X90M钢级螺旋缝焊管残余应力控制的实现——2号辊压下量与残余应力关系模型的建立

张继建，付 超，王宪栋，杨青建

（山东胜利钢管有限公司，山东 淄博 255082）

残余应力控制是螺旋缝焊管生产中一个重要环节。而对于残余应力的控制来说，2号辊压下量是一个极为重要的因素。在生产中，有经验的成型工会根据切环法弹复样的开口量调整2号辊压下量。由于没有理论指导和定量分析，只能根据经验来判断压下量的大小，因而会导致较大的误差。

本文以X90M钢级卷板为研究对象，利用MATLAB工程软件，建立2号辊压下量与残余应力关系模型，为成型过程残余应力的控制提供理论指导。

1 螺旋缝焊管残余应力的测定

螺旋缝焊管残余应力的测定方法有许多，其中机械测量方法有小孔法、切环法、切块法，物理方法有超声法、光学法等。生产中最简便、常用的方法即是切环法。

在生产中，残余应力的生成过程相当复杂。切环法切出的钢管不仅在钢管周向进行错开，而且还有轴向错开量λ和径向错开量δ，切环法如图1所示。如果成型器参数（不考虑2号辊压下量）调整得当，钢管轴向和径向的错开量都较小，且可忽略不计，钢管错开都是沿周向的［1-3］。文献［4］指出：国内常用标准和技术条件在残余应力控制环节，将切环弹复量定义为切口张开量，即只限制其周向正弹复量。用周向错开量L（负弹时取负）来表示残余应力值。当L＝0时，残余应力最小，为理想状态。

图1 切环法示意

本文探究的问题即周向错开量L＝0时2号辊的压下量。引用文献［5］中“坯管圆”、“弹复圆”及“预弯圆”的概念。其中，预弯圆半径最小，坯管圆和弹复圆一致。

2 X90M卷板拉伸性能

以某钢厂1 550 mm×16.3 mm X90M钢级卷板为试验对象。

2.1 拉伸试验

在板头（T）、板中（Z）、板尾（W）取样进行拉伸试验。板卷采用Φ12.7 mm圆棒试样。试验在1000HDX-G7静液式万能型材料试验机上进行，试验方法依照ASTM A 370—2013《钢产品力学性能试验的标准试验方法》进行，其结果见表1。

表1 X90M钢级卷板拉伸试验结果

试验表明：X90M钢级卷板的平均Rp0.2为648.9 MPa。取最接近平均值的板卷1-1-T试样2（Rp0.2为650 MPa）作为标准数据，其拉伸试验数据见表2，应力-应变曲线如图2所示。

表2 X90M钢级板卷1-1-T试样2拉伸试验结果

图2 X90M钢级板卷1-1-T试样2拉伸应力-应变曲线

2.2 X90M钢级卷板应力－应变曲线

2.2.1数据计算机化

将1000HDX-G7静液式万能型材料试验机自带软件生成的源数据文件（拉伸应力、拉伸应变）读入MATLAB进行数据计算机化，其拉伸应力-应变源数据如图3所示。在图3中，第一列数据为数据采集点i；第二列数据为拉伸应变ε；第三列数据为拉伸应力σ。

2.2.2 弹性模量E—多项式拟合

使用多项式拟合曲线方法求出X90M钢级卷板在弹性拉伸阶段的弹性模量E。拟合目标为最小方差（最小两乘法）；区间范围为0.02%≤ε≤0.20%（向前限定范围是为了消除试验刚开始时不稳定因素的影响）；使用polifit（E，ε，σ）函数［6］求得：E=198.46 GPa。

弹性模量E拟合效果如图4所示。

图3 拉伸应力-应变源数据

图4 弹性模量E拟合效果

3 卷板预弯弯矩及预弯半径

文献［7］指出：带钢在三辊弯板机中发生弯曲变形时，为获得所需的弯曲曲率，2号辊必须具有一定的压下量。当2号辊的压下量较小时，带钢因受力不足而出现变形不足，从而导致管坯环在切环试验中出现周向正弹复现象；当2号辊的压下量过大时，带钢因受力过大而发生了过量变形，管坯环在切环试验中就会出现周向负弹复现象。

