应用二重积分法计算边缘密度函数

赵秀菊

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2016.24.145

摘 要：把直角坐标系下二重积分化累次定积分的方法应用于计算二维连续型随机变量的边缘概率密度，从熟悉到不熟悉，使学生更容易掌握。已知二维连续型随机变量的联合概率密度函数，求边缘密度一直是学生学习的一个重点，同时也是一个难点。

关键词：概率密度 随机变量 X-型区域 Y-型区域

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2016）08（c）-0145-02

在概率统计授课中，发现学生主要有两方面的困难：一是不知道如何确定每个随机变量的讨论区间；二是不知道边缘密度函数公式中定积分的上下限如何简单得到。该文将直角坐标系下二重积分化为累次定积分的方法应用于求连续型随机变量边缘密度函数中，从而给出一种求边缘密度函数的新方法。

1 二重积分化累次定积分的计算步骤

Step1：画积分区域，确定积分区域的类型。

Step2：若是X-型，则将二重积分化为外层对x积分，内层对y积分；然后确定x、y的上下限，积分区域内x的最小值和最大值分别作为外层积分的上下限，内层上下限的确定方法为：在积分区域内画垂直于x轴的直线，此直线进去、出去时与积分区域的两个交点的y的值分别作为外层的上下限。

若是Y-型，则将二重积分化为外层对y积分，内层对x积分；然后确定x、y的上下限，积分区域内y的最小值和最大值分别作为外层积分的上下限，内层上下限的确定方法为：在积分区域内画垂直于y轴的直线，此直线进去、出去时与积分区域的两个交点的x的值分别作为外层的上下限。

Step3：先计算内层定积分，然后将内层的计算结果作为外层的被积函数对外层再进行一次定积分。

2 二维连续型随机变量的边缘概率密度的定义

设二维连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为，X为一个一维连续型随机变量，其概率密度（即X的边缘概率密度）为[1]：

Y为一个一维连续型随机变量，其概率密度（即Y的边缘概率密度）为：

3 利用二重积分化累次定积分的方法计算边缘概率密度

该文只讨论联合密度函数为如下的类型：

（1）计算X的边缘概率密度函数。

计算此问题就相当于二重积分化累次定积分时X-型区域的Step2，把x的上下限的确定方法当成此处x的密度函数不为零的区间的寻找方法；把内层y的上下限的确定方法当成寻找边缘密度函数计算公式中定积分的上下限的确定方法。具体步骤如下。

Step1：画出不为0的区域D，确定此区域x的最小值a和最大值b，得x的密度函数不为零的区间[a，b]，从而x的讨论区间为[a，b]及其剩下部分所构成的区间。

Step2：在区间[a，b]内，画垂直于x轴的直线，此直线进去、出去时与区域D的两个交点的y的值分别作为定积分的上下限。

Step3：x的其他区间内由于联合密度函数为0，故x的边缘密度函数也为0。

（2）计算Y的边缘概率密度。

计算此问题就相当于二重积分化累次定积分时Y-型区域的Step2，把y的上下限的确定方法当成此处y的密度函数不为零的区间的寻找方法；把内层x的上下限的确定方法当成寻找边缘密度函数计算公式中定积分的上下限的确定方法。具体步骤如下。

Step1：画出不为0的区域D，确定此区域y的最小值a和最大值b，得y的密度函数不为零的区间[a，b]，从而y的讨论区间为[a，b]及其剩下部分所构成的区间。

Step2：在区间[a，b]内，画垂直于y轴的直线，此直线进去、出去时与区域D的两个交点的x的值分别作为定积分的上下限。

Step3：y的其他区间内由于联合密度函数为0，故y的边缘密度函数也为0。

例1：设（X，Y）的联合概率密度函数为：

求X、Y的边缘概率密度函数。

解：不为0的区域D如图1。

（1）X的边缘概率密度函数的计算过程。

由图1可得，区域D内x的最小值0和最大值1，得x的密度函数不为零的区间[0，1]。从而x的讨论区间为。

在区间[0，1]内画垂直于x轴的直线，此直线进去、出去时与区域D的两个交点的y的值分别为0和1，此即为定积分的上下限。

故X的边缘概率密度函数为：

（2）Y的边缘概率密度函数的计算过程。

由图1可得，区域D内y的最小值0和最大值1，得y的密度函数不为零的区间[0，1]。从而y的讨论区间为；

在区间[0，1]内画垂直于y轴的直线，此直线进去、出去时与区域D的两个交点的x的值分别为0和1，此即为定积分的上下限。

故Y的边缘概率密度函数为：

4 结语

从上例的计算过程可以发现，计算X的边缘概率密度函数时，讨论区间的确定相当于计算二重积分时X-型区域外层的确定方法，而计算X的边缘密度函数公式中定积分上下限的确定相当于计算二重积分时X-型区域内层上下限的确定。计算Y的边缘概率密度函数时，讨论区间的确定相当于计算二重积分时Y-型区域外层的确定方法，而计算Y的边缘密度函数公式中定积分上下限的确定相当于计算二重积分时Y-型区域内层上下限的确定。从而把学生高等数学中熟悉的知识与概率统计中不熟悉的内容相结合，学生容易理解且计算方便。

参考文献

[1] 魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社，2001：118-185.