具有Leakage变时滞的脉冲反应扩散神经网络的鲁棒指数稳定性❋

卢春阁，王林山

(中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛 266100)



具有Leakage变时滞的脉冲反应扩散神经网络的鲁棒指数稳定性❋

卢春阁，王林山

(中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛 266100)

摘要：研究一类具有Leakage变时滞和不确定参数的脉冲反应扩散神经网络的平衡点的鲁棒指数稳定性。所研究模型中的Leakage时滞为变时滞，脉冲既与神经元当前状态有关，又与Leakage时滞和传输时滞所产生的历史状态有关。利用Lyapunov函数、Razumikhin技巧和线性矩阵不等式(LMI)方法获得了系统鲁棒指数稳定的新的判别条件。最后给出一个实例说明结果的有效性和实用性。

关键词：反应扩散神经网络; Leakage时滞； 脉冲； 稳定性

LU Chun-Ge， WANG Lin-Shan. Robust exponential stability of impulsive reaction-diffusion neural networks with leakage time-varying delay[J]. Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(2): 146-150.

在神经网络信号传递和信息处理中时滞效应难以避免，且时滞可能导致网络振荡、失稳甚至混沌[1]。 特别的，在实际问题中，时滞可能会存在于泄漏项(Leakage项)中。Leakage时滞的研究正引起越来越多学者的兴趣[2-5]。在现有文献中，研究的Leakage时滞通常是常时滞，所采用的方法多为模型变换方法。有关Leakage变时滞的研究鲜见报导[4-5]。因此研究具有Leakage变时滞的神经网络的稳定性是非常必要的。

另一方面，神经网络常受到脉冲的影响——由切换现象、突然的噪声等引起的瞬间突变，改变神经网络的动力行为，因此研究脉冲神经网络是必要的[6-8]。另外，当电子在一个非均匀的电磁场中运行时，扩散现象不可避免[9-10]。因此本文利用Lyapunov函数、Razumikhin技巧和LMI方法研究一类具有Leakage变时滞和不确定参数的脉冲反应扩散神经网络的鲁棒指数稳定性。

1模型描述和预备知识

考虑如下脉冲反应扩散神经网络:

(1)

(A1)假设激活函数fj(v)连续有界,且对任意ζ1,ζ2∈R,ζ1≠ζ2,

其中lj,Lj是可正、可负或为零的已知常数。

其中G1k(tk)∈Rn×n，i=1，2，3，k∈Rn×n。

(A3) 假设不确定参数表示为:

A(t)=A+ΔA(t),B(t)=B+ΔB(t),

C(t)=C+ΔC(t),Gik(t)=Gik+ΔGik(t),i=1,2,3,k∈N,

其中A,B,C和Gik为已知常数矩阵，ΔA(t),ΔB(t), ΔC(t)和ΔGik(t)为未知矩阵，表示系统中的参数不确定，且满足

[ΔC(t)ΔA(t)ΔB(t)]=E1F1(t)[M1M2M3],

[ΔG1k(t)ΔG2k(t)ΔG3k(t)]=E2F2(t)[U1U2U3],

定义1系统(1)的平衡点u*称为鲁棒指数稳定的，如果存在标量γ>0，δ>0，使得对κ>0，φ(t,x)∈PCb([-ρ,0]×X;Rn)，当‖φ‖≤δ时，

‖u(t,x)-u*‖2<κe-γ(t-t0),t≥t0。

令y(t,x)=u(t,x)-u*, 则系统(1)改写为

(2)

其中g(y(t,x))=f(u)-f(u*),φ(s,x)=φ(s,x)-u*。

显然，系统(1)的平衡点u*为鲁棒指数稳定的与系统(2)的零解为鲁棒指数稳定的是等价的。

引理1[11]给定矩阵D,E和F满足FTF≤I, 标量ε>0, 则

DFE+ETFTDT≤εDDT+ε-1ETE。

引理2[9]设u(t,x)是系统(1)的解, 则

其中E=(1,1,…,1)T。

2主要结论

(3)

