基于非线性多刚体受电弓模型的弓网仿真分析

赵 晨 周 宁 邹 栋 李瑞平 张卫华

(西南交通大学牵引动力国家重点实验室， 成都 610031)

基于非线性多刚体受电弓模型的弓网仿真分析

赵 晨 周 宁 邹 栋 李瑞平 张卫华

(西南交通大学牵引动力国家重点实验室， 成都 610031)

文章基于拉格朗日方程导出的受电弓框架微分方程，推导了非线性受电弓多刚体模型的弓网耦合动力学方程。在此基础上，研究了升弓力矩以及受电弓等效归算参数随升弓高度的变化关系。通过采用显式中心差分法对弓网耦合动力学方程进行求解，对受电弓多刚体模型与质量归算模型在不同速度等级下的受流质量进行了比较。结果表明，在速度等级低的情况下采用受电弓质量块模型即可满足仿真要求，但在速度等级高时更适宜采用非线性多刚体受电弓模型进行仿真分析。

弓网耦合； 中心差分法； 非线性多刚体模型； 归算质量模型

随着高速铁路的快速发展，作为高铁技术研究的重要一环，弓网系统动力学的研究具有重要意义。列车通过车顶受电弓与接触网的相互作用完成取流，因此研究弓网关系对于列车运行的稳定性和安全性至关重要。由于铁路环境复杂，实验成本较高，计算机仿真已成为研究弓网关系的重要工具，故应选用合理的弓网模型进行仿真分析。传统仿真分析常常将受电弓考虑为质量块模型[1-3]，通过计算或测量的方法获得受电弓各部件的归算参数[1]。然而随着高铁技术的发展和弓网系统动力学研究的深入，对列车受流质量的要求也越来越高，传统质量归算模型越来越不能准确地反映真实的弓网关系，受电弓的非线性特性越来越不容忽视。在传统受电弓力学模型的基础上，诸多学者们对受电弓非线性行为进行了研究[2-5]。梅桂明等人基于拉格朗日方程推导了受电弓运动微分方程，将方程在平衡位置展开，从而将受电弓模型线性化，并通过有限元软件计算对比了受电弓非线性与线性模型的特性[6-7]。姜静等人在此基础上，分析了受电弓升弓高度对归算参数的非线性影响，但依旧采用的是质量归算模型，并未对受电弓非线性方程进行求解[8]。本文重新推导了受电弓的非线性运动微分方程，接触网采用模态叠加法求解其响应，建立了受电弓/接触网的非线性垂向耦合动力学模型。在此基础上，采用中心差分法对耦合动力学方程进行求解，研究了升弓力矩随工作高度的变化关系。最后通过确定受电弓多刚体模型在不同工作高度下的等效归算参数，并比较了不同速度等级下非线性多刚体受电弓模型与质量归算模型的受流质量，对两种模型的适用性进行了对比分析。

1 受电弓与接触网的动力学模型及运动微分方程

1.1 受电弓动力学模型及运动微分方程

实际受电弓结构为三维空间结构，求解起来较复杂，但如果忽略受电弓横向运动与柔性的影响，受电弓运动轨迹可视为与列车运行方向平行的铅垂面内的平面运动。选定该铅垂面为研究平面，将受电弓结构各元件向该平面内进行投影，并将各铰链简化为杆件。简化后的受电弓多刚体模型，如图1所示。

图1 受电弓多刚体模型

图1中，(m1，J1)，(m2，J2)，(m3，J3)分别为拉杆、下臂杆以及上臂杆的质量和绕质心的转动惯量；l1，l2，l3分别为拉杆、下臂杆和上臂杆的长度；l4为铰点C与D之间的距离，l5，l6，l7分别为拉杆、下臂杆和上臂杆的质心到铰点A，B，C之间的距离；UA，UB，UC，UD分别是铰点A，B，C，D的阻尼；MH，KH，CH分别是弓头的质量、刚度和阻尼；α，My分别为升弓角和升弓力矩；ZE和ZH分别为框架顶部以及弓头的垂向位移；e，f分别是与基座相连的两铰支点间垂向与横向间距；δ为上臂杆与CD之间的夹角；Fh为弓头与框架间的作用力；FC为弓网之间的接触压力。

1.1.1 框架运动微分方程

如图1所示，受电弓框架部分为一四连杆结构，有且仅有一个自由度，故可将升弓角α作为自变量，根据拉格朗日方程，有

(1)

