GPS高程转换的总体最小二乘组合方法

王乐洋，吴　飞，吴良才

(1.东华理工大学 测绘工程学院，江西 南昌 330013；2.流域生态与地理环境监测国家测绘地理信息局重点实验室，江西 南昌 330013；3.江西省数字国土重点实验室，江西 南昌 330013)



GPS高程转换的总体最小二乘组合方法

王乐洋1,2,3，吴飞1，吴良才1

(1.东华理工大学 测绘工程学院，江西 南昌 330013；2.流域生态与地理环境监测国家测绘地理信息局重点实验室，江西 南昌 330013；3.江西省数字国土重点实验室，江西 南昌 330013)

摘要：在现有GPS高程转换的研究中，通常只采用单一的解算方法，然而，不同的计算方法由于适用的条件不同，在对同一组数据进行解算时，解算的精度也各有优劣。针对以上问题，文中提出GPS高程转换的总体最小二乘组合方法，对多种不同的高程转换方法进行组合，运用总体最小二乘法计算不同方法的权值，结合实际工程数据，验证该方法的可行性。计算结果表明，提出的方法能够有效地提高高程转换精度。

关键词：总体最小二乘；组合方法；GPS高程；高程转换；多项式拟合

GPS高程拟合是将高程异常值与平面坐标近似描述为多项式关系，利用已知大地高和正常高的公共点组成误差方程，进而求解多项式系数[1]。对于大多数的工程应用，由于测区范围不大，高程异常变化平缓，多项式拟合便可满足精度要求[2]。通常可以采用最小二乘法求解多项式曲面的参数，该方法计算简单便捷。但是，在实际参数估计问题中，对于大部分线性模型来说,一般由于数据采样大小、模型化及测量等原因引起系数矩阵的误差，其系数阵并非常数阵而是由其他方法计算得到的具有一定误差的变量矩阵[3]。文献[4]～[7]分别基于最小二乘、总体最小二乘、加权总体最小二乘和比例总体最小二乘算法进行多项式曲面拟合参数的求解；然而，上述研究中均只采用某一种解算方法，由于各个方法受自身适用条件的限制，其解算精度各不相同。文献[8]～[10]将二次多项式曲面模型和BP神经网络法进行组合，提出不同的组合方法。

本文运用一种新的组合计算方法，根据不同方法对组合模型的贡献度分别赋予相应的权值，并通过采用总体最小二乘法计算不同方法的权值，通过对实际工程数据进行计算，论证该方法的可行性与有效性。

1GPS高程转换模型与方法

1.1多项式曲面拟合模型

二次多项式曲面的拟合方程为

ξ=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2.(1)

三次多项式曲面拟合方程为

ξ=b0+b1x+b2y+b3x2+b4xy+b5y2+b6x2y+b7xy2+b8x3+b9y3.(2)

1.2总体最小二乘法

以二次多项式曲面为例，α为待估参数向量,ξ为观测向量，A是设计矩阵，eξ是误差向量，顾及系数矩阵中的误差EA可得

(3)

本文通过迭代计算对参数进行估计，迭代过程[11]：

1)由最小二乘方法计算参数初值：

(4)

2)中间变量为

计算新的参数估值：

(5)

迭代终止条件为

(6)

判断是否满足终止条件，若满足即终止计算，否则返回步骤2)。

同理，可以得到三次多项式曲面GPS高程转换参数的总体最小二乘解。

2总体最小二乘组合方法

采用不同的GPS高程转换方法时，计算得到高程异常函数的表达式记作φj(x,y)(其中下标j表示第j种方法算子)。把这些函数作为基函数，所有的基函数的集合记作Φ，且有φj(x,y)∈Φ。

若φ1,φ2，…,φm关于点(x1,y1),…,(xn,yn)线性无关，其中m为方法的个数，n为点的个数，则Φ中的任一函数在点(xi,yi)处表示为

(7)

并令

(8)

则寻求最优拟合曲面的问题转换为求多元函数S(c1,c2,…,cm)最小值的问题[12]。

对权值系数ck进行求导计算得到

(9)

可得到关于c1,…,cm的线性方程组

(10)

引入向量

(11)

(12)

记内积向量

(13)

(14)

可得

(15)

由于φ是关于x,y的函数，并且各点坐标均含有误差，对式(15)引入误差向量

(16)

其中

(17)

GPS高程转换的总体最小二乘组合方法的基本思想：

1)利用总体最小二乘法求解不同方法对应的高程异常计算参数并得到对应的函数表达式φj(x,y)；

3)组成式(17)，从而得到最佳拟合曲面的组合式。

3算例分析

采用文献[4]中的数据，选取12个点作为高程异常已知点，分别采用不同的方案进行计算，求出5个待定点的高程异常，并对计算结果进行评价。图1为已知高程异常点的坐标经过标准化处理之后的空间分布，表1为各方案列表。

图1　已知与未知高程异常点的空间分布

方案方法1二次多项式曲面(TLS)2三次多项式曲面(TLS)3二次多项式曲面(WTLS)4二次多项式曲面(WTLS)5方案1、方案2组合6方案1、方案3组合7方案1、方案4组合8方案3、方案4组合9方案2、方案3组合10方案2、方案4组合11方案1、方案2、方案3组合12方案1、方案2、方案4组合13方案1、方案2、方案3、方案4组合