(4)

其中

则系统(2)的零解是鲁棒指数稳定的。

证明由式(4)成立，存在充分小的常数η>0,h>0,满足

μ1+μ2e2ητ+μ3e2ησ<1,h<1-μ1-μ2e2ητ-μ3e2ησ,使得

(5)

令

则λ>0,q>1,eλΔmax

定义Lyapunov函数

V(t,y(t,x))=∫Xe2η tyT(t,x)Py(t,x)dx。

由条件(3), Schur补引理[12]及引理 1, 得到

-Π1+Π2<0,

其中

于是当t=tk时,

V(t)=∫Xe2η tyT(t,x)Py(t,x)dx=

(6)

当t≠tk时,

∫X2e2η tyT(t,x)P[-C(t)y(t-σ(t),x)+A(t)g(y(t,x))+B(t)g(y(t-τ(t),x))]dx。

(7)

由格林公式和引理2, 有

-2e2η t∫XD·P(▽y°▽y)Edx≤0。

(8)

由假设(A1), 对于对角阵W1>0,W2>0，下列不等式成立:

∫Xe2η t[g(y(t,x))W1g(y(t,x))-

2yT(t,x)W1K1g(y(t,x))+

yT(t,x)W1K2y(t,x)]dx≤0。

(9)

∫Xe2η t[g(y(t-τ(t),x))W2g(y(t-τ(t),x)) -2yT(t-τ(t),x)W2K1g(y(t-τ(t),x))+

yT(t-τ(t),x)W2K2y(t-τ(t),x)]dx≤0。

(10)

令

W(t)=D+V(t)+α(qV(t)-V(t-τ(t)))+

β(qV(t)-V(t-σ(t)))-λV(t),

设

ξT(t,x)=(yT(t,x),yT(t-τ(t),x),yT(t-σ(t),x),

gT(y(t,x)),gT(y(t-τ(t),x)))。

联立(7)～(10), 则

W(t)≤∫Xe2η tξT(t,x)Ψξ(t,x)dx,

其中

Ψ=

Γ11=2ηP+αqP+βqP-W1K2-λP,Γ22=

-αe-2ηTP-W2K2。

由条件(5),Schur补引理[12]及引理 1, 可得Ψ<0。 因此W(t)<0, 于是

D+V(t)+α(qV(t)-V(t-τ(t)))+β(qV(t)-V(t-

σ(t)))<λV(t),t≠tk。

(11)

令λ1=λmax(P),λ0=λmin(P)。 对任意ε>0,存在δ>0，使得qλ1δ2<λ0ε2。

下证当‖φ‖<δ时,

V(t)<λ0ε2,t≥t0-ρ。

(12)

首先当t∈[t0-ρ,t0]时,

V(t)=∫Xe2η tyT(t,x)Py(t,x)dx≤

下证

V(t)<λ0ε2,t∈[t0,t1)。

(13)

即

D+V(t)

β[qV(t)-V(t-σ(t))]<λV(t),

从而

矛盾。所以(12)成立。

假设存在m∈N,V(t)<λ0ε2,t∈[t0-ρ,tm),下证

V(t)<λ0ε2,t∈[tm,tm+1)。

(14)

由(6),知

(15)

假设(14)不成立，则存在t*=inf{t∈(tm,tm+1):V(t)≥λ0ε2},V(t*)=λ0ε2。

‖y(t,x)‖2<εe-η t。

证毕。

注1定理1表明即使非脉冲系统本身不稳定,当选择合适的脉冲控制时,可以使系统鲁棒指数稳定。

注2文献[3]研究了具有Leakage时滞的脉冲神经网络的稳定性，但模型没有考虑参数不确定性和反应扩散的影响，且Leakage时滞为常时滞。因此，本文结论有更广泛的应用。