式中：L——框架的总动能与总势能之差；Qα——广义力，可由虚功原理得到。

由式(1)可得：

(2)

式(2)即为受电弓框架的运动微分方程，其相关变量表达式见文献[7]。

1.1.2 弓头运动微分方程

利用牛顿第二定律可得到弓头的运动微分方程

(3)

1.1.3 受电弓整体运动微分方程

根据显式中心差分公式[9]，对受电弓弓头位移，有

(4)

(5)

式中：α0——初始升弓角；γ0——初始升弓角α0下γ的初始值。

对升弓角使用中心差分公式，有：

(6)

(7)

(8)

1.2 接触网模型及运动微分方程

本文采用直接建模法进行接触网建模[10]，然后通过模态分析得到接触网的模态和节点信息。鉴于接触网结构的复杂不易描述性和有限元法灵活、简洁和求解准确性高的特点，本文采用有限元法进行接触网的模态分析。接触网的模态分析实质上是求解系统无阻尼自由振动方程：

(9)

式中：Mc、Cc、Kc——接触网系统的质量、阻尼及刚度阵；

a(t)——系统响应；

Qc(t)——载荷向量。

(10)

式中：E——单位矩阵；Ω——对角矩阵，对角元素为第i阶模态频率的平方。

从而实现了接触网运动微分方程的解耦，求解模态空间下广义坐标u(t)后，通过坐标反变换即可得到系统响应a(t)，为后续弓网耦合求解奠定了基础。

1.3 受电弓与接触网垂向耦合动力学模型

受电弓与接触网之间通过接触压力形成耦合动力学系统，接触压力采用罚函数法进行模拟。当弓与网发生离线时，接触压力为0；当弓与网未离线时，接触压力等于接触刚度与弓网位移差的乘积。通过联立受电弓与接触网运动微分方程以及接触力计算公式，即可得到受电弓与接触网垂向耦合动力学模型。

(11)

1.4 基于非线性多刚体模型弓网仿真的算法流程图

基于非线性多刚体模型弓网仿真的算法流程，如图2所示。

图2 算法流程图

2 受电弓与接触网模型参数确定

2.1 受电弓与接触网基本参数

受电弓与接触网基本参数，如表1～表3所示。

表1 受电弓基本参数

注：Fu为静态抬升力。

表2 接触网基本参数[11]

2.2 受电弓升弓力矩确定

根据表1受电弓基本参数无法确定受电弓升弓力矩My的大小，但可以通过静态抬升力Fu间接确定。在静态工作情况下，受电弓升弓力矩My与升弓角α存在一一对应的关系，根据虚功原理，由δW=0可得升弓力矩My计算公式：

表3 接触网前20阶固有频率(Hz)

(12)

式中Fh0=Fu+MHg，即受电弓处于静态时弓头与框架相互间作用力。

受电弓升弓力矩和升弓高度随受电弓升弓角α的变化关系图，如图3所示。由曲线可知，受电弓升弓高度与升弓角近似满足线性关系，而升弓力矩随升弓角变化不大。在升弓角为20°～60°时，升弓高度约为0.8～2.5 m，升弓力矩约为950～1 010 kN·m。

图3 升弓力矩和升弓高度随升弓角α变化关系图

2.3 受电弓质量块模型归算参数确定

为了对受电弓非线性多刚体模型和质量归算模型受流质量进行对比，须对受电弓质量块模型的归算参数进行确定。为了求解的精确性，不忽略归算模型的非线性影响。对受电弓框架非线性运动微分方程在平衡位置进行泰勒展开，并忽略高阶项的影响：

(13)

k3=l1cosα+k2l3cosγ

受电弓框架的等效归算参数随升弓角度的变化关系，如图4所示，归算质量随升弓角变化不大，在11.3～12.6kg之间变化。归算阻尼和刚度变化较大，变化范围分别为130～180Ns/m和595～765N/m。表1给出了受电弓弓头的相关参数，那么考虑非线性影响的受电弓质量块模型参数都已确定，等效后的受电弓质量归算模型，如图5所示。

图4 受电弓质量块模型归算参数随升弓角α变化关系图

3 多刚体模型与质量块模型动态特性比较

为了对两种模型的适用性进行评估，在不同行车速度条件下就第二节中参数分别对多刚体模型和质量块模型进行弓网动力学仿真分析。图6给出了行车速度100～400km/h共8个速度等级下，两种模型接触压力及其标准差的统计值。

