关于常用的几个高中数学思想的剖析

韦晓

摘要：数学思想和方法是数学知识的精髓，是构成高中数学基础知识的重要组成部分。长期以来，高中师生就是通过数学思想和方法的学习与掌握来领悟数学的真谛，懂得数学的价值。正是基于这样的考虑，本文尝试着通过对高中数学常用的函数与方程思想及方法的细致的研究与详细的阐述，并结合笔者的教育教学实践，对高中数学的函数与方程思想进行了教学研究。

关键词：高中数学；数学思想；函数与方程；数学符号意义

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）04-0103

笔者所任教的学校是一所普通高中，这些学生大多数数学基础较差，由于中考对于函数与方程思想及数学符号意义不做重点考查，因此初中数学教学对此淡化很多，致使很多学生对函数与方程思想及数学符号意义知之甚少。这些学生很多来自于农村，在初中阶段就没有养成良好的数学学习习惯，也没有掌握科学的学习方法，导致高中阶段的数学学习存在很大问题，如何让这些学生尽快地适应高中学习，历来都是我们高中数学教师最为关心的事情。

因此，认真分析普通高中学生数学学习困难的原因，并及时采取恰当的措施对高中教师来说显得尤为重要。而函数与方程思想和数学符号又是高中数学的主线，所以如何合理地进行普通高中数学在函数与方程思想及数学符号方面的有效教学成为高中数学教学要探索的重要课题。

一、数学思想

对于什么是“数学思想”，学者们各抒己见：有的人认为数学思想就是人们对研究数学对象统一的、本质的认知。它不仅包含对数学本质的理解，还包含了对数学基本特性、数学对象以及数学与其他领域、数学和客观世界的联系的认识，也包含在数学中创立新的概念、新的理论、新的模型和新的方法的认识。

有部分人认为数学思想就是数学观念，认为数学观念是人类用数学的思维方式来考虑问题、解决问题的自觉意识或者思维习惯，因此数学思想是用数学理念为中心的对数学关系中最一般规律的认知。也有部分人认为数学思想既是对数学事实与理论的本质认识，又是数学中处理和解决问题的基本观点，还是对数学基础知识和基本方法的概括。

钱佩玲认为，数学思想是对数学知识的本质的认识，是从某些特定的数学内容与对数学的认识中提炼升华的数学观点，它在认识过程中被反复应用，带有普遍的指导意义，它是建立数学和运用数学解决问题的一个指导方法。比较以上几种观点，它们的相同点是：首先数学思想是一种理性的认识，是一种“隐性”的知识，因此在数学概念、原理、方法等理性认识中渗透着的数学思想方法，它又是对数学知识的再一步提升、概括后形成的。因此，数学思想是对数学概念、方法、原理等“显性”知识的最本质认识。于是，笔者认为数学思想是数学活动的指导思想，它是对数学概念、原理、命题、观念、法则以及方法的本质性认识，它是一种理性的、隐性的、动态的知识。

二、函数与方程

罗建宇认为，函数思想是用函数的概念和性质去分析和解决问题，方程思想是用数学符号语言组建模型解决问题。郑一平认为，方程思想是分析变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过求解方程或方程组的解，使问题得以解决。王太青认为，函数不仅是贯穿于中学数学内容的一根主线，还是高考数学的核心内容。函数与方程思想和方法在近些年的高考中都得到了充分体现，在2009年中也必然有所体现，因此函数与方程思想和方法的应用是尤为重要的。

国外研究表明，其实函数作为一个备受所有数学家青睐的概念，它并没有在产生之后就立刻进入到中小学的数学教材中。由于函数概念有它历史发展的厚实性，所以决定了绝大部分的自然科学要受到它的支配。而函数进入数学教材要归功于克莱因和贝利的数学教育改革运动。在一些以克莱因为首的数学家的倡导下，经历了近一百年的努力，使得函数概念己成为当今各国学生必修的内容。

国外关于函数思想的研究主要集中在教学实践上，发现许多学生认为变量一直是“变”，而常量也永远是“常”，对于变量有时“受制”与常量有时“不常”的问题，往往理解不透，不清楚研究变量必须要通过研究其常量才能实现的道理。这是因为他们还不能运用唯物主义的认识论去看待事物的变化发展。恩格斯曾经是这样刻画函数的：“数学中的转折点就是笛卡儿的变数。有了这一变数，运动便进入了数学，有了变数，辩证法便进入了数学，有了变数，微积分也就立刻成为必要的了。”然而，函数的思想和方法与变量的思想和方法却有着紧密的联系。