因此，在螺旋缝焊管成型过程中，预弯半径及预弯弯矩与2号辊压下量紧密相关，并直接影响弹复量及钢管残余应力的大小。

3.1 预弯时的应力应变

在三辊成型过程中，卷板在2号辊正下方时，弯矩最大，曲率半径最小，定义此处为文中所提“预弯”状态。壁厚方向预弯应力-应变分布如图5所示。根据材料力学理论［8］，弯曲应变与其距中性层距离成正比关系，可绘出应变ε在壁厚方向上的分布（图5a）；根据图2中的拉伸应力-应变曲线对应绘出应力σ在壁厚方向上的分布（图5b）。

图5 预弯应力-应变分布示意

在距离中性层y处，拉伸应变ε为［8］：

式中 ρ——曲率半径，m。

在2号辊下时，曲率半径即为预弯半径，设为Rmin；而在卷板上表面y=t/2处应变为最大，即ε=εmax，则有：

式中 εmax——预弯表层应变。

3.2 预弯内弯矩

式中S——卷板在成型器内长度，m；为了简化

计算，假定S为单位长度。

3.2.1 解析求法

大部分材料（包括X90M钢级）的拉伸应力－应变曲线是不可解析的。因此，在工程中常用简化模型表达求解。最常见的是“理想弹塑性材料模型”和“弹塑性模量模型”。

根据图2曲线可拟合得出应力－应变解析式σ=σ（ε），并将该解析式代入公式（4）积分求出预弯内弯矩M的解析式。虽然解析法在积分过程中是精确的，但由于其在材料模型构建时进行了简化，因此其解析出的结果并不精确。

3.2.2 数值求法

为了使数值更加准确，使用数值积分法：将计算机内标样采集点的数据对应到公式（4），并进行累加，对应关系见表3。

表3 解析式—数值式对应关系

将公式（4）变形为数值积分的形式，为：

式中 εi——第i个应变；

σi——第i个应力，Pa。

编写MATLAB程序，将图3中所有点的数值累加求得以εmax为变量的内弯矩函数，弯矩曲线如图6所示。

3.3 自由回弹弯矩

卷板在成型进程中，经2号辊后会发生回弹，此过程为弹性变形。根据文献［10］可知弯矩变化量ΔM的关系式为：

式中I——惯性矩，m4；

R1——弹复前曲率半径，m；

图6 弯矩曲线

R2——弹复后曲率半径，m。

卷板预弯时，曲率半径最小，为Rmin；弯矩最大，设为Mmax。卷板回弹到“理想状态”（弹复量为0）时：管径为R，弯矩为0。

结合公式（6）、（3）可得：

将Φ1 219 mm×16.3 mm螺旋缝焊管的中径R=601.35 mm，惯性矩I=St3/12 m4，弹性模量E=198.46 GPa，代入公式（7），可得Mmax曲线（如图6中曲线2）。

3.4 预弯弯矩、预弯半径

根据卷板预弯时的内弯矩（公式5）等于其自由回弹前的弯矩（公式7），可求得εmax=1.953 2%，即图6中两条曲线的交点。再根据公式（2）可得出预弯半径Rmin=423.77 mm（外径863.85 mm）；根据公式（5）或（7）求得 Mmax=46 275 N·m。

4 压下量模型

4.1 成型器——调型参数

螺旋缝焊管成型器调型时，以理想坯管圆为基准进行参数的调整，调型参数如图7所示。

特定成型器针对特定规格型号坯管，结构数据参数都是确定的，包括1~3号辊的相对位置。以德国PWS公司Φ610~1 620 mm预精焊机组成型器为例，调型Φ1 219 mm×16.3 mm、X90M钢级（按屈服强度650 MPa调整），相关数据为：坯管圆中半径 R=601.35（mm），3 号辊倾角 γ=20.37°，3 号辊切点距钢管中心线 L3=Rsin γ=209.3（mm），3 号辊切点距坯管圆底面 h3=R（1－cos γ）=37.6（mm）。