图5 受电弓质量归算模型

图6 不同速度等级下两模型接触压力及标准差统计值

由统计结果可知，两种模型接触压力均随速度的提升而略有增大，且多刚体模型接触压力均值略大于质量块模型接触压力均值。但对于接触压力标准差而言，在速度等级低的情况下，质量块模型和多刚体模型差别不大，当速度超过200km/h时，多刚体模型接触压力标准差明显大于质量块模型接触压力标准差。为更直观地反映两受电弓模型接触压力随运行里程的变化关系，图7给出了速度等级分别为100km/h、200km/h、300km/h和400km/h的接触压力里程曲线对比。

图7更直观地反映了两种模型接触压力随列车运行里程的变化情况，在速度为100km/h和200km/h时，两种模型接触压力吻合度较高，接触压力均值和标准差差别不大，当速度超过200km/h时，两模型接触压力均值和标准差差别略增大，多刚体模型率先发生了离线。

由于滤波频率对接触力结果影响较大，且本文模态阶数为500阶，截断频率为31.39Hz，故对图7中300km/h质量块和多刚体模型接触力结果统计值分别在10Hz，20Hz和30Hz滤波以及不滤波情况下进行对比，其对比结果，如表4所示。

图7 不同速度等级下两种模型接触压力里程图

由表4可知，对于两种受电弓模型，在不同滤波条件下接触力均值不变，而接触力标准差相差较大。当滤波频率低于20Hz时，接触力标准差受滤波频率影响较大；当滤波频率高于20Hz时，接触力标准差受滤波频率影响较小，当采用30Hz滤波时，接触力标准差与不滤波情况已基本无异。说明无论是对于质量块模型还是多刚体模型，主要频率贡献依然来源于0～20Hz，受20Hz以上高频成分影响不大。

表4 两种模型不同滤波条件下接触力统计值对比

为了进一步了解两种模型的频域特性，对时速为300 km/h工况下两种模型进行时域频谱分析。

图8 时速300 km/h两种模型频谱分析对比图

通过时域频谱分析，从频谱图中可以明显看到3个峰值，其频率分别为1.39 Hz，12.8 Hz和18.6 Hz，均未超过20 Hz，且两种模型对应的主频大小无异，只是贡献稍有不同。说明了该弓网系统为一低频系统，采用多刚体模型或质量块模型均能反映出弓网系统的低频信息。

4 结论

本文通过拉格朗日方程推导了受电弓非线性多刚体模型，并在此基础上推导了弓网非线性耦合动力学方程，根据虚功原理反推得到了受电弓升弓力矩，并研究了质量块模型归算参数的非线性影响。最后采用模态叠加法和中心差分法对受电弓非线性多刚体模型和质量归算模型进行弓网动力学仿真，通过对不同速度等级下两种模型接触压力里程图和频谱图进行对比，发现：

(1)受电弓升弓高度随升弓角呈线性变化，升弓力矩随升弓角变化不大，受电弓质量块模型归算质量随升弓角变化很小，但归算刚度和归算阻尼随升弓角变化较大。

(2)在速度等级低的情况下两种模型反映的弓网行为基本一致，使用质量块模型即可满足仿真要求；但在速度等级高的情况下，虽然两种模型反映的频谱特性基本一致，均只能反映弓网系统的低频信息，但使用质量块模型计算的接触力结果已产生较大误差，推荐使用多刚体受电弓模型进行弓网动力学仿真。

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Dynamic Simulation of Pantograph and Catenary System Based on Nonlinear Multi-body Pantograph Model

ZHAO Chen ZHOU Ning ZOU Dong LI Ruiping Zhang Weihua

(State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Based on the differential equations of the pantograph framework derived from the Lagrange equation, the pantograph/catenary coupling dynamic equations of the nonlinear pantograph multi-body model are derived in this paper. On this basis, the relationship between the pantograph uplifting torque as well as the imputed parameters and the working heights is studied. In order to compare the current collection quality of the pantograph multi-body model and the lumped mass model at different speed grades, the explicit central difference method is used to solve the pantograph/catenary coupling dynamic equations. The results show that when the train speed is low, the lumped mass model could be able to meet the simulation requirements. However, the nonlinear pantograph multi-body model is more suitable for high speed condition.

Pantograph/Catenary coupling; Central difference method; Nonlinear multi-body model; Lumped mass model.

2016-01-19

赵晨(1991-)，男，硕士研究生。

四川省应用基础研究计划项目(2014JY0078),国家自然科学基金项目(51475391)

1674—8247(2016)03—0001—06

U264.3+4

A