基于MATLAB的摇臂轴非圆齿扇数控加工仿真

王　珍， 余金舫， 丁国龙

(湖北工业大学机械工程学院， 湖北 武汉 430068)



基于MATLAB的摇臂轴非圆齿扇数控加工仿真

王珍， 余金舫， 丁国龙

(湖北工业大学机械工程学院， 湖北 武汉 430068)

[摘要]汽车转向器摇臂轴非圆齿扇的加工存在一定难度和复杂性，传统上是利用三维建模软件直接模拟摇臂轴齿扇实际的加工过程，这种方法直观，且求解过程简单，但是所得齿面精度不高并且需要进行齿面重构。针对这些问题，提出一种加工仿真的方法，即通过MATLAB软件，对非圆齿轮(以余弦函数传动比模型为例)进行建模，根据齿轮齿条的啮合原理，分析齿扇插齿加工中各进给轴的相对运动关系，然后在MATLAB软件中模拟加工出齿扇。经验证，计算齿面和实际齿面的误差范围很小，证明该方法正确且精确。

[关键词]转向器； 摇臂轴； 非圆齿扇； MATLAB

商用汽车转向器摇臂轴齿扇齿条啮合的速比曲线从早期的分段直线变速(日本五十铃NKR、东风商用车、印度塔塔)发展到余弦曲线变速(日本NSK等)，甚至偏心齿扇(德国奔驰)，这种变化极大地改善汽车驾驶操控的平顺性，成为汽车转向器市场的新亮点，应用前景十分广阔。相比于摇臂轴齿扇齿条副变速比设计技术，变速比齿扇加工技术难度和复杂度越来越大，主要表现在两个方面为：一是余弦函数偏心齿扇加工需要三轴联动(一般是X、Y、C轴)，联动轴数增加；二是各进给轴的运动轨迹方程以及数控插补算法更为复杂，增加了专机数控系统开发难度。因此，利用计算机仿真技术，分析插齿加工各进给轴的运动关系，模拟该齿扇实际加工过程，再将得到的齿扇齿廓进行分析，验证插补算法的正确性，可避免专机数控系统开发的盲目性，降低风险，为实际加工提供理论指导。

胡来瑢[1]阐述了非圆齿条齿轮副的平面啮合理论，给出了啮合的瞬心线求解的理论公式与齿廓方程。贺敬良[2]等人具体地研究了余弦函数变速比转向器齿扇，并推导出啮合方程与齿廓方程，虽然这些方程未得到有效验证，但这些理论研究对本文所提出的方法具有重要指导意义；周艳红[3]等人开发了变速比齿扇插齿加工的新型CNC系统，研究了分段直线式传动比的摇臂轴齿扇的数控加工，其方法对研究余弦函数传动比加工系统有很好的借鉴；方明辉[4]等人基于MATLAB对非圆齿轮的实现算法进行了研究,为本文实现余弦函数传动比齿扇加工模拟，获得更好的加工效果打下良好的基础；丁国龙[5]等人对偏心的转向器摇臂轴齿扇的数控加工进行了分析与研究。本文在上述研究成果的基础上，基于MATLAB软件基本功能的组合，设计一种类似实体布尔运算的方法，实现了余弦函数传动比齿扇的加工仿真。

1齿轮齿条啮合分析

余弦函数模型如图1所示，其过渡曲线ω1-ω2段是余弦函数。在齿轮齿条的啮合中，齿轮齿条机构将齿轮1的转动转变为齿条2的移动(图2)。设齿轮1的瞬时角速度ω1=dφ1/dt，而齿条2的移动速度V2=ds2/dt，式中

ds2=r1·dφ1

(1)

图 1　余弦传动比曲线图

图 2　齿轮齿条啮合传动

在直角坐标系O1xy中，根据ds2=dx=ridφ1，齿条的瞬心线方程可表示为

齿轮齿条传动加工仿真的重点是计算出齿轮转动与齿条移动的相对关系，而建立了齿条位移x与齿扇转角φ的关系，基本上就能确定加工出来的形状(如果是带有偏心的齿扇，还要确定中心距y与齿扇转角φ的关系)。

对传动比函数i(φ)建模，利用齿轮齿条的啮合原理，可建立x-φ(和y-φ)的参数方程。

2进给轴运动分析

在数控加工中，关键是要确定各个轴的相对运动情况。在汽车摇臂轴齿扇的数控加工过程中，确定C轴与Y轴的相对运动关系(若带有偏心，则需C,X,Y三轴联动)，就能获得确切的齿形。可以根据传动比模型i(φ)，提取φ为参数，分别计算出各个轴关于φ的参数方程X(φ)，Y(φ)。这样，在编辑插补运算时，就能以C轴为参考轴，按比例的对X和Y轴输入脉冲，相当于各个轴的运动关系已经确定。

3MATLAB实例加工仿真

在MATLAB中建立刀具的模型，分别写出在齿扇转角φ=0时，刀具的x和y坐标点的数组X和Y。因为不同的φ值对应的X和Y也是不同的，所以要求算出相对于φ=0时的增量，随时更新X和Y，建立齿条齿扇啮合的动态效果(模拟的动态效果是在for循环里面添加了一个pause函数)。

