“变教为学”需要“好奇”的问题

□郜舒竹

“变教为学”需要“好奇”的问题

□郜舒竹

编者按

在现行的国家课程中安排有“综合实践活动”课程，数学课程中也有“综合与实践”板块。此外，近几年来，部分地区还安排了“学科实践活动课程”。其目的都是为了实现课程内容的“实践性”和“综合性”，彰显学生学习过程的“活动性”。以期让学生的学习内容与自然和社会建立联系，让学生的学习过程与人类的实践活动建立联系，改变“讲解与示范”单一的教法以及“倾听与模仿”单一的学法，真正做到“变教为学”。实现这种改变的一个基础性工作就是开发出能够体现实践性、综合性与活动性的课程内容。

“变教为学”作为课堂教学改革，期望将“传授”式的教，改变为“引发”式的教。“引发”的一个重要方面是唤起学生的好奇心，引发学生的学习兴趣。充分利用具有“娱乐”特征的问题，是实现这一目的的有效方法。

变教为学 好奇 娱乐

“变教为学”并不是把“教”变为“学”的意思，更不是否定教师“教（Teaching）”的意义及其价值，而是期望将“传授”式的教，改变为“引发”学生学习的教。这样的教不是简单地将书本上的内容“告知”给学生，而是采用灵活多样的方式“引发学生学习的动机、引发学生主动地思考”，进而实现学生“自由、自主、自信”地学习。

引发式的教学首要的问题是如何让学生愿意学习，也就是首先需要引发学生的学习动机。一个有效的方法是展示“知识的魅力”，这样的魅力可以源于“真实的问题”，让需求成为学习动机的诱因；[1]也可以源于自然的问题，让知识间的联系引导学生自然而然地思考。[2]除此之外，还可以利用具有“娱乐（Recreation）”特征的问题，唤起学生的好奇心，进而引起学生思考的兴趣。

在西方国家的数学学科分类中，有一个专门的领域叫作“娱乐数学（Recreational Mathematics）”，这一领域中的内容，不强调严谨的逻辑体系，也不强调在现实中的应用性。只注重其与人的情感和思维的联系，其目的是引起人的好奇或者疑惑，激发人思考的愿望。在这一领域的研究中，最著名的人物当数美国的马丁·加德纳（Martin Gardner，1914年10月21日—2010年5月22日）。1957年，加德纳在《科学美国人》（Scientific American）期刊上开设了一个名为“数学游戏（Mathematical Games）”的专栏，这个专栏一直延续了20余年。通常看来，数学具有抽象、枯燥的特征，而加德纳的本领在于将数学问题用符合人们好奇心的形式展示出来，使之具有了娱乐的特征。

一、朋友圈流传的“账单问题”及其来源

在我国手机微信朋友圈中曾经流行的一个“账单问题”（见图1），使得许多人感到困惑不已。

图1

这个问题的大意是说：如果我有50元钱，4次购物每次花销分别是20元、15元、9元、6元，正好将50元钱花完，因此每次购物所花钱数总和恰好是50元。算式为：

20+15+9+6=50（元）

每次购物后剩余钱数分别为30元、15元、6元、0元，那么这些剩余钱数总和为：

30+15+6+0=51（元）

令人疑惑的问题是：为什么这些剩余钱数总和不等于50元，而是51元呢？

这一问题的原型实际上来源于马丁·加德纳所设计的一个名为“Low Finance”的问题[3]（见图2）。

图2 “Low Finance”问题扫描图

马丁·加德纳是用故事的形式讲述这个问题的：一位叫作格林（Green）的先生在银行存款100元，分6次将100元取出，6次取款金额分别为50元、25元、10元、8元、5元、2元，因此每次在银行中剩余钱数分别为50元、25元、15元、7元、2元、0元。取款金额总和为：

50+25+10+8+5+2=100（元）

而每次剩余钱数总和是：

50+25+15+7+2+0=99（元）

格林先生对此异常疑惑，为什么剩余钱数总和不是100元，而是99元呢？他认为是自己欠了银行1元钱。因此专程前往银行咨询。

二、问题的解释

格林先生来到银行，向银行负责人讲明来意。银行经理面对图2的数据，首先感谢格林先生的诚实，而后通过举例的方式为格林先生作出了解释。如果分2次取出100元，第一次取出99元，第二次取出1元。那么剩余钱数分别是1元和0元（见图3）。