注3如果不考虑反应扩散和Leakage时滞，即

D=0,σ(t)=0,G3k(t)=0,k∈N,t≥0,

则系统(1)是文献[6-7]研究的模型。

3例子

考虑系统(1)满足条件(A1)～(A3)的具有Leakage时滞的反应扩散神经网络, 其中

|x-1|,τ(t)=sint,σ(t)=cost, M1=M2=M3=0.1I, G1k=G2k=G3k=0.1I,k∈N, U1=U2=U3=0.1I, E1=E2=0.1I. 易知K1=I,K2=0. 取μ1=0.05,μ2=0.1,μ3=0.1,α=β=0.5, 则当tk-tk-1≤Δmax=0.01时，执行Matlab中的LMI工具箱，得到可行解：

由定理 1，系统(1)的平衡点 (0,0)T鲁棒指数稳定。

4结语

本文运用Lyapunov函数、Razumikhin技巧和LMI方法给出了保证反应扩散神经网络在脉冲扰动下平衡点鲁棒指数稳定的充分条件。所得判定条件以线性矩阵不等式形式给出，能够有效利用MATLAB中的LMI工具箱求其可行解。最后给出实例说明本文结论的有效性。

参考文献：

[1]王林山. 时滞递归神经网络[M]. 北京: 科学出版社, 2008.

WangLS.RecurrentNeuralNetworkswithDelays[M].Beijing：SciencePress, 2008.

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[8]WuS,LiK,HuangT.Globalexponentialstabilityofstaticneuralnetworkswithdelayandimpulses:Discrete-timecase[J].CommunicationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation, 2012, 17: 3947-3960.

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[12]BoydB,GhouiL,FeronE,BalakrishnanV.LinearMatrixInequalitiesinSystemandControlTheory[M].Philadelphia,SIAM, 1994.

AMS Subject Classification：93D09

责任编辑陈呈超

Robust Exponential Stability of Impulsive Reaction-Diffusion Neural Networks with Leakage Time-Varying Delay

LU Chun-Ge， WANG Lin-Shan

(School of Mathematical Science, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

Abstract:Leakage delay, which exist in the negative feedback terms (known as forgetting or leakage terms) of the system, has great impact on the dynamical behavior of neural networks. It is of practical and theoretical importance to study the stability problem of impulsive neural networks with delays in the leakage term. This paper investigates the robust exponential stability of the equilibrium point of uncertain reaction-diffusion neural networks with time-varying delay in the leakage term under impulsive perturbations. The leakage delay of the system is time varying which has been rarely considered in the literature. Moreover, the encountered instantaneous perturbations depend on not only the current state of neurons at impulse times, but also the state of neurons in the history caused by leakage delay and transmission time delay. Different from model transformation technique, by using Lyapunov functions and Razumikhin techniques, some new robust exponential stability criteria are derived. The stability criterion is given in terms of a linear matrix inequality (LMI), which can be efficiently solved via LMI control toolbox in MATLAB. A numerical example is provided to illustrate the efficiency of the results at the end.

Key words:reaction-diffusion neural networks；leakage time delay；impulses；stability

DOI：10.16441/j.cnki.hdxb.20140152

中图法分类号：O175

文献标志码：A

文章编号：1672-5174(2016)02-146-05

作者简介：卢春阁(1976-)，女，讲师。E-mail:chglu@126.com

收稿日期：2014-04-01；

修订日期：2014-11-02

基金项目：❋国家自然科学基金项目(11171374)；山东省自然科学基金重点项目(ZR2011AZ001)资助

引用格式：卢春阁，王林山. 具有Leakage变时滞的脉冲反应扩散神经网络的鲁棒指数稳定性[J]. 中国海洋大学学报(自然科学版)， 2016, 46(2)： 146-150.

Supported by National Science Foundation of China (11171374); Key National Science Foundation of Shandong Province (ZR2011AZ001)