高中数学概念教学再思考

江苏省石庄高级中学 朱玉群

高中数学概念教学再思考

江苏省石庄高级中学 朱玉群

概念教学是高中数学教学研究的重点，基于学生的认知特点去研究概念教学是本研究的生命力所在。从概念建立的必要性出发，思考如何抓住概念本质，并进行有效的概念应用，是概念有效教学的三个基本环节。

高中数学；概念教学；思考

高中数学概念的教学仿佛是一块结实的骨头，总是有营养，却也总难嚼得烂。可以说有了系统的数学课程的学习，就有了对数学概念教学的研究，纵观数十年来的数学概念教学研究，会发现其中既有相通的地方，也有相异的地方。而结合学生的认知基础，研究学生的认知经验如何有效地支撑数学概念的构建，则是数学概念研究的源头活水。从这个角度讲，不管到任何时候，数学概念的教学研究，一定都会具有生命力。基于这样的认识，结合近年来高中数学教学的一些经验，笔者试再就概念教学做出一些理解。

一、注重概念建立的必要性

笔者注意到，高中学生在数学学习中是非常注重逻辑性的，只有在逻辑上满足了一种自洽，学生才会感觉到一个数学概念有其存在的意义，而其后的学习过程才会少一些有形或无形的心理障碍。一旦学生认识不到数学概念的意义，有时对他们的影响几乎会伴随整个高中数学学习的过程。因此，让学生认识到数学概念建立的必要性，本身就存在着非常必要的地方。

比如说“椭圆”概念的教学，椭圆在学生的认知经验中的地位比较有趣：一方面现实生活中存在的椭圆并不多，另一方面学生认为不正圆的圆都叫做椭圆，如让学生举例的时候，学生经常会想到鸭蛋的形状等。那么，是不是因为生活中存在的一些非正圆的情形，所以才需要学习椭圆呢？答案显然不是这样的简单。因此，对于椭圆概念建立的必要性需要花一点功夫。笔者的做法说出来倒也不新奇，就是从让学生回忆如何作圆开始，学生能够很迅速地回答出：到一个点的距离为定值的所有点的集合为圆，然后进一步提供给学生一个钉子和一根没有弹性的细线，问他们如何作出一个圆。这个几乎是小儿科的要求，自然难不倒学生，这个时候可以让学生到黑板上演示一下，以形成具体的作圆表象。在此基础上提出新的问题：如果将一根细线的两端系于两个钉子之上，并使其间的距离小于细线的长度，则在用粉笔绷紧了细线之后，粉笔运动的轨迹会是一个什么图形呢？

这个问题是学生此前几乎没有想过的，而这样的问题又可以促使学生先在大脑中构思相应的图形，待到椭圆的形状出现之后，再回过头来让学生思考：生活中真正满足这一要求的图形一般出现在哪里？这个时候学生思维中就不再是模糊的椭圆认识，而是具有数量关系的认识了。他们不会轻易认为鸭蛋的外形就是椭圆，同时又会询问哪里会有真正的椭圆。这个时候教师提供行星、卫星轨道计算的例子，提供天文学家对天体观察后记录的数据并计算出了行星轨道的例子，这样学生心中就会生成自然界竟然还有这样的规律的认识，从而激发椭圆概念学习的动机。

二、基于认知基础理解本质

高中数学概念的学习是要追求本质理解的，也就是说概念学习不仅仅是概念定义的记忆，而应当是在丰富感性经验支撑的基础上去理解概念。这个过程，一定是学生基于原有认知基础去构建概念理解的过程。

简单如上面的椭圆概念：“平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹”所能够构建出来的是一个想象表象，而让学生动手做一下则是基于体验构建出来的真实表象，其效果是不一样的。

而对于一些更为抽象的数学概念，则需要教师做出更多的引导。如函数的单调性的教学，很多时候教师都在强调当自变量x进行“对称取值”时，如果得到相同的函数值，那么这个函数就是偶函数，如果得到的函数值互为相反数，那么这个函数就是奇函数。这样的理解是直接基于定义的，对于部分学生来说没有问题，可以让他们理解函数的单调性的本质，但对于另一部分数学基础较弱，思维能力较弱的学生来说就存在着困难。这个时候如果能够更好地调动这部分学生原有的认知经验，则可以让他们更好地理解概念本质。

笔者的做法是比较，让学生回忆绝对值，这是这部分学生比较熟悉的一个知识点，学生容易发现绝对值可以将互为相反数的数变成同一个值，而这样的特征与偶函数恰恰具有相似之处，于是学生能够在形似的基础上发现神似，从而实现从绝对值特征向偶函数特征的思维迁移。这只不过是在函数单调性教学中打个比方，但对于一部分学生来说却是发现了偶函数的特征，从而促进了他们对函数单调性本质的理解，笔者以为这样的教学是有效的。

从这个例子可以发现，高中数学概念教学中的本质理解，并不在于过多的花招，而在于发现学生在理解概念本质时所遇到的困难，并从他们的认知基础中寻找到他们熟悉的知识点来促进这种数学特征的迁移。也就是说，只有基于学生认知基础的概念理解，才能促进学生把握概念本质。

三、概念应用的有效性关注

利用概念的应用去促进学生对概念的理解，也是概念教学中常用的手段。只是这个概念的应用却大有研究空间，因为概念应用本身就有有效与无效的可能，如果概念应用本身就是无效的，那么自然就无法促进学生的概念理解了。这一现象最基本的体现就是：让学生直接根据概念的定义去对某些事例进行判断，符合定义的则判定为对，不符合的则判定为错。这种基于概念定义的描述而做出的判断，其实构建的是学生的一种抽象理解，对促进概念理解来说其实作用不大，其最终能够起作用，实际上是重复的结果，并不意味着学生真正懂了这个概念。关于这一点，不举例赘述了。

真正有效的概念应用应当是遵循“变式”原则的，变式是数学教学的重要思想，是通过变换概念的非本质特征而凸显概念的本质特征。关于变式教学在概念中的应用，研究者很多，暂不举例说明。而概念应用还可以考虑情境原则，即给学生一个新的情境去运用概念，比如当我们提出如何证实鸭蛋的外形是或不是椭圆时，有学生就提出去寻找其焦点，然后看是否符合椭圆的定义。这样的情境迁移有助于学生理解椭圆概念时有一个完整的形象思维过程，因而学生对概念的理解一般会比较完整。

综上所述，高中数学教学中概念教学的有效性，需要从概念建立的缘起，需要从概念本质与概念应用等角度入手，从而建立起一个相对完整的概念理解过程，这样才能有效的概念教学。

[1]张永杰.基于“反思”的高中数学概念教学策略分析[J].数学教学通讯，2016（24）.

[2]殷天文.新课标下高中数学概念教学探析[J].成才之路，2016（3）：30-30.