这时剩余钱数总和只有1元：1+0=1（元）。

换一种情况看，如果分4次取出100元，前3次每次取出1元，第四次取出97元，那么每次剩余钱数分别为99元、98元、97元、0元（见图4）。

这时剩余钱数总和为：99+98+97=294（元）。

这就说明，无论分多少次怎样取出100元，那么图中左侧取出钱数总和一定是100。但是右侧每次剩余钱数之和并不一定等于100，可以很小，也可能较大。听了解释，格林先生才恍然大悟。

这一故事未必是真实的，马丁·加德纳利用人们司空见惯“收、支应当相等”的观念，潜意识中认为“左、右两列数据总和应当相等”，编制出这样让人产生“奇怪”感觉的问题，诱发人们的好奇心。使得这个问题具有了娱乐的特征。

图3 “Low Finance”问题解释扫描图

图4 “Low Finance”问题解释扫描图

三、进一步的探讨

前面的例子都显示了取出钱数总和与剩余钱数总和不相等的情况，还可以进一步思考，会不会出现相等的情况呢？

如果第一次取出1元，则剩余99元；第二次取出98元，剩余1元；第三次取出1元，100元全部取完，剩余0元。这一过程可以用表格的形式表示。

取出钱数（元） 剩余钱数（元）第一次 1 99第二次 98 1第三次 1 0总和 100 100

这时就出现了取出钱数总和与剩余钱数总和都等于100元的情况。类似的，如果第一次取出2元，剩余钱数为98元；第二次取出96元，则剩余2元；第三次取出2元，剩余0元。

同样也使得取出钱数总和与剩余钱数总和相等。进一步的问题是：使得3次取出钱数总和与剩余钱数总和都等于100元的情况，有什么样的规律？

取出钱数（元） 剩余钱数（元）第一次 2 98第二次 96 2第三次 2 0总和 100 100

不妨用字母a表示第一次取出钱数，那么第一次取出a元后剩余“100-a”元；第二次取出后应当使得剩余钱数为a元，因此第二次应当取出“100-2a”元；第三次取出最后的a元。

取出钱数（元） 剩余钱数（元）第一次 a 100-a第二次 100-2a a第三次 a 0总和 100 100

由于第二次取出“100-2a”元，如果要求每次取出钱数为整元数，那么“100-2a”就必须大于或等于1元，因此a最大只能是49元，也就是说第一次取出钱数最小可能是1元，最大可能是49元。在这样的条件下，才有可能使得3次取出钱数总和与剩余钱数总和都等于100元。

在这个基础上，还可以进一步研究取钱次数为4次或更多的情况。马丁·加德纳在故事结束时，按照取出钱数总和是确定的100元，而剩余钱数总和未必等于100元的结论。提出了另外一个自然的问题：如果每次取出钱数必须是整元数，这个剩余钱数之和最小与最大的可能分别是多少？

在数学问题的研究中，对于不能确定的数据，自然而然会寻找数据所在的范围，而确定这个范围的方法就是找到“界限”，这里所说的“最大”和“最小”实际上就是剩余钱数之和所在范围的界限。

根据图3的启发，将100元1次取出，那么剩余钱数就是0元，因此这个最小值自然就是0。同样根据图4的启发，每次只取出1元，分100次取完，那么剩余钱数分别为：

99，98，97……2，1，0这些钱数总和为：

99+98+97+……+2+1+0=4950（元）

因此这个最大值就是4950元。

以上内容可以用于诸如“综合与实践”或者“学科实践活动课程”的教学，也可以用于中低年级的计算教学。这样的课程与教学并不针对某个具体知识点的学习，而是基于问题以及对于问题的好奇，运用已经学习的知识或方法，开展对问题的思考与解决。教学的基本流程应当包括如下的环节[4]：

问题与动机：观察情境产生问题，通过问题产生动机。

过程与方法：设计方案经历过程，反复尝试发明方法。

多样与错误：结果多样表达交流，比较反思修正错误。

联想与应用：归纳类比思考关联，通过应用体会价值。

[1]郜舒竹.变教为学需要“诱人”的问题[J].教学月刊小学版（数学），2015（12）.

[2]郜舒竹.变教为学需要“自然”的问题[J].教学月刊小学版（数学），2016（1／2）.

[3]Martin Gardner.Entertaining Mathematical Puzzles.Dover Publications,Inc.p17.

[4]郜舒竹.“变教为学”需要螺旋上升的学习活动[J].教学月刊小学版（数学），2015（10）.

（首都师范大学初等教育学院 100048）