真实的加工过程是刀具只做上下往复运动，齿坯做C轴与Y轴(和X轴)的联动。在用MATLAB模拟的时候，选定齿坯不动，齿条做C轴与Y(和X轴)轴的联动，使用坐标转换公式

对X和Y进行变换。

下面给出一个应用的实例，齿扇齿条重要参数：齿条齿全高，22 mm；齿条斜角α1，22°；齿条斜角α2，25°；齿条斜角α3，28°；齿扇齿根最大外圆直径，95 mm；齿扇斜角，5°；C轴转速ω，5°/s。

仿真代码如下：

if ((t>=0)&&(1>=t))

v = v_1;

l = 34.1*c2; %x方向增量

elseif ((t>1)&&(9>=t))

v = v_2;

v2 = @(T)3.76628 -0.32272*cos(pi*(T-1)/8);

l = t/(c/w)*(4.06894 +quad(v2,1,t));

elseif ((t>9)&&(10>=t))

v = v_3;

if (c>0)

l = 36.2482 + 54.7460*(c2 - 0.7854);

elseif (c<0)

l = -36.2482 + 54.7460*(c2 +0.7854);

end

程序主要是针对变速比传动的转向器中齿条的位移增量l的计算。令X=X+l，就能实现对X的实时更新了。另外，对于没有偏心的摇臂轴齿扇，因为齿轮齿条的中心距不变，所以Y不变；如果是偏心的，需要加上偏心量e(φ)(偏心量也要表示为与φ的关系)。

在MATLAB中，使用patch函数，可以画出齿扇坯料与刀具(齿条)的图形。刀具每转一定的角度，都会与齿扇坯料有一点重合的部分，这部分是要切除的。而patch函数画出的模型图无法实现真正的图形布尔运算，这里使用一种类似的布尔运算，可以看出布尔运算的效果。具体实例代码如下：

patch(X,Y, 'k' ) %刀具用黑色填充

hold on ;

plot(X,Y, 'w' );

plot([X(1) X(length(X2))],[Y(1) Y(length(X))], 'w' );

hold off

在实例中，使用patch函数画出图形的边框颜色是黑色的，如果黑色边框不消除，那么多次运动后，刀具就会留下黑色阴影。这两个plot函数的功能就是将patch函数画出来的刀具的黑色边框刷白，就能将patch函数画出的黑色边框变成白色，从而隐藏在MATLAB的白色背景之下。仿真的效果即为刀具的转动伴随着移动，同时齿扇也逐渐成形。图3与图4是齿扇模拟加工的过程和最终模拟加工的齿扇。将模拟加工出的齿扇与实际加工出的齿扇的形状精心对比，如图5所示。

图 3　齿扇加工

图 4　加工出的齿扇

图 5　模拟加工与实际加工对比

由图5可以看出，模拟加工与实际加工的是十分接近的，由MATLAB中可查看，拟合的齿廓与实际齿廓的误差在0.005 mm之内。

[参考文献]

[1]胡来瑢.空间啮合原理及应用[M].北京：煤炭工业出版社，1987.

[2]贺敬良，秦建旭，吴序堂.变速比转向器齿扇设计理论研究[J].机械传动，2009,33(1)：12-14.

[3]周艳红，周云飞，王水来，等.变速比齿扇插齿加工的新型CNC系统[J].中国机械工程，1995,6(2)：37-39.

[4]方明辉，李革，赵匀，等.基于MATLAB的非圆齿轮副齿廓算法研究[J].农机化研究，2010,08(08)：57-60.

[5]丁国龙，王平江.转向器摇臂轴偏心齿扇的数控加工[J].汽车工艺与材料，2009(05)：57-59.

[责任编校： 张众]

The NC Machining Process of Rocker Arm Shaft Gear Sector Based on MATLAB

WANG Zhen，YU Jinfang，DING Guolong

(SchoolofMechanicalEngin.，HubeiUniv.ofTech.，Wuhan430068，China)

Abstract：The process of automobile redirector rocker arm shaft non-circular gear sector is of certain difficulty and complexity. It is a direct simulation of the machining process by using 3D modeling software in the tradition. The method is simple, but accuracy of the obtained tooth surface is not high and the surface reconstruction is needed in the case. To solve these problems, this paper presents a method for machining simulation, through the MATLAB to model the transmission ratio of cosine function,according to the meshing theory of gear and rack to analyze the relative motion relationship of each feed axis during the process of gear sector. It then simulated the gear sector in the MATLAB. The results proved that the error range of calculation and reality is very small and the method has high accuracy and precision.

Keywords：redirector; the rocker arm shaft; non-circular gear sector; MATLAB

[中图分类号]TH132

[文献标识码]：A

[文章编号]1003-4684(2016)01-0026-03

[作者简介]王珍(1991-)， 女，湖北武汉人，湖北工业大学硕士研究生，研究方向为机械设计及理论

[基金项目]湖北省科技攻关计划项目(2012AAA07-03)

[收稿日期]2015-11-05