一道高考题的多种解法

宁夏中卫市第一中学 刘 亮

一道高考题的多种解法

宁夏中卫市第一中学 刘 亮

高考题注重对学生数学思维的考查，在一道题中往往涉及多种数学思想方法，而这些数学思想方法对提高学生的创新能力，开发学生的智力具有极大的促进作用，对选拔出合格优秀的学生具有重要的参考价值.因此，无论老师还是学生，都应关注高考题，特别是能够体现多种思维的高考题.本文就以2016年新课标全国2理科数学选修4—4坐标系与参数方程为例，探讨该题的多种解法及思想.

新课标 坐标系 参数 斜率

【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

解：（Ⅰ）将圆C的方程（x+6）2+y2=25转化为x2+y2+12x+11=0，由x=ρcosθ，y= ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得C的极坐标方程为ρ2+ 12ρcosθ+11=0.

在（I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R）.设 A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+ 11=0.于是ρ1+ρ2=-12cosα，ρ1ρ2=11，由极径的几何意义可得，由得解得由sin2α+cos2α=1解得由解得，所以l的斜率为或-

评注：本解法利用第一问的极坐标系，根据直线l的参数方程是为参数）的特点，将其转化为极坐标方程，利用极坐标系的几何关系和极径ρ的几何意义去解。体现了利用直角坐标系解决数学问题的思想.

方法二：由直线l的参数方程是（t为参数），得直线l过（0，0）且倾斜角为，设直线l的方程为y=kx，其中k=tanα，由圆C的方程为（x+6）2+y2=25，得圆心C（-6，0），半径r=5，设圆心到直线l的距离为d，则d=由可得解得所以l的斜率为或-

评注：本解法将问题放到直角坐标系中解决，根据直线l的参数方程是（t为参数）的特点，将其转化为直角坐标系下的方程y=kx，主要利用直线与圆相交用垂径定理求解。体现了利用直角坐标系解决数学问题的思想.

评注：本解法将问题放到直角坐标系中解决，主要利用解析几何中的弦长公式求解。体现了解方程的数学思想.

方法四：设A，B所对应的参数分别为 t1，t2，将直线l的参数方程（t为参数）代入（x+6）2+y2=25中整理得，t2+12t cosα+11=0，则t1+t2=-12cosα，t1t2= 11，由所以l的斜率为或

评注：本解法将问题与参数方程联系，主要利用直线参数方程中t的几何意义.体现了数形结合的数学思想.

通过上述解法我们不难发现，高考题涉及诸多思想方法，学生应该把题目多读几遍，弄清这个题目求什么，已知什么，求、知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题.可以根据自己的知识进行有效地选择解题方法.高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分.这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分.与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分.

对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个大问题.因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”.作为老师，在日常教学工作中，能够根据学生已有的知识水平和数学学习经验，准确把握所教内容与学生已学知识的联系，能正确把握数学教学内容，揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，渗透数学思想方法，体现应用与创新意识.