图7 调型参数示意

4.2 挠曲线

卷板在预弯时受到3个辊的作用力，在1、2号和2、3号辊间形成两段不同的挠曲线。图7中点A为坯管圆与2号辊垂线交点。以过A点水平线为X轴，过3号辊切点C的垂线为Y轴建立坐标系，其成型简化如图8所示。图7~8标注各点均在卷板/钢管中性层上。2、3号辊间的挠曲线（CA′）求解如下。

图8 成型简化示意

B为挠曲线上的任意一点；O点为坯管圆心；A′为2号辊压下点；相对于A点，设压下量为Q。则各点坐标为：C（0，h3）；B（x，y）；A（0，L3）；A′（L3，-Q）。

4.2.1 3号辊支反力

设3号辊支反力大小为F，而其方向指向管坯圆心，即（sin γ，cos γ），所以：

由于 CA′=A′-C=（L3，-h3-Q），将 4.1 节中的调型参数代入得：

根据力学理论，3号辊支反力对于点A′的弯矩即为卷板的预弯弯矩Mmax，即。将公式（8）~（9）代入可得：

4.2.2 挠曲线上任一点的弯矩

有两种方法可求出B点的弯矩MB。

（1）支反力弯矩法。在图8中，3号辊支反力对 B（x，y）处的弯矩为：

（2）弹复弯矩变化法。C点相对于挠曲线上任一点B来说，相当于从B点自由弹复。而C点曲率半径为R，弯矩为0。根据式（6）可得：

式中RB——B点曲率半径，m。

4.2.3 挠曲线任一点的曲率半径

根据数学知识［11］，曲线上曲率半径有几何关系：

式中y′——曲线导数；

y″——曲线二阶导数。

4.2.4 挠曲线和压下量模型

由公式（11）~（13）可得：

即公式（14）为卷板在2、3号辊之间的挠曲线方程；其中2号辊压下量Q为与挠曲线相关的待求量，该公式亦即2号辊压下量模型。

4.3 压下量模型求解

使用假定初始值和迭代法，求压下量模型微分方程及Q值。

（1）选定Q值，代入公式（14）得到不含变量Q的挠曲线微分方程（第一次迭代时选Q=0）；

（2）选定曲线求解初始点C、初始值挠度和导数［y，y′］=［h3，－tan γ］，参考文献［6］；

（3）使用MATLAB—ODE45函数求解出挠曲线2，卷板挠曲求解过程如图9所示；

（4）挠曲线2与2号辊垂线L3的交点即为Q值；

（5） 重复第（1）~（4）步，将更新的 Q 值代入公式（14），迭代求出压下量Q值；

（6）求出符合精度要求的挠曲线（图9中的曲线3）及压下量Q。曲线3与曲线2几乎重合。

精度为10-5时求解结果及迭代过程见表4及如图9所示。

表4 压下量Q迭代求值表

图9 卷板挠曲求解过程示意

综上所述，通过成型器调型参数、钢管的预弯半径和最大弯矩，可求解出卷板的挠曲线方程。Q值即弹复样开口量L＝0时2号辊的最佳压下量。如果想要得到正弹或负弹的钢管，在Q值的基础上进行微调即可。

5 实践验证与未解决问题

在德国PWS公司Φ610~1 620 mm预精焊机组成型器上按4.1节参数试制X90M钢级Φ1 219 mm×16.3 mm螺旋缝焊管。两卷卷板生产出外观尺寸符合标准的钢管共7根。生产过程中，为保证钢管内弹，2号辊在计算数据（Q=－5.0 mm）基础上又多压下0.5 mm。生产稳定后，钢管弹复量均在50 mm范围内，而且卷板在2、3号辊间的挠曲线与计算结果完全一致。试验表明：本文提供的模型基本符合生产实际，可作为生产的理论指导。

本文模型解决的只是在弹复量为0、残余应力最小时2号辊压下量的一个特例，仍有两个课题需要进一步研究解决：①钢管弹复量不为0时与2号辊压下量关系；②卷板在成型器2号辊之前的挠曲线及受力问题。

6 结 语

根据X90M钢级卷板的拉伸应力-应变试验数据和材料力学理论，在钢管规格确定情况下，可以确定螺旋缝焊管成型中预弯半径和最大内弯矩，并通过解析挠曲线微分方程可以确定2号辊压下量，从而达到控制X90M卷板残余应力的目的。

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