机会留给学生，不仅使学生从本质上认识到了锐角三角函数的本质：锐角三角函数值的大小只与锐角的大小有关，而与锐角所在的直角三角形无关，更深远的意义是教给了学生从数学角度发现和提出问题的方法.

运用一般化法引导学生发现和提出问题的一般步骤是：首先，让学生对由个别性的、特殊性的对象进行观察、分析，得出针对个别性的、特殊性对象的关系或规律，然后，让学生自己提出针对一般性对象的思考问题，从而提出针对一般性对象的猜想.

4.变化属性法

变化属性法又叫“否定假设法”（what-if-not，如果它不是这样的，那又可能是什么呢），是指通过改变原问题的某些属性，从而提出新问题的方法.

案例4平行线性质与判断的综合应用.

问题1：如图1，已知直线AB∥CD，直线MN与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠MEB，FH平分∠EFD，求证：EG∥FH.

问题2：你能通过改变上述问题的某些条件，提出新的问题吗？

图1

图2

生1：如图2，如果条件不是“EG、FH平分一对同位角”，而是“EG、FH平分一对同旁内角”，结论变为“求证：EG⊥FH”.

生2：我怎么没想到呢，那也可以将条件改为“EG、FH平分一对内错角”，结论不变.哈哈，我也提出一个问题了.

生3：如图3，那如果EG、FH没那么特殊，不是角平分线，而是一对内错角内部的两条射线呢？那这两条射线之间的位置关系肯定就没有特殊性了，那么角之间是否有一定的数量关系呢？嗯，我发现了，求证：∠G=∠GEB+∠GFD.

图3

图4

生4：如图4，如果EG、FH是一对同位角内部的两条射线，你的结论似乎就不成立了，我猜此时结论变为∠G=∠GFD-∠GEB了.

生5：如果AB与CD不平行呢？……

上述案例中原问题的属性（即条件）是：两条平行线，平分同位角.教师引导学生通过否定原问题条件的方法提出了一系列新问题：“如果不是平分同位角，那会怎样呢？”“如果不是角平分线，那会怎样呢？”“如果不是平行线那会怎样呢？”通过新问题的不断提出，学生不仅对原问题的认识从某一个特殊的结论上升为一般性的规律，而且使学生先后经历了从平行到垂直的位置关系的研究，从线与线的位置关系的研究变化为角与角之间的数量关系的研究，从而使学生的思维空间不断扩大，思维的发散性也不断增强.同时学生也为自己能发现和提出问题而感到高兴，激发了学生数学探究的兴趣和欲望.

从上述案例中可以看到what-if-not法能引导学生多角度、全方位思考问题，发现和提出很多有价值的数学问题.运用what-if-not法的一般步骤是：首先，确定出发点（如已知的命题、问题或概念），其次，一一列举原问题的各个属性（条件、性质、结论等），然后，就所列举的每一个“属性”进行思考：“如果这一‘属性’不是这样的话，那它可能是什么？”最后，根据以上的分析提出问题.

5.逆命题法

数学中许多定理都具有互逆关系，它们不仅反映了现实世界的数量关系和空间形式的一些可逆的规律性，同时也体现着一种数学思维方式.比如要直接研究某一对象或关系的判定定理时，通常先思考该对象或关系的性质，然后通过构造性质的逆命题去提出判定的猜想，进而通过推理证明得出判定定理.因此通过思考构造原命题的逆命题是数学中发现和提出问题的常用方法.

案例5平行四边形的判定.

问题：同学们还记得平行线的判定定理与平行线的性质定理吗？它们之间具有怎样的关系呢？那么你能根据平行四边形的性质定理，猜想一下具备什么条件的四边形是平行四边形吗？

在此案例中，教师通过让学生类比平行线判断定理的发现方法，启发学生从平行四边形的性质出发构造逆命题，自己发现和提出关于平行四边形判定的猜想，进而再通过猜想进行不重不漏的分类，并对各个猜想的正确性进行验证或证明，进而得出平行四边形的判断定理.通过此过程，有助于学生理解平行四边形判定定理与性质定理之间的内在联系，更重要的是可以让学生经对一个数学对象或一种关系判定的研究全过程，感受其中的数学思维方法，并体会一种发现和提出新问题的数学思维方法.

运用逆命题法的一般步骤是：首先，将原命题的前提和结论进行分解；其次，将原命题的前提与结论进行整体交换或部分交换；然后，用命题的形式进行表述.其中关键的步骤是，当原命题的前提或结论是由若干个子前提和子结论构成时，要将前提和结论分解到不能再分的程度.

总之，学生不是一只被动接收的“瓶子”，而是一粒主动萌发的“种子”，课堂也不应该仅是一个教师提出问题，学生分析和解答问题的回声场，还应该是一个学生自己发现和提出问题的创新花园.让我们多创造一些学生自己发现和提出问题的机会，为培养出会思维、敢创新的学生而努力！

1.史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.曹才翰，章建跃.中学数学教学概论［M］.北京：北京师范大学出版社，2008.

3.郑毓信.数学思维与数学方法论［M］.成都：四川教育出版社，2001.

4.李祥兆.基于问题提出的数学学习［D］.上海：华东师范大学出版社，2006.H