积累几何直观想象经验渗透代数运算核心素养

江苏省常州市新北区吕墅中学 郑金华

积累几何直观想象经验渗透代数运算核心素养

江苏省常州市新北区吕墅中学 郑金华

就数学而言，学科核心素养包含：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模、数学运算和数据分析六个方面。数学核心素养是数学课程目标的集中体现，笔者认为在知识与方法上，发展数学学科素养，才能够让学生站在更高的层次上理解数学的本质。本文以苏科版数学七年级上册“有理数的减法”为例，谈一谈直观想象在有理数减法运算中的妙用，以此给其他数学教育工作者在课堂教学中渗透数学学科素养提供参考。

一、输入信息：用数学的眼光观察世界（生活问题数学化）

1.海拔高度

如何用海拔高度来模拟数学问题，延伸学生用数学的眼光观察世界、探究世界的触角呢？笔者在新知导入阶段设计了以下问题串情境。

何谓海拔高度？在中国，我们把青岛黄海的海平面作为零点，高于零点的记为“+”，低于零点的记为“-”，将海拔高的地方的海拔值减去海拔低的地方的海拔值就得到海拔差。

问题1 中国最高峰珠穆朗玛峰海拔8844米，泰山海拔1524米，那么珠穆朗玛峰与泰山的海拔差是多少米？（列式计算：8844-1524=7320）

问题2 中国吐鲁番盆地海拔0米，吐鲁番艾丁湖海拔-155米，那么吐鲁番盆地与艾丁湖海拔差是多少米？（列式计算：0-（-155）=155）

问题3 中国海拔最低的是吐鲁番艾丁湖-155米，世界陆地海拔最低的是死海-416米，那么艾丁湖与死海的海拔差是多少米？（列式计算：-155-（-416）=261）

问题4 中国最高峰珠穆朗玛峰海拔8844米，中国海拔最低吐鲁番艾丁湖-155米，那么珠穆朗玛峰与艾丁湖的海拔差是多少米？（列式计算：8844-（-155）=8999）

问题5 通过以上问题的解答，你认为比100米低200米的海拔存在吗？（存在！）根据计算经验，我们得到的数值是多少米？（列式计算：100-200=-100）

问题6 通过问题5的解答，你知道比-100米低200米的海拔是多少米吗？（列式计算：-100-200=-300）

在教学中，我们会发现学生此时对问题的解决实质上已经有了结果，然后匹配个式子建立等式。在实际问题中，学生借助已有生活经验运用有理数减法算理得到计算结果，而不是算法，算理比算法先出现是符合学生的认知规律的，对学生算法的理解也起到了很好的直观诠释作用。

2.数轴

学生对数轴的学习是在有理数减法运算之前，数轴不仅是学生学习相反数、绝对值等有理数知识的重要工具，还是以后学好不等式的解法、函数图象及其性质等内容的必要基础知识。接下来我们用数学工具数轴解决这样一个问题：

某一栋教学楼高25米，楼前的池塘-5米，你能运用数轴求出教学楼与池塘的海拔差是多少米吗？

对有理数减法算理的推导过程，教师不能有先直接给个公式让学生套用，然后多做习题掌握公式，推导过程完全可以省略的想法。教师既要联系我们的生活实际，还要关注学生已有的知识经验储备，从生活的角度提出问题，用已有的数学知识、数学工具合理解释，自然过渡到新知识的传授，这就是基于形象引导下的数学直观想象素养。

二、处理信息：用数学的思维分析世界（用数学解决问题）

学生的学习过程，就是在新旧知识、经验的冲突中，不断将新知识、新经验同化和顺应到已有知识、已有经验下，达到新的平衡的过程。对学生而言，有理数减法运算是新知识，但之前已经熟练掌握了有理数加法，教师要把有理数减法运算统一到加法运算中，培养学生的数学运算素养。笔者设计了以下问题串，共同分享：

（1）观察下列等式，对比左右两边的代数式,说一说哪些量发生了变化？是如何变化的？

（2）等式的左右两边分别进行的是有理数的什么运算？

（3）举个例子说一说，解决有理数的减法运算你可以怎么做？

（4）用自己的语言描述你的发现。

8844- 1524 = 8844 +（-1524）

0-（-155）= 0 + 155

-155-（-416）= -155 + 416

8844-（-155）= 8844 + 155

100 - 200 = 100 +（-200）

-100 - 200 = -100 +（-200）

我们的新型课堂要求对原来的教师教得完整、学生学得完整转型成师生发展完整、成长完整。在这个教学片段中，学生亲历了理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果这一系列的过程，在课堂上发展了数学运算素养。

三、输出信息：用数学的语言表达世界（数学问题的延伸与拓展）

爱因斯坦认为思维创造性的典型特点是灵活性。学习了有理数减法运算之后，思考这样两个问题：

两个有理数相减，是否存在“不够减”的情况呢？差一定小于被减数吗？

通过这两个问题建立初中与小学减法运算之间的联系。初中代数对数域进行了扩充，引入了负数，因此差可能大于被减数，而且被减数、减数和差都有可能是负数，我们可以用有理数减法运算解决所有小学所学的减法运算。最后分享这节课的拓展提升题：

一名旅行者在海拔54米的坡顶发现一只灰雀在离他不远处的上方15米的位置向下追逐一只知了，当它向下飞行20米后追上了知了，此时知了拼命逃脱，向上飞行1米后终被灰雀吞食。

（1）求灰雀吃掉知了时的海拔；

（2）灰雀从开始追逐知了到最终把它吃掉，海拔高度经历了怎样的变化过程？

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”我们用数量来刻画位置关系，这样位置的变化就可以通过 数学运算表示，有理数的加减运算反过来应该为解决生活实际问题而存在，灰雀吃知了的问题给学生提供了范式，这个范式引导学生用数学方式去表达世界，用数学的思考去分析问题。

作为数学教师，我们要在课堂教学中渗透数学思想和数学方法，不仅给学生传授科学严谨的数学知识，更要关注培养学生良好的数学学科素养，让学生在潜移默化中获得质的飞跃。