由于各个方案计算得到的结果差别较小，在计算各个方案所占权重的过程中，将引起法方程病态，在运用总体最小二乘组合方法解算时，将不同方案解算的内符合点高程异常与已知点的高程异常值进行标准化处理，最后将通过组合方法计算得到的结果进行反标准化处理。

本文一共采用13种方案，其中方案1与方案3、4的计算结果较接近，即使对内符合点的高程异常再进行标准化处理，得到的组合模型的法方程仍然出现病态，故文中对应的组合方案采用了广义逆进行计算。

图2为各个方案的外符合精度，从图中可以看出，组合方法相对于仅采用单一计算方法的效果更好，且计算得到的精度提高17%～32%。表2中的c1，c2，c3，c4分别为各个方案中的不同方法的权值，可以看出待定点计算结果较好的方法，获得的权值越大，其对组合模型的贡献也更大。

图2　外符合精度

4结论

本文通过运用总体最小二乘法，组合了多种常用的GPS高程转换方法，对不同的高程异常转换方法赋予不同权值，结合实际工程数据对转换参数及待定点高程异常值进行计算，并对计算结果进行比较分析，论证本文采用方法的可行性与有效性。但是，本文仅分析了高程异常变化较小且点位分布较均匀的情况，对于点位分布较离散或者高程异常变化较大的情况，可以结合其它不同高程异常转换方法的特点进行组合，以达到提高精度的目的，具体的组合方法也有待进一步研究。

表2　不同方案各方法所占权重

参考文献：

[1]龚循强,陈磬,周秀芳.总体最小二乘平差方法在GPS高程拟合中的应用研究[J].测绘通报,2014(3)：6-8.

[2]徐绍铨,张华海,杨志强,等.GPS测量原理及应用[M].武汉：武汉大学出版社,2008.

[3]王乐洋,许才军.总体最小二乘研究进展[J].武汉大学学报(信息科学版),2013,8(7):850-856.

[4]丁海勇,孙景领.GPS高程转换的总体最小二乘方法研究[J].大地测量与地球动力学,2013,33(3):52-55.

[5]袁豹,岳东杰.加权总体最小二乘法及其在GPS高程拟合中的应用[J].勘察科学技术，2013(2):43-45.

[6]赵辉,张书毕,张秋昭.基于加权总体最小二乘法的GPS高程拟合[J].大地测量与地球动力学,2011,31(5)：88-90.

[7]楚彬,范东明.基于比例整体最小二乘的GPS高程拟合[J].测绘工程,2014,23(4):37-39.

[8]侯东阳,张书毕.基于平面拟合和BP神经网络组合法的GPS高程转换[J].大地测量与地球动力学，2010，30(6)：91-94.

[9]王小辉,王琪洁,丁元兰,等.基于二次曲面和BP神经网络组合模型的GPS高程异常拟合[J].大地测量与地球动力学,2012,32(6):103-105.

[10] 刘玉婵，王延霞，李鹏.最小二乘配置模型在GPS高程拟合中的应用[J].测绘与空间地理信息，2015,38(8)：67-69.

[11] 鲁铁定，宁津生.总体最小二乘平差理论及其应用[M].北京:中国科学技术出版社，2011：41-44.

[12] MORINISHI K.An implicit gridless type solver for the Navier-Stokes equations[J].Computational Fluid Dynamics Journal，2001：551-560.

[13] 楚彬，范东明.基于比例整体最小二乘的GPS高程拟合[J].测绘工程，2014,23(4)：37-39.

[14] 杨元喜,景一帆,曾安敏.自适应参数估计与内外部精度的关系[J].测绘学报,2014,43(5):441-445.

[15] 杨娟，陶叶青.稳健估计下的坐标系统转换总体最小二乘算法[J].测绘科学，2015，40(4)：15-18.

[责任编辑：李铭娜]

Total least squares combination method of GPS height transformation

WANG Leyang1,2,3，WU Fei1，WU Liangcai1

(1.School of Geomatics，East China Institute of Technology，Nanchang 330013，China;2.Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring，NASG，Nanchang 330013，China；3.Jiangxi Province Key Lab for Digital Land，Nanchang 330013,China)

Abstract：In the current research on GPS height transformation，single calculation methods are used only.However，due to different calculation methods applicable for different conditions，though for the solution of the same set of data，the precision of each will also have advantages and disadvantages.In view of the above problems，this paper puts forward the total least squares combination method of GPS height transformation；it makes the combination of a variety of different height transformation methods and calculates the weight of different schemes.Calculations are performed by using the actual engineering data to verify the feasibility and effectiveness of the method.The test results show that the method can effectively improve the accuracy of height transformation.

Key words：total least squares；combination method；GPS height；elevation transformation；polynomial fitting

中图分类号：P228

文献标识码：A

文章编号：1006-7949(2016)04-0011-04

作者简介：王乐洋(1983-)，男，博士，副教授，硕士生导师.

基金项目：国家自然科学基金资助项目(41204003，41161069，41304020)；测绘地理信息公益性行业科研专项(201512026)；江西省自然科学基金资助项目(20132BAB216004)；江西省教育厅科技项目(GJJ13456，KJLD12077，KJLD14049)；地理空间信息工程国家测绘地理信息局重点实验室项目(201308)；东华理工大学博士科研启动金(DHBK201113)

收稿日期：2015-03-01；修回时间：2015-09-10