通过以上研究表明：函数与方程的思想和方法贯穿整个中学数学教材的始终，它具有极强的生命力，能够联结众多的数学知识网络，不仅成为中学数学的主要内容，也成为整个数学学科的主要内容，是中学数学核心思想方法，对于这一点也得到了国内外大多数数学教师的认同。在数学教育的相关研究中，人们普遍认为，函数与方程思想的教学，既具有复杂性，又具有特殊重要性。因此，这种地位和作用上的重要性和学习实践中的难懂性，也导致了对函数与方程思想和方法的教学的相关探讨成为理论研究的焦点问题。Shlomo Vinner发现，对于大多数学生来说，他们完全把函数思想认为是一种“公式”。

笔者认为函数思想是，在教师和学生的参与下，通过构造函数关系，运用函数的概念、图像、性质等分析、解决数学问题，在学生思维中形成的具有一定普适性的、重要的数学解题技巧、做法和规律的观点和方法的统称。方程思想是，通过构造变量间的等式关系得到方程或方程组，运用方程的特点、性质、等价转化的过程等分析、解决数学问题，在学生思维中形成的常见的、最一般的数学解题技巧、做法和规律的观点和方法的统称。函数思想与方程思想是不能割裂的，应统称为函数与方程思想，是数学理论、数学知识的升华。

三、数学符号

所谓数学符号意义获得能力，是指从数学符号中获取各种数学信息的能力。具体地说，数学符号意义获得能力是指学习者根据所掌握的数学符号系统与组合规则，通过分析数学符号的形式和意义，经历识别、联想、分析、推理、综合、表征等思维过程，从数学符号中获取各种数学意义的能力。数学符号意义获得能力的核心不是能知道“数学符号表示什么”，而是能知道“数学符号意味着什么”，能够为数学符号赋予“新生命”，能使“死板、枯燥”的数学符号变得“生动、有趣”。数学符号获得能力除了具有符号意义获得能力的一般特征外，还具有以下学科特征：

1. 数学符号感知能力的敏锐性

由于不同数学分支的数学符号具有相对独立性，是自成体系的，使得整个数学符号系统划分为不同的数学符号子系统。除了小部分数学符号只属于某个数学分支外，大部分数学符号都是多学科共用的。这种现象导致了三类特殊符号：同形同义符号、同形异义符号、异形同义符号。连同符号中大量存在的形似符号、近义符号等使得数学符号的形式和意义及它们之间的联结关系异常复杂，需要学习者具有更敏锐的感知能力。

2. 数学符号结构分析能力的细致性

数学符号除了一般符号所具有的线性结构外，还存在大量的“嵌套”结构和组合结构，因而比其他符号的结构更加复杂，所蕴含的意义更加多样，需要更加细致和更大的耐心。在数学学习中，许多学生由于“粗心大意”，对一些特殊的结构和条件“视而不见”，影响了对数学问题的解决。

3. 数学符号意义获得能力的广泛性

理论上，对于每个数学符号，我们都应尝试分析并获得它的七种意义：基本意义、转换意义、隐性意义、史学意义、美学意义、操作意义和个性化意义，从而使数学符号所表征的知识与原有认识结构中的知识建立广泛的联系。现实上，大部分数学教师和学生往往满足于获得数学符号的一种或两种意义，只要解决所面对的问题，就再探讨数学符号的其他意义，致使学生感到数学枯燥、难学。

当前，数学符号在数学教学中的作用愈来愈受到重视，但相关的研究尚处于起步阶段。一些学者和教师分别从实证和实践的角度论证了数感、符号感、符号意识、数学语言等在数学教学中的重要功能，但对数学语言符号的理论研究相对很少，使得相关研究具有浓重的经验色彩，对数学符号、数学语言、符号意识、符号感等有关的定义、构成要素、理论基础、实证性研究的科学性等问题都存在很大争议。本研究尝试从理论和实践两个方面进行了有益的探索，但由于研究条件及个人能力有限，这些问题还有待更深一步的研究。因此，培养学生广泛的数学符号意义获得能力，让学生树立从六个维度建构数学符号意义的意识和习惯非常重要。

总之，当前的数学思想研究是提高学生数学学习能力的重要途径，唯有把握了数学思想，才能进一步提高教学质量及学生的数学水平。但在探索的过程中必定是困难重重的，需要广大数学教师一起努力，才能探索出新的领域。

（作者单位：广西钦州市灵山中学 535000）